All 8 questions from UPSC Civil Services Mains Mathematics
2023 Paper II (400 marks total). Every stem reproduced in full,
with directive-word analysis, marks, word limits, and answer-approach pointers.
8Questions
400Total marks
2023Year
Paper IIPaper
Topics covered
Group theory, ideals, series convergence, complex analysis, linear programming (1)Group theory, Lagrange multipliers, contour integration (1)Abstract algebra, complex analysis and linear programming (1)Real analysis, complex analysis and assignment problem (1)Partial differential equations, numerical methods, binary arithmetic, Hamiltonian mechanics, fluid dynamics (1)Partial differential equations, numerical linear algebra, Lagrangian mechanics (1)Boolean functions, mechanics, partial differential equations (1)PDE canonical form, numerical methods, Navier-Stokes equations (1)
A
Q1
50MCompulsoryexamineGroup theory, ideals, series convergence, complex analysis, linear programming
(a) Let G be a group of order 10 and G′ be a group of order 6. Examine whether there exists a homomorphism of G onto G′. (10 marks)
(b) Express the ideal 4Z + 6Z as a principal ideal in the integral domain Z. (10 marks)
(c) Test the convergence of the series
Σlimitsₙ₌₁^∞ (1.3.5...(2n-1))/(2.4.6...(2n)) · (x²ⁿ⁺¹)/((2n+1)), x > 0
(10 marks)
(d) State the sufficient conditions for a function f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) to be analytic in its domain. Hence, show that f(z) = log z is analytic in its domain and find df/dz (10 marks)
(e) A person requires 24, 24 and 20 units of chemicals A, B and C respectively for his garden. Product P contains 2, 4 and 1 units of chemicals A, B and C respectively per jar and product Q contains 2, 1 and 5 units of chemicals A, B and C respectively per jar. If a jar of P costs ₹ 30 and a jar of Q costs ₹ 50, then how many jars of each should be purchased in order to minimize the cost and meet the requirements? (10 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) मान लीजिए कोटि 10 का एक समूह G है तथा कोटि 6 का एक समूह G′ है। जाँच कीजिए कि क्या G से G′ पर एक आच्छादक समाकारिता का अस्तित्व है। (10 अंक)
(b) गुणजावली 4Z + 6Z को पूर्णांकीय प्रांत Z में एक मुख्य गुणजावली के रूप में व्यक्त कीजिए। (10 अंक)
(c) श्रेणी Σlimitsₙ₌₁^∞ (1.3.5...(2n-1))/(2.4.6...(2n)) · (x²ⁿ⁺¹)/((2n+1)), x > 0 के अभिसरण का परीक्षण कीजिए। (10 अंक)
(d) एक फलन f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) के इसके प्रांत में विलेखिक होने के लिए पर्याप्त प्रतिबंध लिखिए। तब दर्शाइए कि f(z) = log z अपने प्रांत में विलेखिक है तथा df/dz ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(e) एक व्यक्ति को अपने उद्यान के लिए रसायन A, B तथा C की क्रमशः 24, 24 तथा 20 इकाई की आवश्यकता है। उत्पाद P के प्रत्येक मर्तबान में रसायन A, B तथा C की क्रमशः 2, 4 तथा 1 इकाई है तथा उत्पाद Q के प्रत्येक मर्तबान में रसायन A, B तथा C की क्रमशः 2, 1 तथा 5 इकाई है। यदि P के एक मर्तबान का मूल्य ₹ 30 है तथा Q के एक मर्तबान का मूल्य ₹ 50 है, तब न्यूनतम खर्च तथा आवश्यताओं की पूर्ति के लिए प्रत्येक उत्पाद के कितने मर्तबान खरीदे जाएँ? (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) examine: intro > how/why with reasoning > evidence > conclusion | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) examine: intro > how/why with reasoning > evidence > conclusion | (d) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All parts fully solved with correct methods and clear justification.
