Q5 50M Compulsory solve Fluid mechanics and geotechnical engineering problems
The flow rate of water over a weir is 3 m³/s. A 1 : 10 scale model of the weir is tested in a water channel. Answer the following :
(i) What flow rate should be used for the model ?
(ii) If a force of 15 N is experienced on the model, what force would be expected on the prototype ?
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A rectangular wing on a small airplane has a 1·3 m chord and a 10 m span. When flying in air at 250 km/hour, the wing experiences a total aerodynamic force of 20 kN. If the lift to drag ratio is 3, what would be the lift coefficient of the wing ? Take density of air as 1·20 kg/m³.
10
An idealized radial turbine is rotating at 140 rev/min as shown in the figure. The absolute flow enters at 30° and leaves radially inward. The flow rate is 4·0 m³/s of water at 20°C. The blade thickness is constant at 10 cm. If density of water is 1000 kg/m³, what would be the theoretical power developed by the turbine ?
10
The shear stress induced at a depth of 7·0 m due to construction of a nearby foundation is 50 kN/m². The soil properties at the site are given below :
Unit weight (γ) = 18 kN/m³
Effective cohesion (C') = 12 kN/m²
Effective friction angle (φ') = 30°
Compute the factor of safety against shear failure assuming water table located far below the point. Also compute the percentage reduction in factor of safety if water table rises to the ground level.
Take unit weight of water = 9·81 kN/m³.
10
Excavation is made in a soil whose porosity is 35% and specific gravity of soil grains is 2·65. A 3·0 m layer of this soil is subjected to an upward seepage head of 4·0 m. What factor of safety exists against boiling (piping) ? If a factor of safety of 2 is required against boiling, what depth of gravel is required to be placed above the soil stratum ? Assume unit weight of gravel and the soil to be the same and loss of head in the layer to be negligible. Assume γw = 9·81 kN/m³.
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एक बीयर के ऊपर जल की प्रवाह दर 3 m³/s है । बीयर के एक 1 : 10 अनुमाप निदर्श का परीक्षण एक जल वाहिका में किया जाता है । निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :
(i) निदर्श के लिए किस प्रवाह दर का उपयोग किया जाना चाहिए ?
(ii) आदिप्ररूप पर कितना बल प्रत्याशित होगा, यदि निदर्श पर 15 N के एक बल का अनुभव किया जाता है ?
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एक छोटे हवाई जहाज पर एक आयताकार विमान पंख की जीवा 1·3 m और विस्तृति 10 m है । 250 km/hour पर वायु में उड़ने पर विमान पंख 20 kN के सकल वायुगतिक बल का अनुभव करता है । विमान पंख का उत्थान गुणांक क्या होगा, यदि उत्थान-विकर्ष अनुपात 3 है ? वायु का घनत्व 1·20 kg/m³ लीजिए ।
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चित्र में दर्शाए अनुसार, एक आदर्शीकृत त्रिज्यीय टरबाइन 140 परिक्रमण/मिनट पर घूर्णित है । निरपेक्ष प्रवाह 30° पर प्रवेश करता है और त्रिज्यीय अंतर्मुख निकलता है । 20°C पर जल की प्रवाह दर 4·0 m³/s है । ब्लेड की मोटाई 10 cm पर नियत है । टरबाइन द्वारा उत्पन्न की जाने वाली सैद्धांतिक शक्ति क्या होगी, यदि जल का घनत्व 1000 kg/m³ है ।
10
निकट में एक नींव के निर्माण के कारण 7·0 m की गहराई पर उत्पन्न अपरूपण प्रतिबल 50 kN/m² है । स्थल पर मृदा गुण नीचे दिए गए हैं :
