Q1 50M Compulsory solve Number theory, analysis, complex analysis, linear programming
(a) Let m₁, m₂, …, mₖ be positive integers and d > 0 the greatest common divisor of m₁, m₂, …, mₖ. Show that there exist integers x₁, x₂, …, xₖ such that d = x_1m₁ + x_2m₂ + … + x_kmₖ (10 marks)
(b) Test the uniform convergence of the series x⁴ + (x⁴)/(1+x⁴) + (x⁴)/((1+x⁴)²) + (x⁴)/((1+x⁴)³) + … on [0, 1]. (10 marks)
(c) If a function f is monotonic in the interval [a, b], then prove that f is Riemann integrable in [a, b]. (10 marks)
(d) Let c : [0, 1] → C be the curve, where c(t) = e⁴π it, 0 ≤ t ≤ 1. Evaluate the contour integraldisplaystyle∫_c dz/(2z² - 5z + 2). (10 marks)
(e) A department of a company has five employees with five jobs to be performed. The time (in hours) that each man takes to perform each job is given in the effectiveness matrix. Assign all the jobs to these five employees to minimize the total processing time:
Employees
I II III IV V
A 10 5 13 15 16
B 3 9 18 13 6
Jobs C 10 7 2 2 2
D 7 11 9 7 12
E 7 9 10 4 12
(10 marks)
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(a) मान लीजिए कि m₁, m₂, …, mₖ धनात्मक पूर्णांक हैं तथा d > 0, m₁, m₂, …, mₖ का महत्तम समापवर्तक है। दर्शाइए कि ऐसे पूर्णांक x₁, x₂, …, xₖ अस्तित्व में हैं ताकि d = x_1m₁ + x_2m₂ + … + x_kmₖ (10 अंक)
(b) श्रेणी x⁴ + (x⁴)/(1+x⁴) + (x⁴)/((1+x⁴)²) + (x⁴)/((1+x⁴)³) + … के [0, 1] पर एकसमान अभिसरण की जाँच कीजिए। (10 अंक)
(c) यदि एक फलन f, अन्तराल [a, b] में एकदिशे है, तब सिद्ध कीजिए कि f, [a, b] में रीमान समाकलनीय है। (10 अंक)
(d) मान लीजिए कि c : [0, 1] → C, c(t) = e⁴π it, 0 ≤ t ≤ 1 के द्वारा परिभाषित एक वक्र है। कन्टूर समाकल ∫_c dz/(2z² - 5z + 2) का मान निकालिए। (10 अंक)
(e) एक कम्पनी के एक विभाग के पाँच कर्मचारियों को पाँच कार्य सम्पन्न करने हैं। जितना समय (घंटों में) एक व्यक्ति एक कार्य को सम्पन्न करने के लिए लेता है, वह प्रभाविता आव्यूह में दिया गया है। इन पाँच कर्मचारियों को इन सभी कार्यों को इस तरह निर्धारित कीजिए जिससे कि समस्त कार्य सम्पन्न करने का समय न्यूनतम हो :
कर्मचारी
| | I | II | III | IV | V |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 10 | 5 | 13 | 15 | 16 |
| B | 3 | 9 | 18 | 13 | 6 |
| C | 10 | 7 | 2 | 2 | 2 |
| D | 7 | 11 | 9 | 7 | 12 |
| E | 7 | 9 | 10 | 4 | 12 |
कार्य
(10 अंक)
Answer approach & key points
(a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) evaluate: criteria > evidence > balanced judgment | (c) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous proofs, correct calculations, clear steps, no errors.