State Lagrange's Theorem on order of subgroups
Identify order of image of G under homomorphism
Apply Lagrange's Theorem to image of G
Conclude non-existence based on order divisibility
(a) Prove that a non-commutative group of order 2p, where p is an odd prime, must have a subgroup of order p. (15 marks)
(b) Using the method of Lagrange's multipliers, find the minimum and maximum distances of the point P(2, 6, 3) from the sphere x² + y² + z² = 4. (15 marks)
(c) Evaluate ∫₀²π (cos 2θ)/(5+4cosθ) dθ using contour integration. (20 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) सिद्ध कीजिए कि 2p कोटि के एक अक्रमविनिमेय समूह, जहाँ p एक विषम अभाज्य संख्या है, में p कोटि का एक उपसमूह होना आवश्यक है। (15 अंक)
(b) लग्रांज गुणक विधि के उपयोग से बिंदु P(2, 6, 3) की गोले x² + y² + z² = 4 से न्यूनतम तथा अधिकतम दूरियाँ ज्ञात कीजिए। (15 अंक)
(c) कंटूर समाकलन का उपयोग कर ∫₀²π (cos 2θ)/(5+4cosθ) dθ का मान ज्ञात कीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: UPSC Mathematics Paper 2. (a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous proofs, correct calculations, clear notation, and verification of results.
50MsolveAbstract algebra, complex analysis and linear programming
(a) Prove that x² + 1 is an irreducible polynomial in Z₃[x]. Further show that the quotient ring (Z₃[x])/(⟨ x²+1 ⟩) is a field of 9 elements. 15 marks
(b) Prove that u(x, y) = eˣ(x cos y - y sin y) is harmonic. Find its conjugate harmonic function v(x, y) and express the corresponding analytic function f(z) in terms of z. 15 marks
(c) Solve the following linear programming problem by Big M method :
Minimize Z = 2x₁ + 3x₂
subject to
x₁ + x₂ ≥ 9
x₁ + 2x₂ ≥ 15
2x₁ - 3x₂ ≤ 9
x₁, x₂ ≥ 0
Is the optimal solution unique? Justify your answer. 20 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) सिद्ध कीजिए कि x² + 1, Z₃[x] में एक अविभाज्य बहुपद है। यह भी दर्शाइए कि विभाग वलय (Z₃[x])/(⟨ x²+1 ⟩), 9 अवयवों का एक क्षेत्र है। 15
(b) सिद्ध कीजिए कि u(x, y) = eˣ(x cos y - y sin y) प्रसंवादी है। इसका संयुग्मी प्रसंवादी फलन v(x, y) ज्ञात कीजिए तथा संगत विश्लेषिक फलन f(z) को z के पदों में व्यक्त कीजिए। 15
(c) बड़ा M (बिग M) विधि से निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए :
न्यूनतमीकरण कीजिए Z = 2x₁ + 3x₂
बशर्ते कि
x₁ + x₂ ≥ 9
x₁ + 2x₂ ≥ 15
2x₁ - 3x₂ ≤ 9
x₁, x₂ ≥ 0
क्या इष्टतम हल अद्वितीय है? अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए। 20
Answer approach & key points
(a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous proofs, correct calculations, clear justification of all steps.
