Q5 50M Compulsory solve Fluid mechanics and geotechnical engineering problems
(a) The flow rate of water over a weir is 3 m³/s. A 1 : 10 scale model of the weir is tested in a water channel. Answer the following :
(i) What flow rate should be used for the model ?
(ii) If a force of 15 N is experienced on the model, what force would be expected on the prototype ? (10 marks)
(b) A rectangular wing on a small airplane has a 1.3 m chord and a 10 m span. When flying in air at 250 km/hour, the wing experiences a total aerodynamic force of 20 kN. If the lift to drag ratio is 3, what would be the lift coefficient of the wing ? Take density of air as 1.20 kg/m³. (10 marks)
(c) An idealized radial turbine is rotating at 140 rev/min as shown in the figure. The absolute flow enters at 30° and leaves radially inward. The flow rate is 4.0 m³/s of water at 20°C. The blade thickness is constant at 10 cm. If density of water is 1000 kg/m³, what would be the theoretical power developed by the turbine ? [Figure: outer radius 70 cm, inner radius 40 cm, b = 10 cm] (10 marks)
(d) The shear stress induced at a depth of 7.0 m due to construction of a nearby foundation is 50 kN/m². The soil properties at the site are: unit weight γ = 18 kN/m³, effective cohesion C′ = 12 kN/m², effective friction angle φ′ = 30°. Compute the factor of safety against shear failure assuming water table located far below the point. Also compute the percentage reduction in factor of safety if water table rises to the ground level. Take unit weight of water = 9.81 kN/m³. (10 marks)
(e) Excavation is made in a soil whose porosity is 35% and specific gravity of soil grains is 2.65. A 3.0 m layer of this soil is subjected to an upward seepage head of 4.0 m. What factor of safety exists against boiling (piping) ? If a factor of safety of 2 is required against boiling, what depth of gravel is required to be placed above the soil stratum ? Assume unit weight of gravel and the soil to be the same and loss of head in the layer to be negligible. Assume γw = 9.81 kN/m³. (10 marks)
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(क) एक वीयर के ऊपर जल की प्रवाह दर 3 m³/s है । वीयर के एक 1 : 10 अनुमाप निदर्श का परीक्षण एक जल वाहिका में किया जाता है । निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :
(i) निदर्श के लिए किस प्रवाह दर का उपयोग किया जाना चाहिए ?
(ii) आदिप्ररूप पर कितना बल प्रत्याशित होगा, यदि निदर्श पर 15 N के एक बल का अनुभव किया जाता है ? (10 अंक)
(ख) एक छोटे हवाई जहाज पर एक आयताकार विमान पंख की जीवा 1.3 m और विस्तृति 10 m है । 250 km/hour पर वायु में उड़ने पर विमान पंख 20 kN के सकल वायुगतिक बल का अनुभव करता है । विमान पंख का उत्थान गुणांक क्या होगा, यदि उत्थान-विकर्ष अनुपात 3 है ? वायु का घनत्व 1.20 kg/m³ लीजिए । (10 अंक)
(ग) चित्र में दर्शाए अनुसार, एक आदर्शीकृत त्रिज्यीय टरबाइन 140 परिक्रमण/मिनट पर घूर्णित है । निरपेक्ष प्रवाह 30° पर प्रवेश करता है और त्रिज्यीय अंतर्मुख निकलता है । 20°C पर जल की प्रवाह दर 4.0 m³/s है । ब्लेड की मोटाई 10 cm पर नियत है । टरबाइन द्वारा उत्पन्न की जाने वाली सैद्धांतिक शक्ति क्या होगी, यदि जल का घनत्व 1000 kg/m³ है । [चित्र: बाहरी त्रिज्या 70 cm, भीतरी त्रिज्या 40 cm, b = 10 cm] (10 अंक)
(घ) निकट में एक नींव के निर्माण के कारण 7.0 m की गहराई पर उत्पन्न अपरूपण प्रतिबल 50 kN/m² है । स्थल पर मृदा गुण ये हैं : एकक भार γ = 18 kN/m³, प्रभावी संसंजन C′ = 12 kN/m², प्रभावी घर्षण कोण φ′ = 30° । भौम जल स्तर को बिन्दु से बहुत अधिक नीचे मानते हुए अपरूपण विफलता के विरुद्ध सुरक्षा गुणक की गणना कीजिए । सुरक्षा गुणक में प्रतिशत कमी की गणना भी कीजिए, यदि भौम जल स्तर भूमि तल तक आ जाए । जल का एकक भार = 9.81 kN/m³ लीजिए । (10 अंक)
(ङ) एक मृदा, जिसकी सरंध्रता 35% और मृदा कणों का विशिष्ट घनत्व 2.65 है, में खुदाई की गई है । इस मृदा की एक 3.0 m परत पर 4.0 m की उपरिमुखी रिसन दाबोच्चता लगी है । क्वथन (पाइपिंग) के विरुद्ध सुरक्षा गुणक कितना है ? यदि क्वथन के विरुद्ध आवश्यक सुरक्षा गुणक 2 है, तो मृदा परत के ऊपर कितनी गहराई तक बजरी रखा जाना आवश्यक है ? बजरी और मृदा का एकक भार समान मान लीजिए और परत में दाबोच्चता में हानि नगण्य मान लीजिए । γw = 9.81 kN/m³ मान लीजिए । (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All parts show complete working with correct formulas, units, and final values with proper interpretation.