- Bézout identity for two integers with justification
- Induction on k using gcd(m₁..mₖ) = gcd(g, mₖ)
- Explicit coefficients xᵢ = ryᵢ, xₖ = s
- Sum the geometric series to get Sₙ = 1 + x⁴ − (1 + x⁴)⁻ⁿ
- Identify the pointwise limit S(0) = 0, S(x) = 1 + x⁴ for x > 0
- Show sup|Sₙ − S| = 1 or the discontinuity of S, so not uniform
- Boundedness and inf/sup on each subinterval
- Bound U − L by ‖P‖[f(b) − f(a)]
- Apply Riemann's criterion and handle the decreasing case
- Factorise and locate poles 1/2 and 2
- Recognise winding number 2 about 1/2 and 0 about 2
- Residue −1/3 and result −4πi/3
- Row reduction and zero cover with fewer than 5 lines
- Second reduction using the smallest uncovered element 2
- Assignment A–II, B–I, C–V, D–III, E–IV with total 23
Q2 50M solve Calculus, field theory, complex analysis
(a) Find the maximum and minimum values of f(x) = x³ - 9x² + 26x - 24 for 0 ≤ x ≤ 1. (15 marks)
(b) Let F be a field and f(x) ∈ F[x] a polynomial of degree > 0 over F. Show that there is a field F' and an imbedding q : F → F' s.t. the polynomial f^q ∈ F'[x] has a root in F', where f^q is obtained by replacing each coefficient a of f by q(a). (15 marks)
(c) Find the Laurent series expansion of f(z) = (z² - z + 1)/[z(z² - 3z + 2)] in the powers of (z+1) in the region |z+1| > 3. (20 marks)
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(a) f(x) = x³ - 9x² + 26x - 24 का, 0 ≤ x ≤ 1 के लिए, अधिकतम तथा न्यूनतम मान निकालिए। (15 अंक)
(b) मान लीजिए कि F एक क्षेत्र है तथा f(x) ∈ F[x], क्षेत्र F के ऊपर घात > 0 का एक बहुपद है। दर्शाइए कि एक क्षेत्र F' तथा एक अंतःस्थापन q : F → F' इस प्रकार से अस्तित्व में है कि बहुपद f^q ∈ F'[x] का एक मूल F' में है, जहाँ f^q, f के प्रत्येक गुणांक a को q(a) द्वारा प्रतिस्थापित करने से प्राप्त होता है। (15 अंक)
(c) क्षेत्र |z+1| > 3 में f(z) = (z² - z + 1)/[z(z² - 3z + 2)] का लॉरें श्रेणी प्रसार, (z+1) की घातों में ज्ञात कीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous step-by-step derivation with all justifications and checks.
- Compute f′ and locate its zeros (3 ± √3/3, outside [0,1])
- Conclude f is strictly increasing on [0,1]
- Minimum −24 at 0 and maximum −6 at 1
- Take an irreducible factor p and the field F′ = F[x]/(p)
- Show q is an injective homomorphism (imbedding)
- Show α = x + (p) is a root of pᵠ and hence of fᵠ
- Partial fractions 1/(2z) − 1/(z−1) + 3/[2(z−2)]
- Shift w = z + 1 and expand each term in 1/w for |w| > 3
- Combine to the general term [(1+3ᵏ)/2 − 2ᵏ⁻¹]/(z+1)ᵏ
Q3 50M prove Complex analysis, optimization and Lagrange multipliers
(a) Let f be an entire function whose Taylor series expansion with centre z = 0 has infinitely many terms. Show that z = 0 is an essential singularity of f(1/z). (15 marks)
(b) Find the stationary values of x² + y² + z² subject to the conditions ax² + by² + cz² = 1 and lx + my + nz = 0. Interpret the result geometrically. (20 marks)
(c) Convert the following LPP into dual LPP : Minimize Z = x₁ - 3x₂ - 2x₃ subject to 3x₁ - x₂ + 2x₃ ≤ 7 2x₁ - 4x₂ ≥ 12 -4x₁ + 3x₂ + 8x₃ = 10 where x₁, x₂ ≥ 0 and x₃ is unrestricted in sign. (15 marks)
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(a) मान लीजिए कि f एक सर्वत्र वैश्लेषिक फलन है जिसके केन्द्र z = 0 पर टेलर श्रेणी प्रसार में अपरिमित रूप से अनेक पद हैं। दर्शाइए कि f(1/z) की z = 0 एक अनिवार्य विचित्रता है। (15 अंक)
(b) शर्तों ax² + by² + cz² = 1 तथा lx + my + nz = 0 से प्रतिबंधित x² + y² + z² के स्थाय (अचर) मान निकालिए। परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या कीजिए। (20 अंक)
(c) निम्न रैखिक प्रोग्राम समस्या को द्वैती रैखिक प्रोग्राम समस्या में परिवर्तित कीजिए : न्यूनतमीकरण कीजिए Z = x₁ - 3x₂ - 2x₃ बशर्ते कि 3x₁ - x₂ + 2x₃ ≤ 7 2x₁ - 4x₂ ≥ 12 -4x₁ + 3x₂ + 8x₃ = 10 जहाँ x₁, x₂ ≥ 0 तथा x₃ का चिह्न अप्रतिबंधित है। (15 अंक)
Answer approach & key points
(a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous proofs with all steps shown, correct geometric interpretation, and flawless dual conversion.