50MproveReal analysis, complex analysis and assignment problem
(a) Prove that the oscillation of a real-valued bounded function f defined on [a, b] is the supremum of the set {|f(x₁)-f(x₂)| : x₁, x₂ ∈ [a, b]}. 15 marks
(b) Classify the singular point z = 0 of the function f(z) = e^z/(z-sin z) and obtain the principal part of its Laurent series expansion. 15 marks
(c) A department head has 5 subordinates and 5 jobs to be performed. The time (in hours) that each subordinate will take to perform each job is given in the matrix below :
How should the jobs be assigned, one to each subordinate, so as to minimize the total time? Also, obtain the total minimum time to perform all the jobs if the subordinate IV cannot be assigned job C. 20 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) सिद्ध कीजिए कि [a, b] पर परिभाषित एक वास्तविक मान परिबद्ध फलन f का दोलन, समुच्चय {|f(x₁)-f(x₂)| : x₁, x₂ ∈ [a, b]} का उच्चक है। 15
(b) फलन f(z) = e^z/(z-sin z) के विचित्र बिंदु z = 0 का वर्गीकरण कीजिए तथा इसके लॉरेंट श्रेणी प्रसार का मुख्य भाग ज्ञात कीजिए। 15
(c) एक विभाग के अध्यक्ष के अधीन 5 कर्मचारी हैं तथा उसके पास 5 कार्य हैं। प्रत्येक कर्मचारी के लिए प्रत्येक कार्य को करने का समय (घंटों में) नीचे आव्यूह में दिया गया है :
कुल समय के न्यूनतमीकरण के लिए, प्रत्येक कर्मचारी को एक कार्य किस प्रकार दिया जाए? यदि कर्मचारी IV को कार्य C नहीं दिया जा सकता है, तो सभी कार्यों को करने में लगने वाला कुल न्यूनतम समय भी ज्ञात कीजिए। 20
Answer approach & key points
(a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous proof in (a), correct pole order and residue in (b), and a fully worked Hungarian method solution in (c).
(a) By eliminating the arbitrary functions f and g from z = f(x² - y) + g(x² + y), form partial differential equation. (10 marks)
(b) Given dy/dx = (y² - x)/(y² + x) with initial condition y = 1 at x = 0. Find the value of y for x = 0.4 by Euler's method, correct to 4 decimal places, taking step length h = 0.1. (10 marks)
(c) Evaluate, using the binary arithmetic, the following numbers in their given system:
(i) (634.235)₈ - (132.223)₈
(ii) (7AB.432)₁₆ - (5CA.D61)₁₆ (10 marks)
(d) A planet of mass m is revolving around the sun of mass M. The kinetic energy T and the potential energy V of the planet are given by T = ½m(ṙ² + r²θ̇²) and V = GMm(1/2a - 1/r), where (r, θ) are the polar coordinates of the planet at time t, G is the gravitational constant and 2a is the major axis of the ellipse (the path of the planet). Find the Hamiltonian and the Hamilton equations of the planet's motion. (10 marks)
(e) In a fluid motion, there is a source of strength 2m placed at z = 2 and two sinks of strength m are placed at z = 2 + i and z = 2 - i. Find the streamlines. (10 marks)
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(a) z = f(x² - y) + g(x² + y) से स्वेच्छिक फलनों f तथा g का विलोपन कर अंशिक अवकल समीकरण बनाइए। (10 अंक)
(b) दिया है dy/dx = (y² - x)/(y² + x) तथा प्रारंभिक प्रतिबंध x = 0 पर y = 1 है। ऑयलर की विधि से पद लंबाई (स्टेप लैंथ) h = 0.1 लेते हुए x = 0.4 के लिए y का मान, दशमलव के 4 स्थानों तक सही, ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(c) द्वि-आधारी अंकगणित का उपयोग कर निम्नलिखित संख्याओं का मूल्यांकन उनकी दी गई पद्धति में कीजिए:
(i) (634.235)₈ - (132.223)₈
(ii) (7AB.432)₁₆ - (5CA.D61)₁₆ (10 अंक)
(d) m द्रव्यमान का एक ग्रह M द्रव्यमान के सूर्य की परिक्रमा कर रहा है। ग्रह की गतिज ऊर्जा T तथा स्थितिज ऊर्जा V, T = ½m(ṙ² + r²θ̇²) तथा V = GMm(1/2a - 1/r) द्वारा दी गई हैं, जहाँ t समय पर ग्रह के ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) हैं, गुरुत्वीय स्थिरांक G है तथा दीर्घवृत्त (ग्रह का पथ) का दीर्घ अक्ष 2a है। ग्रह की गति के लिए हैमिल्टोनी तथा हैमिल्टन समीकरणों को ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(e) एक तरल प्रवाह में, 2m सामर्थ्य का एक स्रोत z = 2 पर स्थित है तथा m सामर्थ्य के दो अभिगम (सिंक) z = 2 + i और z = 2 - i पर स्थित हैं। प्रवाह-रेखाएँ ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (d) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (e) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Complete, accurate derivations with all steps shown and verified.