- Free-surface flow, so Froude similarity
- Q_r = L_r^(5/2); Q_m = 9.49 L/s
- F_r = L_r³ = 1/1000 for the same fluid
- F_p = 15 kN
- V = 69.44 m/s and S = 13 m²
- Resultant R = L√10/3 from D = L/3, so L = 18 974 N
- Dynamic force ½ρV²S = 37 616 N
- C_L = 0.504
- u₂ = 10.26 m/s and V_r2 = 9.09 m/s
- V_w2 = V_r2 cot 30° = 15.75 m/s; V_w1 = 0
- Euler equation P = ρQ u₂V_w2
- P ≈ 646 kW
- τ_f = c′ + σ′ tan φ′
- Dry case: σ′ = 126, τ_f = 84.75, F = 1.70
- Submerged case: σ′ = 57.33, τ_f = 45.10, F = 0.90
- Reduction = 46.8%
- e = 0.538 and i_c = 1.0725
- i = 4/3, F = 0.80 (unsafe)
- F = γ′(L + d)/(γ_w H) = 2
- d ≈ 4.46 m
Q6 50M solve Open channel flow, fluid mechanics and retaining wall analysis
(a) A flow of 9.0 m³/s occurs in a long rectangular channel of 3.0 m width with 1.5 m depth of water flow. There is a smooth constriction in the channel to 2.0 m width in the downstream direction. Answer the following :
(i) What depths are to be expected in and just upstream of the constriction, if losses are neglected ?
(ii) Classify the gradually varied flow profile upstream of the constriction, with proper justification. (15 marks)
(b) A two-dimensional incompressible flow field is given by V = 2xy î + (x² − y²) ĵ, where î and ĵ are the unit vectors along x and y axes, respectively. Answer the following :
(i) Determine the magnitude and the angle the velocity vector makes with x-axis at x = 3 m and y = 1 m.
(ii) Is the flow physically possible ? If so, determine an expression for stream function.
(iii) What is the discharge between the streamlines passing through (1, 0) and (0, 1) ?
(iv) Is the flow irrotational ? Justify your answer with appropriate reasons. (15 marks)
(c) A retaining wall is shown in the figure below : [Figure: smooth vertical wall retaining Layer 1 above the ground water table, 3 m thick, γ = 17 kN/m³, φ′ = 28°, C = 0; Layer 2 below the ground water table, 4 m thick, γsat = 20 kN/m³, φ′ = 35°, C = 0; z measured downward from the top]
Assuming that the wall can yield sufficiently, determine the Rankine active force per unit length of the wall and also determine the location of the resultant line of action. (20 marks)
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(क) 3.0 m चौड़ी एक लम्बी आयताकार वाहिका में 1.5 m की जल प्रवाह की गहराई पर 9.0 m³/s का एक प्रवाह होता है । वाहिका में, अनुप्रवाह की दिशा में 2.0 m की चौड़ाई तक का एक मसृण संकुचन है । निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :
(i) यदि हानियाँ नगण्य हैं, तो संकुचन में और संकुचन के ठीक प्रतिप्रवाह पर प्रत्याशित गहराइयाँ क्या हैं ?
(ii) संकुचन के प्रतिप्रवाह पर क्रमशः-परिवर्ती प्रवाह प्रोफाइल का वर्गीकरण उचित औचित्य देते हुए कीजिए । (15 अंक)
(ख) एक द्वि-विमीय असंपीड्य प्रवाह क्षेत्र V = 2xy î + (x² − y²) ĵ द्वारा दिया गया है, जहाँ î और ĵ क्रमशः x और y अक्षों के साथ एकक सदिश हैं । निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :
(i) x = 3 m और y = 1 m पर वेग सदिश का परिमाण और इसके द्वारा x-अक्ष के साथ बनाए जाने वाले कोण का निर्धारण कीजिए ।
(ii) क्या प्रवाह भौतिक रूप में सम्भव है ? यदि हाँ, तो धारा फलन का व्यंजक निर्धारित कीजिए ।
(iii) (1, 0) और (0, 1) से गुज़रने वाली धारा रेखाओं के बीच निस्सरण क्या है ?