एकक भार (γ) = 18 kN/m³
प्रभावी संसजन (C') = 12 kN/m²
प्रभावी घर्षण कोण (φ') = 30°
भौम जल स्तर को बिंदु से बहुत अधिक नीचे मानते हुए अपरूपण विफलता के विरुद्ध सुरक्षा गुणक की गणना कीजिए । सुरक्षा गुणक में प्रतिशत कमी की गणना भी कीजिए, यदि भौम जल स्तर भूमि तल तक आ जाए ।
जल का एकक भार = 9·81 kN/m³ लीजिए ।
10
एक मृदा, जिसकी संरधता 35% और मृदा कणों का विशिष्ट घनत्व 2·65 है, में खुदाई की गई है । इस मृदा की एक 3·0 m परत पर 4·0 m की उपरिमुखी रिसन दाबोच्चता लगी है । क्वथन (पाइपिंग) के विरुद्ध सुरक्षा गुणक कितना है ? यदि क्वथन के विरुद्ध आवश्यक सुरक्षा गुणक 2 है, तो मृदा परत के ऊपर कितनी गहराई तक बजरी रखा जाना आवश्यक है ? बजरी और मृदा का एकक भार समान मान लीजिए और परत में दाबोच्चता में हानि नगण्य मान लीजिए । γw = 9·81 kN/m³ मान लीजिए ।
Answer approach & key points
Solve all five numerical problems systematically, allocating approximately 20% time to each part. Begin with dimensional analysis for the weir model (parts i-ii), then proceed to aerodynamic lift coefficient, turbine power calculation, factor of safety in shear failure, and finally seepage/boiling analysis. Present each solution with clear problem identification, formula application, substitution, and final answer with units.
- Part (i-ii): Apply Froude's model law correctly — Qm/Qp = (Lr)^(5/2) = (1/10)^(5/2) = 0.00316, giving Qm = 9.49 L/s; Force ratio Fp/Fm = (Lr)^3 = 1000, giving Fp = 15,000 N
- Part (iii): Calculate lift coefficient using CL = 2L/(ρV²A) where L = 15 kN (from 3:1 ratio), V = 69.44 m/s, A = 13 m²; yields CL ≈ 0.40
- Part (iv): Apply Euler turbine equation P = ρQ(u1Vu1 - u2Vu2) with u2=0 (radial exit), u1 = ωr1, Vu1 = V1cos30°; requires geometric interpretation from figure for radius
- Part (v): Compute σ = γz + Δσ = 18×7 + 50 = 176 kPa; τf = c' + (σ-u)tanφ' = 12 + 176×tan30° = 113.6 kPa; FS = τf/τ = 113.6/50 = 2.27; for WT at GL, FS reduces to ~1.14 (50% reduction)
- Part (vi): Calculate critical hydraulic gradient ic = (Gs-1)/(1+e) = (2.65-1)/1.538 = 1.073; actual i = 4/3 = 1.333; FS = ic/i = 0.805 (unsafe); for FS=2, required gravel depth h gives total head loss 4m over (3+h)m with revised gradient
Q6 50M solve Open channel flow, fluid mechanics and retaining wall analysis
A flow of 9·0 m³/s occurs in a long rectangular channel of 3·0 m width with 1·5 m depth of water flow. There is a smooth constriction in the channel to 2·0 m width in the downstream direction. Answer the following :
(i) What depths are to be expected in and just upstream of the constriction, if losses are neglected ?
(ii) Classify the gradually varied flow profile upstream of the constriction, with proper justification.
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A two-dimensional incompressible flow field is given by
V = 2xy î + (x² – y²) ĵ , where î and ĵ are the unit vectors along x and y
axes, respectively. Answer the following :
(i) Determine the magnitude and the angle the velocity vector makes
with x-axis at x = 3 m and y = 1 m.
(ii) Is the flow physically possible ? If so, determine an expression for
stream function.
(iii) What is the discharge between the streamlines passing through
(1, 0) and (0, 1) ?
(iv) Is the flow irrotational ? Justify your answer with appropriate
reasons.