50MsolvePartial differential equations, numerical linear algebra, Lagrangian mechanics
(a) Find the surface passing through the two lines z = x = 0 and z-1 = x-y = 0, and satisfying the partial differential equation ∂²z/∂x² - 4∂²z/∂x∂y + 4∂²z/∂y² = 0. (15 marks)
(b) Solve the system of linear equations 7x₁ - x₂ + 2x₃ = 11, 2x₁ + 8x₂ - x₃ = 9, x₁ - 2x₂ + 9x₃ = 7 correct up to 4 significant figures by the Gauss-Seidel iterative method. Take initially guessed solution as x₁ = x₂ = x₃ = 0. (15 marks)
(c) A mechanical system with 2 degrees of freedom has the Lagrangian L = ½m(ẋ² + ẏ²) - ½m(w₁²x² + w₂²y²) + kxy where m, w₁, w₂, k are constants. Find the parameter θ so that under the transformation x = q₁ cos θ - q₂ sin θ, y = q₁ sin θ + q₂ cos θ the Lagrangian in terms of q₁, q₂ will not contain the product term q₁q₂. Find the Lagrange's equations w.r.t. q₁ and q₂ independent of parameter θ. (20 marks)
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(a) दो रेखाओं z = x = 0 तथा z-1 = x-y = 0 से होकर जाने वाला और आंशिक अवकल समीकरण ∂²z/∂x² - 4∂²z/∂x∂y + 4∂²z/∂y² = 0 को संतुष्ट करने वाला पृष्ठ ज्ञात कीजिए। (15 अंक)
(b) गॉस-सीडेल पुनरावृत्ति विधि से रैखिक समीकरण निकाय 7x₁ - x₂ + 2x₃ = 11, 2x₁ + 8x₂ - x₃ = 9, x₁ - 2x₂ + 9x₃ = 7 का 4 सार्थक अंकों तक सही हल ज्ञात कीजिए। आरंभिक अनुमानित हल x₁ = x₂ = x₃ = 0 लीजिए। (15 अंक)
(c) स्वतंत्रता की कोटि 2 के एक यांत्रिक तंत्र का लैग्रांजियन L = ½m(ẋ² + ẏ²) - ½m(w₁²x² + w₂²y²) + kxy है, जहाँ m, w₁, w₂, k अचर हैं। वह प्राचल θ ज्ञात कीजिए, जिसके लिए रूपांतरण x = q₁ cos θ - q₂ sin θ, y = q₁ sin θ + q₂ cos θ के अंतर्गत q₁, q₂ के पदों में लैग्रांजियन में गुणन पद q₁q₂ नहीं होगा। प्राचल θ से स्वतंत्र, q₁ तथा q₂ के सापेक्ष लग्रांज समीकरणों को ज्ञात कीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Complete derivations with all steps shown, correct final answers, and verification.