(iv) क्या प्रवाह अघूर्णी है ? उचित कारणों के साथ अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए । (15 अंक)
(ग) एक प्रतिधारक भित्ति नीचे चित्र में दर्शाई गई है : [चित्र: चिकनी ऊर्ध्वाधर भित्ति; परत 1, भौम जल स्तर के ऊपर, 3 m मोटी, γ = 17 kN/m³, φ′ = 28°, C = 0; परत 2, भौम जल स्तर के नीचे, 4 m मोटी, γsat = 20 kN/m³, φ′ = 35°, C = 0; z ऊपर से नीचे की ओर]
यह मानते हुए कि भित्ति का पराभव पर्याप्त रूप से हो सकता है, रेन्किन का सक्रिय बल भित्ति की प्रति एकक लम्बाई पर ज्ञात कीजिए और क्रिया की परिणामी रेखा की स्थिति भी ज्ञात कीजिए । (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete working with all steps shown, correct units, and proper justification for all parts.
- E₁ = 1.704 m, less than E_min = 1.910 m, so the throat chokes
- Critical depth in throat y_c = 1.27 m (q = 4.5 m²/s)
- Upstream depth from E = E_min: y = 1.76 m
- y > y_n > y_c on a mild slope gives an M1 backwater profile
- At (3, 1): V = 10 m/s at 53.13° to x-axis
- Continuity satisfied, so the flow is possible; ψ = xy² − x³/3
- Discharge between the streamlines = 1/3 m²/s per metre
- Vorticity is zero, so the flow is irrotational
- K_a1 = 0.361 and K_a2 = 0.271
- Soil pressure diagrams: 27.62 + 55.28 + 22.09 = 105.0 kN/m
- Water thrust 78.48 kN/m; total 183.5 kN/m
- Resultant at 4.91 m below top, 2.09 m above base
Q7 50M solve Soil mechanics and fluid mechanics problems
(a) A 3.0 m high sandy fill material was placed loosely at a relative density of 50%. Laboratory studies indicated that the maximum and minimum void ratios of the fill material are 0.90 and 0.52 respectively. Construction specifications required that the fill be compacted to a relative density of 80%. If Gs = 2.65, determine :
(i) Dry unit weight of the fill before and after compaction.
(ii) Final height of the fill after compaction.
Take γw = 9.81 kN/m³. (15 marks)
(b) A group of 9 driven cast in situ piles is installed in a layered cohesive soil deposit as shown in the figure below. Piles are 40 cm in diameter and 15 m long. The spacing between the piles is 1.2 m and the cutoff level is 2.0 m below the ground level. Determine the safe load of the piles with a factor of safety of 2.5. [Figure: water table at ground level; firm clay 0–3 m, cu = 50 kN/m², α = 0.9, γ = 18 kN/m³; soft clay 3–12 m, cu = 30 kN/m², α = 1.0, γ = 16 kN/m³; stiff clay 12–17 m, cu = 90 kN/m², α = 0.5, γ = 20 kN/m³; pile cap with its base 2 m below ground] (15 marks)
(c) Glycerin is flowing through a 2.5 cm diameter horizontal pipe of 30 m length that discharges it into the atmosphere at 101 kPa. The flow rate through the pipe is 0.05 litres/second. Dynamic viscosity (μ) and density of glycerin are 0.25 kg/m-s and 1250 kg/m³, respectively. Answer the following :
(i) What is the absolute pressure at 30 m length just before the exit of pipe ?