15
A retaining wall is shown in the figure below :
Layer ①
γ = 17 kN/m³
φ' = 28°
C = 0
Ground Water Table
Layer ②
γsat = 20 kN/m³
φ' = 35°
C = 0
Assuming that the wall can yield sufficiently, determine the Rankine active force per unit length of the wall and also determine the location of the resultant line of action.
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3·0 m चौड़ी एक लंबी आयताकार वाहिका में 1·5 m की जल प्रवाह की गहराई पर 9·0 m³/s का एक प्रवाह होता है । वाहिका में, अनुप्रवाह की दिशा में 2·0 m की चौड़ाई तक का एक मसृण संकुचन है । निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :
(i) यदि हानियाँ नगण्य हैं, तो संकुचन में और संकुचन के ठीक प्रतिप्रवाह पर प्रत्याशित गहराइयाँ क्या हैं ?
(ii) संकुचन के प्रतिप्रवाह पर क्रमशः-परिवर्ती प्रवाह प्रोफाइल का वर्गीकरण उचित औचित्य देते हुए कीजिए ।
15
एक द्वि-विमीय असंपीड्य प्रवाह क्षेत्र V = 2xy î + (x² – y²) ĵ द्वारा दिया गया है, जहाँ î और ĵ क्रमशः x और y अक्षों के साथ एकक सदिश हैं । निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :
(i) x = 3 m और y = 1 m पर वेग सदिश का परिमाण और इसके द्वारा x-अक्ष के साथ बनाए जाने वाले कोण का निर्धारण कीजिए ।
(ii) क्या प्रवाह भौतिक रूप में संभव है ? यदि हाँ, तो धारा फलन का व्यंजक निर्धारित कीजिए ।
(iii) (1, 0) और (0, 1) से गुजरने वाली धारा रेखाओं के बीच निस्सरण क्या है ?
(iv) क्या प्रवाह अघूर्णी है ? उचित कारणों के साथ अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए ।
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एक प्रतिधारक भित्ति नीचे चित्र में दर्शाई गई है :
z
3 m
γ = 17 kN/m³
φ' = 28°
C = 0
परत ①
भौम जल स्तर
4 m
γsat = 20 kN/m³
φ' = 35°
C = 0
परत ②
यह मानते हुए कि भित्ति का प्रारंभ पयांस रूप से हो सकता है, रैंकिन का सक्रिय बल
भित्ति की प्रति एकक लंबाई पर ज्ञात कीजिए और क्रिया की परिणामी रेखा की स्थिति भी
ज्ञात कीजिए ।
Answer approach & key points
Solve this multi-part numerical problem by allocating approximately 35% time to the open channel flow sub-parts (i)-(ii), 40% to the fluid mechanics sub-parts (iii)-(iv), and 25% to the retaining wall problem. Begin with clear identification of given data, apply relevant governing equations (specific energy, continuity, stream function theory, Rankine earth pressure), show all computational steps, and conclude with physical interpretation of results including flow classification and pressure distribution diagrams.
- For (i): Calculate critical depth (yc = 0.972 m) and specific energy (E = 2.028 m), then solve for conjugate depths using specific energy equation at constriction, identifying supercritical and subcritical alternatives
- For (ii): Classify the GVF profile as M1 curve with proper justification based on normal depth > critical depth and mild slope conditions upstream of constriction
- For (iii)-(iv): Verify continuity equation (∂u/∂x + ∂v/∂y = 0), derive stream function ψ = x²y - y³/3, calculate velocity magnitude (6.32 m/s) and angle (18.43°), compute discharge between streamlines (0.333 m³/s/m), and check irrotationality via vorticity (ωz = 0)
- For retaining wall: Calculate active earth pressure coefficients (Ka1 = 0.361, Ka2 = 0.271), determine effective stresses at layer interfaces and groundwater table, compute resultant force per unit length (≈ 180-200 kN/m), and locate centroid of pressure distribution
- Present clear free-body diagrams for the retaining wall showing pressure distribution with hydrostatic component below GWT and effective stress above
Q7 50M solve Soil mechanics and fluid mechanics problems
(a) A 3·0 m high sandy fill material was placed loosely at a relative density of 50%. Laboratory studies indicated that the maximum and minimum void ratios of the fill material are 0·90 and 0·52 respectively. Construction specifications required that the fill be compacted to a relative density of 80%. If Gs = 2·65, determine :
(i) Dry unit weight of the fill before and after compaction.
