Q1 50M Compulsory examine Group theory, ideals, series convergence, complex analysis, linear programming
(a) Let G be a group of order 10 and G′ be a group of order 6. Examine whether there exists a homomorphism of G onto G′. (10 marks)
(b) Express the ideal 4Z + 6Z as a principal ideal in the integral domain Z. (10 marks)
(c) Test the convergence of the series
Σ (n = 1 to ∞) (1.3.5...(2n-1))/(2.4.6...(2n)) · (x²ⁿ⁺¹)/((2n+1)), x > 0
(10 marks)
(d) State the sufficient conditions for a function f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) to be analytic in its domain. Hence, show that f(z) = log z is analytic in its domain and find df/dz (10 marks)
(e) A person requires 24, 24 and 20 units of chemicals A, B and C respectively for his garden. Product P contains 2, 4 and 1 units of chemicals A, B and C respectively per jar and product Q contains 2, 1 and 5 units of chemicals A, B and C respectively per jar. If a jar of P costs ₹ 30 and a jar of Q costs ₹ 50, then how many jars of each should be purchased in order to minimize the cost and meet the requirements? (10 marks)
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(a) मान लीजिए कोटि 10 का एक समूह G है तथा कोटि 6 का एक समूह G′ है। जाँच कीजिए कि क्या G से G′ पर एक आच्छादक समाकारिता का अस्तित्व है। (10 अंक)
(b) गुणजावली 4Z + 6Z को पूर्णांकीय प्रांत Z में एक मुख्य गुणजावली के रूप में व्यक्त कीजिए। (10 अंक)
(c) श्रेणी Σ (n = 1 से ∞) (1.3.5...(2n-1))/(2.4.6...(2n)) · (x²ⁿ⁺¹)/((2n+1)), x > 0 के अभिसरण का परीक्षण कीजिए। (10 अंक)
(d) एक फलन f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) के इसके प्रांत में विश्लेषिक होने के लिए पर्याप्त प्रतिबंध लिखिए। तब दर्शाइए कि f(z) = log z अपने प्रांत में विश्लेषिक है तथा df/dz ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(e) एक व्यक्ति को अपने उद्यान के लिए रसायन A, B तथा C की क्रमशः 24, 24 तथा 20 इकाई की आवश्यकता है। उत्पाद P के प्रत्येक मर्तबान में रसायन A, B तथा C की क्रमशः 2, 4 तथा 1 इकाई है तथा उत्पाद Q के प्रत्येक मर्तबान में रसायन A, B तथा C की क्रमशः 2, 1 तथा 5 इकाई है। यदि P के एक मर्तबान का मूल्य ₹ 30 है तथा Q के एक मर्तबान का मूल्य ₹ 50 है, तब न्यूनतम खर्च तथा आवश्यकताओं की पूर्ति के लिए प्रत्येक उत्पाद के कितने मर्तबान खरीदे जाएँ? (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) examine: intro > how/why with reasoning > evidence > conclusion | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) examine: intro > how/why with reasoning > evidence > conclusion | (d) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All parts fully solved with correct methods and clear justification.