(ii) At what angle (θ) must the pipe be inclined downward from the horizontal for the pressure in the entire pipe to be atmospheric pressure and the flow rate to be maintained the same ? (20 marks)
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(क) एक 3.0 m ऊँचा बालुई भरण पदार्थ 50% सापेक्ष घनत्व पर असंहत रूप में रखा गया । प्रयोगशाला अध्ययन संकेत करते हैं कि भरण पदार्थ के अधिकतम और न्यूनतम रिक्ति अनुपात क्रमशः 0.90 और 0.52 हैं । निर्माण विनिर्देशों के अनुसार भरण को 80% के सापेक्ष घनत्व तक संहनित किया जाना है । यदि Gs = 2.65 है, तो निर्धारित कीजिए :
(i) संहनन के पहले और बाद में भरण का शुष्क एकक भार ।
(ii) संहनन के बाद भरण की अंतिम ऊँचाई ।
γw = 9.81 kN/m³ लीजिए । (15 अंक)
(ख) नीचे चित्र में दर्शाए अनुसार, स्व-स्थान ढली 9 प्रवेशित स्थूणाओं के एक समूह को एक स्तरित संसजनी मृदा निक्षेप में अधिष्ठापित किया गया है । स्थूणाओं का व्यास 40 cm और लम्बाई 15 m है । स्थूणाओं के बीच अंतराल 1.2 m है और विच्छेद तल भूमि तल से 2.0 m नीचे है । सुरक्षा गुणक 2.5 के साथ, स्थूणाओं के सुरक्षित भार को निर्धारित कीजिए । [चित्र: भौम जल स्तर भूमि तल पर; दृढ़ मृत्तिका 0–3 m, cu = 50 kN/m², α = 0.9, γ = 18 kN/m³; मृदु मृत्तिका 3–12 m, cu = 30 kN/m², α = 1.0, γ = 16 kN/m³; दुर्नम्य मृत्तिका 12–17 m, cu = 90 kN/m², α = 0.5, γ = 20 kN/m³; स्थूणा-टोपी का आधार भूमि से 2 m नीचे] (15 अंक)
(ग) एक 30 m लम्बे, 2.5 cm व्यास के क्षैतिज पाइप में ग्लिसरीन प्रवाहित है, जो इसे 101 kPa पर वायुमण्डल में निस्सरित करती है । पाइप में प्रवाह दर 0.05 लीटर/सेकण्ड है । ग्लिसरीन की गतिक श्यानता (μ) और घनत्व क्रमशः 0.25 kg/m-s और 1250 kg/m³ हैं । निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :
(i) पाइप के निर्गम से तुरंत पहले 30 m लम्बाई पर निरपेक्ष दाब क्या है ?
(ii) पाइप को क्षैतिज से नीचे की ओर किस कोण (θ) से झुकाया जाए जिससे पूरे पाइप में दाब, वायुमंडलीय दाब हो और प्रवाह दर समान बनी रहे ? (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All parts show complete derivation, correct units, and explicit checks; neat sketches and code references present.
- e₁ = 0.71 and e₂ = 0.596 from the relative-density relation
- γ_d = G_sγ_w/(1 + e): 15.20 and 16.29 kN/m³
- Constant solid volume: H₂ = H₁(1 + e₂)/(1 + e₁)
- H₂ = 2.80 m
- Shaft resistance Σ α c_u L × perimeter = 678.6 kN per pile
- Base resistance 9 c_u A_b = 101.8 kN; Q_u = 780.4 kN
- Block capacity (B = 2.8 m) = 14 974 kN exceeds 9 × 780.4 = 7023 kN
- Q_safe = 7023/2.5 ≈ 2809 kN
- V = 0.1019 m/s and Re = 12.7, so laminar
- Hagen–Poiseuille Δp = 39.1 kPa
- p_upstream = 101 + 39.1 = 140.1 kPa absolute
- sin θ = h_f/L = 3.19/30, θ = 6.1° downward
Q8 50M solve Soil mechanics and fluid mechanics problems
(a) At a site, fine sand exists to a depth of 10 m and below this lies a soft clay layer 7.0 m thick. Water table is 4.0 m below the ground surface. Saturated unit weight of sand is 20.0 kN/m³ and the wet unit weight above the water table is 18 kN/m³. The water content of the normally consolidated clay is 42%, liquid limit is 46% and the specific gravity of the solid particles is 2.75. The proposed construction will transmit a net stress of 130 kN/m² at the centre of the clay layer. Find the average settlement of the clay layer. (15 marks)
(b) A strip footing of width 2.8 m as shown in the figure is founded at a depth of 2.5 m below the ground surface in a C–φ soil (φ = 30°, γ = 18 kN/m³, C = 40 kN/m²). Water table is at a depth of 6 m below the ground surface. The average moist weight of soil above the water table is 18 kN/m³. Determine the ultimate bearing capacity, net ultimate bearing capacity, net allowable bearing pressure and the load/m for a factor of safety of 2.5. Use the general shear failure theory of Terzaghi. Given : For φ = 30°, Nc = 37.2, Nq = 22.5, Nγ = 19.7. What will be the percent decrease in ultimate bearing capacity if during the flooding, water level rises 2 m above ground surface ? (15 marks)
(c) Water at 20°C flows through a pipe of inlet diameter of 10 cm and passes further through a circular nozzle of diameter 2.5 cm, exits into the air as a jet, and strikes a vertical plate as shown in the figure. A force, F = 100 N is required to hold the plate stationary. Assuming steady, frictionless, one-dimensional flow and densities of water and mercury as 1000 kg/m³ and 13550 kg/m³ respectively, answer the following :
(i) Determine the velocities at sections ① and ②.