(ii) Final height of the fill after compaction.
Take γw = 9·81 kN/m³. (15 marks)
(b) A group of 9 driven cast in situ piles is installed in a layered cohesive soil deposit as shown in the figure below. Piles are 40 cm in diameter and 15 m long. The spacing between the piles is 1·2 m and the cutoff level is 2·0 m below the ground level. Determine the safe load of the piles with a factor of safety of 2·5. (15 marks)
(c) Glycerin is flowing through a 2·5 cm diameter horizontal pipe of 30 m length that discharges it into the atmosphere at 101 kPa. The flow rate through the pipe is 0·05 litres/second. Dynamic viscosity (μ) and density of glycerin are 0·25 kg/m-s and 1250 kg/m³, respectively.
Answer the following :
(i) What is the absolute pressure at 30 m length just before the exit of pipe ?
(ii) At what angle (θ) must the pipe be inclined downward from the horizontal for the pressure in the entire pipe to be atmospheric pressure and the flow rate to be maintained the same ? (20 marks)
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(a) एक 3·0 m ऊँचा बालुई भरण पदार्थ 50% सापेक्ष घनत्व पर असंहत रूप में रखा गया । प्रयोगशाला अध्ययन संकेत करते हैं कि भरण पदार्थ के अधिकतम और न्यूनतम रिक्त अनुपात क्रमशः: 0·90 और 0·52 हैं । निर्माण विनिर्देशों के अनुसार भरण को 80% के सापेक्ष घनत्व तक संहनित किया जाना है । यदि Gs = 2·65 है, तो निर्धारित कीजिए :
(i) संहनन के पहले और बाद में भरण का शुष्क एकक भार ।
(ii) संहनन के बाद भरण की अंतिम ऊँचाई ।
γw = 9·81 kN/m³ लीजिए । (15 marks)
(b) नीचे चित्र में दर्शाए अनुसार, स्व-स्थान ढली 9 प्रवेशित स्तंभों के एक समूह को एक स्तरित संसजनी मृदा निक्षेप में अधिष्ठापित किया गया है । स्तंभों का व्यास 40 cm और लम्बाई 15 m है । स्तंभों के बीच अंतराल 1·2 m है और विच्छेद तल भूमि तल से 2·0 m नीचे है । सुरक्षा गुणक 2·5 के साथ, स्तंभों के सुरक्षित भार को निर्धारित कीजिए ।
दृढ़ मृतिका
Cᵤ = 50 kN/m²
α = 0·9
γ = 18 kN/m³
मृदु मृतिका
Cᵤ = 30 kN/m²
α = 1·0
γ = 16 kN/m³
दृढ़ीय मृतिका
Cᵤ = 90 kN/m²
α = 0·5
γ = 20 kN/m³
स्तंभ समूह (15 marks)
(c) एक 30 m लम्बे, 2·5 cm व्यास के क्षैतिज पाइप में ग्लिसरिन प्रवाहित है, जो इसे 101 kPa पर वायुमण्डल में निर्सरित करती है । पाइप में प्रवाह दर 0·05 लीटर/सेकण्ड है । ग्लिसरिन की गतिक श्यानता (μ) और घनत्व क्रमशः: 0·25 kg/m-s और 1250 kg/m³ हैं । निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :
(i) पाइप के निर्गम से तुरन्त पहले 30 m लम्बाई पर निरपेक्ष दाब क्या है ?