- Write f(1/z) = Σ aₙz⁻ⁿ as the Laurent series
- Rule out removable singularity and pole using infinitely many non-zero aₙ
- Conclude essential singularity
- Lagrange conditions and S = λ
- Condition l²/(1−λa) + m²/(1−λb) + n²/(1−λc) = 0 giving Rλ² − Qλ + P = 0
- Geometric meaning: squares of the semi-axes of the central section
- Put all inequalities in ≥ form and attach y₁, y₂ ≥ 0, y₃ free
- Dual objective max −7y₁ + 12y₂ + 10y₃
- Dual constraints: two ≤ constraints and one equation for the free variable
Q4 50M solve Group theory, complex integration and linear programming
(a) Show that there are infinitely many subgroups of the additive group Q of rational numbers. (15 marks)
(b) Using contour integration, evaluate the integral ∫₋∞^∞ (sin x dx)/(x(x²+a²)), a > 0. (20 marks)
(c) Solve the following linear programming problem using Big M method : Maximize Z = 4x₁ + 5x₂ + 2x₃ subject to 2x₁ + x₂ + x₃ ≥ 10, x₁ + 3x₂ + x₃ ≤ 12, x₁ + x₂ + x₃ = 6, x₁, x₂, x₃ ≥ 0. (15 marks)
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(a) दर्शाइए कि परिमेय संख्याओं के योज्य समूह Q के अपरिमित रूप से अनेक उपसमूह हैं। (15 अंक)
(b) कंटूर समाकलन का उपयोग कर समाकलन ∫₋∞^∞ (sin x dx)/(x(x²+a²)), a > 0 का मान ज्ञात कीजिए। (20 अंक)
(c) बड़ा M (बिग M) विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक प्रोग्राम समस्या को हल कीजिए : अधिकतमीकरण कीजिए Z = 4x₁ + 5x₂ + 2x₃ बशर्ते कि 2x₁ + x₂ + x₃ ≥ 10,x₁ + 3x₂ + x₃ ≤ 12,x₁ + x₂ + x₃ = 6,x₁, x₂, x₃ ≥ 0। (15 अंक)
Answer approach & key points
(a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous proofs, correct contour setup, and error-free simplex iterations.
- Define Hₙ = (1/n!)ℤ and verify it is a subgroup
- Show Hₙ ⊂ Hₙ₊₁
- Show the inclusions are strict, so infinitely many distinct subgroups
- Set up e^(iz)/[z(z²+a²)] with a contour indented at 0
- Compute residues at 0 and ia and the small-semicircle contribution
- Take the imaginary part to get π(1 − e^(−a))/a²
- Correct standard form with surplus, slack and artificial variables and −M penalties
- Correct pivots (x₁ entering/A₁ leaving, then x₂ entering/A₂ leaving)
- Optimal solution x₁ = 4, x₂ = 2, x₃ = 0, Z = 26