(ii) Determine the mass flow rate of water.
(iii) Determine the mercury manometer reading 'h'. [Figure: a mercury U-tube manometer connects the taps at sections ① and ②; h is the difference in mercury levels] (20 marks)
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(क) एक स्थल पर, 10 m गहराई तक महीन बालू है और इसके नीचे 7.0 m मोटी मृदु मृत्तिका परत है । भौम जल स्तर भूमि तल से 4.0 m नीचे है । बालू का संतृप्त एकक भार 20.0 kN/m³ है और भौम जल स्तर से ऊपर आर्द्र एकक भार 18 kN/m³ है । सामान्य रूप से संघनित मृत्तिका का जलांश 42%, द्रव सीमा 46% है और ठोस कणों का विशिष्ट घनत्व 2.75 है । प्रस्तावित निर्माण, मृत्तिका परत के मध्य पर 130 kN/m² का निवल प्रतिबल प्रेषित करेगा । मृत्तिका परत का औसत निषदन ज्ञात कीजिए । (15 अंक)
(ख) 2.8 m चौड़ी एक पट्टी पाद (फुटिंग) को चित्र में दर्शाए अनुसार एक C–φ मृदा (φ = 30°, γ = 18 kN/m³, C = 40 kN/m²) में भूमि तल से 2.5 m नीचे आधारित किया गया है । भौम जल स्तर भूमि तल से नीचे 6 m गहराई पर है । भौम जल स्तर से ऊपर मृदा का औसत आर्द्र भार 18 kN/m³ है । 2.5 के एक सुरक्षा गुणक के लिए चरम धारण क्षमता, निवल चरम धारण क्षमता, निवल अनुज्ञेय धारण दाब और भार/मीटर निर्धारित कीजिए । टेरज़ाघी के सामान्य अपरूपण विफलन सिद्धांत का उपयोग कीजिए । प्रदत्त : φ = 30° के लिए, Nc = 37.2, Nq = 22.5, Nγ = 19.7 । यदि बाढ़ के दौरान, जल स्तर भूमि तल से 2 m ऊपर हो जाता है तो चरम धारण क्षमता में प्रतिशत कमी क्या होगी ? (15 अंक)
(ग) 10 cm के अन्तर्गम व्यास के एक पाइप से 20°C पर जल प्रवाहित है और आगे यह 2.5 cm व्यास के एक वृत्ताकार नोज़ल से गुजरते हुए वायु में एक जैट की तरह बाहर निकलता है और चित्र में दर्शाए अनुसार एक ऊर्ध्वाधर प्लेट से टकराता है । प्लेट को स्थिर रखने के लिए एक बल, F = 100 N आवश्यक है । प्रवाह को अपरिवर्ती, घर्षण रहित, एक-विमीय प्रवाह और जल तथा पारे के घनत्व क्रमशः 1000 kg/m³ और 13550 kg/m³ मानते हुए, निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :
(i) परिच्छेद ① और ② पर वेग निर्धारित कीजिए ।
(ii) जल की द्रव्यमान प्रवाह दर निर्धारित कीजिए ।
(iii) पारा मैनोमीटर पाठ्यांक 'h' निर्धारित कीजिए । [चित्र: परिच्छेद ① और ② की टोंटियों को जोड़ने वाला पारे का U-नली मैनोमीटर; h पारे के तलों का अंतर है] (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Terzaghi's Bearing Capacity Theory, 1D Consolidation Theory, Bernoulli's Equation. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All steps shown with correct formulas, units, and final values; clear sketches.
- e₀ = wG_s = 1.155 and γ′_clay = 7.97 kN/m³
- σ′₀ at clay centre = 161 kN/m²
- C_c = 0.009(LL − 10) = 0.324
- S = C_cH/(1 + e₀) log[(σ′₀ + Δσ)/σ′₀] ≈ 0.27 m
- q_u = 1488 + 1012.5 + 496.4 = 2997 kN/m²
- q_nu = 2952 kN/m²; net allowable 1181 kN/m²; load 3306 kN/m
- Flooded case with γ′ = 8.19 kN/m³: q_u = 2175 kN/m²
- Decrease = 27.4%
- F = ρA₂V₂², so V₂ = 14.27 m/s
- V₁ = 0.892 m/s by continuity
- ṁ = 7.01 kg/s
- p₁ = ½ρ(V₂² − V₁²) = 101.5 kPa; h = 0.824 m of mercury