(ii) पाइप को क्षैतिज से नीचे की ओर किस कोण (θ) से झुकाया जाए जिससे पूरे पाइप में दाब, वायुमण्डलीय दाब हो और प्रवाह दर समान बनी रहे ? (20 marks)
Answer approach & key points
Solve all three numerical parts systematically, allocating approximately 30% time to part (a) on soil compaction, 30% to part (b) on pile group capacity, and 40% to part (c) on pipe flow hydraulics. Begin each part with stated assumptions and formulae, proceed through step-by-step calculations with proper units, and conclude with clearly boxed final answers for each sub-part.
- Part (a): Correct application of relative density formula to find void ratios before and after compaction, then dry unit weight using γd = Gs·γw/(1+e), and height reduction using mass conservation
- Part (a)(ii): Calculation of final height using relationship H2 = H1 × (1+e2)/(1+e1) based on constant mass and plan area
- Part (b): Determination of individual pile capacity in layered clay using α-method for skin friction and bearing capacity for base, then application of group efficiency factors for 3×3 pile group
- Part (b): Consideration of block failure mode versus individual pile failure for closely spaced piles (spacing/diameter = 3)
- Part (c)(i): Application of Hagen-Poiseuille equation for laminar flow to find pressure drop, verification of Reynolds number, and calculation of absolute pressure at pipe exit
- Part (c)(ii): Derivation of required inclination angle using energy equation where pressure gradient due to elevation head balances viscous losses, maintaining same flow rate
Q8 50M solve Soil mechanics and fluid mechanics problems
(a) At a site, fine sand exists to a depth of 10 m and below this lies a soft clay layer 7·0 m thick. Water table is 4·0 m below the ground surface. Saturated unit weight of sand is 20·0 kN/m³ and the wet unit weight above the water table is 18 kN/m³. The water content of the normally consolidated clay is 42%, liquid limit is 46% and the specific gravity of the solid particles is 2·75. The proposed construction will transmit a net stress of 130 kN/m² at the centre of the clay layer. Find the average settlement of the clay layer. (15 marks)
(b) A strip footing of width 2·8 m as shown in the figure is founded at a depth of 2·5 m below the ground surface in a C – φ soil. Water table is at a depth of 6 m below the ground surface. The average moist weight of soil above the water table is 18 kN/m³. Determine the ultimate bearing capacity, net ultimate bearing capacity, net allowable bearing pressure and the load/m for a factor of safety of 2·5. Use the general shear failure theory of Terzaghi.
Given : For φ = 30°, Nc = 37·2
Nq = 22·5
Nγ = 19·7
What will be the percent decrease in ultimate bearing capacity if during the flooding, water level rises 2 m above around surface ? (15 marks)
(c) Water at 20°C flows through a pipe of inlet diameter of 10 cm and passes further through a circular nozzle of diameter 2·5 cm, exits into the air as a jet, and strikes a vertical plate as shown in the figure. A force, F = 100 N is required to hold the plate stationary. Assuming steady, frictionless, one-dimensional flow and densities of water and mercury as 1000 kg/m³ and 13550 kg/m³ respectively, answer the following :
(i) Determine the velocities at sections ① and ②.
(ii) Determine the mass flow rate of water.