Solve characteristic equation m² - 4m + 4 = 0
State general solution z = f(y+2x) + (y+2x)g(y+2x)
Apply boundary condition z=x=0 to find f
Apply boundary condition z-1=x-y=0 to find g
Rearrange equations for diagonal dominance
Show at least 3 iterations with intermediate values
Use updated values immediately in the same iteration
(a) (i) Find the conjunctive normal form (CNF) of the following Boolean function: f(x, y, z, t) = x · y · z + x̄ · y · (t + z̄) (15 marks)
(ii) Express the Boolean function f(x, y, z) = x + (x̄ · ȳ + x̄ · z) + z in disjunctive normal form (DNF) and construct the truth table for the function. (15 marks)
(b) A perfectly rough ball is at rest within a hollow cylindrical roller. The roller is drawn along a level path with uniform velocity V. Let a and b be the radii of the ball and the roller respectively. If V² > 27/7 g(b-a), then show that the ball will roll completely round the inside of the roller. (15 marks)
(c) Solve the partial differential equation a² ∂²u/∂x² = ∂²u/∂t², 0 < x < L, t > 0 subject to the conditions u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t > 0; u(x,0) = x, (∂u/∂t)ₜ₌₀ = 1, 0 < x < L. (20 marks)
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(क) (i) निम्न बूलिय फलन का योगात्मक प्रसामान्य स्वरूप (CNF) ज्ञात कीजिए : f(x, y, z, t) = x · y · z + x̄ · y · (t + z̄) (15 अंक)
(ii) बूलिय फलन f(x, y, z) = x + (x̄ · ȳ + x̄ · z) + z को विभोजनीय (डिस्जंक्टिव) प्रसामान्य स्वरूप (DNF) में व्यक्त कीजिए तथा इस फलन के लिए सत्यमान सारणी बनाइए। (15 अंक)
(ख) एक आदर्श रक्ष गेंद एक खोखले बेलनाकार रोलर में विराम की स्थिति में है। रोलर को एक समतल पथ के अनुदिश एकसमान वेग V से खींचा जाता है। मान लीजिए कि a तथा b क्रमशः गेंद तथा रोलर की त्रिज्याएँ हैं। यदि V² > 27/7 g(b-a) है, तब दर्शाइए कि गेंद रोलर के अन्दर पूर्ण रूप से घूम जाएगी। (15 अंक)
(ग) अंशिक अवकल समीकरण a² ∂²u/∂x² = ∂²u/∂t², 0 < x < L, t > 0 का शर्तों u(0,t) = 0, u(L,t) = 0, t > 0; u(x,0) = x, (∂u/∂t)ₜ₌₀ = 1, 0 < x < L से प्रतिबंधित हल ज्ञात कीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
(a(i)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (a(ii)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: All steps shown with correct theorems and verification
(a) Reduce the partial differential equation ∂²z/∂y² - ∂²z/∂x∂y + ∂z/∂x - ∂z/∂y(1+1/x) + z/x = 0 to canonical form. (15 marks)
(b) Compute a root of the equation log₁₀(2x+1) - x² + 3 = 0, in the interval [0, 3], by Regula-Falsi method, correct to 6 decimal places. (15 marks)
(c) Determine under what conditions the velocity field u = c(x² - y²), v = -2cxy, w = 0 is a solution to the Navier-Stokes momentum equations. Assuming that the conditions are met, determine the resulting pressure distribution, when z is up and the external body forces are Bₓ = 0 = Bᵧ, Bᵤ = -g. (20 marks)
हिंदी में पढ़ें
(क) आंशिक अवकल समीकरण ∂²z/∂y² - ∂²z/∂x∂y + ∂z/∂x - ∂z/∂y(1+1/x) + z/x = 0 को विहित रूप में समानीत कीजिए। (15 अंक)
(ख) मिथ्या-स्थिति (रेगुला-फाल्सि) विधि से अंतराल [0, 3] में, समीकरण log₁₀(2x+1) - x² + 3 = 0 के एक मूल का, दशमलव के 6 स्थानों तक सही, अभिकलन कीजिए। (15 अंक)
(ग) ज्ञात कीजिए कि किन शर्तों के अंतर्गत वेग क्षेत्र (velocity field) u = c(x² - y²), v = -2cxy, w = 0 नेवियर-स्टोक्स संवेग समीकरणों का एक हल है। यह मानते हुए कि शर्तें मान्य हैं, परिणामी दाब बंटन ज्ञात कीजिए, जब z ऊपर है तथा बाह्य पिंड बल Bₓ = 0 = Bᵧ, Bᵤ = -g हैं। (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous derivation with all steps shown and verified.
Identify coefficients A, B, C of second-order terms
Compute discriminant B² - 4AC to classify PDE
Determine characteristic equations and new variables
Transform PDE to canonical form
Verify sign change of f(x) in the interval [0,3]
Apply Regula-Falsi formula correctly for each iteration
Show at least 3-4 iterations with intermediate values