(iii) Determine the mercury manometer reading 'h'. (20 marks)
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(a) एक स्थल पर, 10 m गहराई तक महीन बालू है और इसके नीचे 7·0 m मोटी मृद् मृत्तिका परत है । भौम जल स्तर भूमि तल से 4·0 m नीचे है । बालू का संतृप्त एकक भार 20·0 kN/m³ है और भौम जल स्तर से ऊपर आर्द्र एकक भार 18 kN/m³ है । सामान्य रूप से संघनित मृत्तिका का जलांश 42%, द्रव सीमा 46% है और ठोस कणों का विशिष्ट घनत्व 2·75 है । प्रस्तावित निर्माण, मृत्तिका परत के मध्य पर 130 kN/m² का निवल प्रतिबल प्रेषित करेगा । मृत्तिका परत का औसत निष्पदन ज्ञात कीजिए । (15 marks)
(b) 2.8 m चौड़ी एक पट्टी पाद (फुटिंग) को चित्र में दर्शाए अनुसार एक C - φ मृदा में भूमि तल से 2.5 m नीचे आधारित किया गया है। भौम जल स्तर भूमि तल से नीचे 6 m गहराई पर है। भौम जल स्तर से ऊपर मृदा का औसत आर्द्र भार 18 kN/m³ है। 2.5 के एक सुरक्षा गुणक के लिए चरम धारण क्षमता, निवल चरम धारण क्षमता, निवल अनुमेय धारण दाब और भार/मीटर निर्धारित कीजिए। टेरज़ाघी के सामान्य अपरूपण विफलन सिद्धांत का उपयोग कीजिए।
प्रदत्त : φ = 30° के लिए, Nc = 37.2
Nq = 22.5
Nγ = 19.7
यदि बाढ़ के दौरान, जल स्तर भूमि तल से 2 m ऊपर हो जाता है तो चरम धारण क्षमता में प्रतिशत कमी क्या होगी ?
पाद (फुटिंग)
←B = 2.8 m→
φ = 30°
γ = 18 kN/m³
C = 40 kN/m² (15 marks)
(c) 10 cm के अंतर्गम व्यास के एक पाइप से 20°C पर जल प्रवाहित है और आगे यह 2·5 cm व्यास के एक वृत्ताकार नोजल से गुजरते हुए वायु में एक जेट की तरह बाहर निकलता है और चित्र में दर्शाए अनुसार एक उर्ध्वाधर प्लेट से टकराता है। प्लेट को स्थिर रखने के लिए एक बल, F = 100 N आवश्यक है। प्रवाह को अपरिवर्ती, घर्षण रहित, एक-विमीय प्रवाह और जल तथा पारे के घनत्व क्रमशः: 1000 kg/m³ और 13550 kg/m³ मानते हुए, निम्नलिखित के उत्तर दीजिए :
(i) परिच्छेद ① और ② पर वेग निर्धारित कीजिए।
(ii) जल की द्रव्यमान प्रवाह दर निर्धारित कीजिए।
(iii) पारा मैनोमीटर पाठ्यांक 'h' निर्धारित कीजिए। (20 marks)
Answer approach & key points
Solve all three parts systematically, allocating approximately 30% time to part (a) settlement calculation, 30% to part (b) bearing capacity with Terzaghi's theory, and 40% to part (c) fluid mechanics with continuity, momentum and manometry. Begin each part with clear identification of given data, apply relevant formulas with proper unit conversions, and conclude with boxed final answers. For part (c), solve sub-parts (i)-(iii) sequentially as they are interdependent.
- Part (a): Calculate initial effective stress at mid-clay layer using submerged unit weights; determine compression index Cc from liquid limit using Cc = 0.009(LL-10); compute settlement using ΔH = (CcH₀/1+e₀)log₁₀[(σ'₀+Δσ)/σ'₀]
- Part (b): Apply Terzaghi's general shear failure equation for strip footing: qu = cNc + γDfNq + 0.5γBNγ; calculate net ultimate and allowable bearing pressures; determine percent decrease when water table rises to ground surface using submerged unit weight
- Part (c)(i): Apply momentum equation F = ρQ(V₂-0) = ρA₂V₂² to find V₂, then continuity equation A₁V₁ = A₂V₂ to find V₁
- Part (c)(ii): Calculate mass flow rate ṁ = ρA₁V₁ = ρA₂V₂ using velocity from (i)
- Part (c)(iii): Apply Bernoulli's equation between sections ① and ② including manometer reading h with mercury-water interface; solve for h using pressure balance ρw(V₁²-V₂²)/2 = (ρm-ρw)gh
- For all parts: Show proper unit conversions (kN/m³ to kg/m³ where needed), use g = 9.81 m/s², and state all assumptions clearly