- First Isomorphism Theorem G/K isomorphic to G'
- Lagrange: |K| divides 10
- 10/6 is not an integer
- Conclusion: none exists
- Elements 4m + 6n are even
- 2 = 4(-1) + 6(1)
- Two inclusions
- 4Z + 6Z = 2Z, gcd
- Ratio test limit x^2
- Converges for x<1, diverges for x>1
- Raabe's test at x=1 gives 3/2
- Converges for 0<x<=1
- Continuity of partials and Cauchy-Riemann
- Branch and domain
- u = (1/2) log(x^2+y^2), v = arg z satisfy CR
- df/dz = 1/z
- Constraints x+y>=12, 4x+y>=24, x+5y>=20
- Corner points
- Z values: 1200, 520, 400, 600
- 10 jars of P, 2 of Q, cost 400
Q2 50M prove Group theory, Lagrange multipliers, contour integration
(a) Prove that a non-commutative group of order 2p, where p is an odd prime, must have a subgroup of order p. (15 marks)
(b) Using the method of Lagrange's multipliers, find the minimum and maximum distances of the point P(2, 6, 3) from the sphere x² + y² + z² = 4. (15 marks)
(c) Evaluate ∫₀²π (cos 2θ)/(5+4cosθ) dθ using contour integration. (20 marks)
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(a) सिद्ध कीजिए कि 2p कोटि के एक अक्रमविनिमेय समूह, जहाँ p एक विषम अभाज्य संख्या है, में p कोटि का एक उपसमूह होना आवश्यक है। (15 अंक)
(b) लग्रांज गुणक विधि के उपयोग से बिंदु P(2, 6, 3) की गोले x² + y² + z² = 4 से न्यूनतम तथा अधिकतम दूरियाँ ज्ञात कीजिए। (15 अंक)
(c) कंटूर समाकलन का उपयोग कर ∫₀²π (cos 2θ)/(5+4cosθ) dθ का मान ज्ञात कीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: UPSC Mathematics Paper 2. (a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous proofs, correct calculations, clear notation, and verification of results.
- Element orders 1, 2, p, 2p
- No element of order 2p (not cyclic)
- If all elements have order 2 the group is abelian
- So an element of order p exists and generates the subgroup
- Minimise S = squared distance with constraint
- Equations (1 - lambda)x = 2 etc.
- mu = +-7/2 and the two points
- Minimum 5 and maximum 9
- Substitution z = e^(i theta)
- Integrand in z, factorisation (2z+1)(z+2)
- Residues at z = 0 (5i/8) and z = -1/2 (-17i/24)
- I = pi/6
Q3 50M solve Abstract algebra, complex analysis and linear programming
(a) Prove that x² + 1 is an irreducible polynomial in Z₃[x]. Further show that the quotient ring (Z₃[x])/(⟨ x²+1 ⟩) is a field of 9 elements. 15 marks
(b) Prove that u(x, y) = eˣ(x cos y - y sin y) is harmonic. Find its conjugate harmonic function v(x, y) and express the corresponding analytic function f(z) in terms of z. 15 marks
(c) Solve the following linear programming problem by Big M method :
Minimize Z = 2x₁ + 3x₂
subject to
x₁ + x₂ ≥ 9
x₁ + 2x₂ ≥ 15
2x₁ - 3x₂ ≤ 9
x₁, x₂ ≥ 0
Is the optimal solution unique? Justify your answer. 20 marks
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(a) सिद्ध कीजिए कि x² + 1, Z₃[x] में एक अविभाज्य बहुपद है। यह भी दर्शाइए कि विभाग वलय (Z₃[x])/(⟨ x²+1 ⟩), 9 अवयवों का एक क्षेत्र है। 15
(b) सिद्ध कीजिए कि u(x, y) = eˣ(x cos y - y sin y) प्रसंवादी है। इसका संयुग्मी प्रसंवादी फलन v(x, y) ज्ञात कीजिए तथा संगत विश्लेषिक फलन f(z) को z के पदों में व्यक्त कीजिए। 15
(c) बड़ा M (बिग M) विधि से निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए :
न्यूनतमीकरण कीजिए Z = 2x₁ + 3x₂
बशर्ते कि
x₁ + x₂ ≥ 9
x₁ + 2x₂ ≥ 15
2x₁ - 3x₂ ≤ 9
x₁, x₂ ≥ 0
क्या इष्टतम हल अद्वितीय है? अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए। 20
Answer approach & key points
(a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous proofs, correct calculations, clear justification of all steps.
- No root in Z3 (0, 1, 2 checked)
- Degree 2 with no root means irreducible
- Irreducible in a PID gives maximal ideal and field
- Elements a + bx give 9
- Laplace equation verified
- Cauchy-Riemann integration
- v = e^x(x sin y + y cos y)
- f(z) = z e^z
- Surplus, slack, artificial variables
- Pivots: x2 enters, then x1
- x1 = 3, x2 = 6, Z = 24
- Uniqueness: reduced costs of S1, S2 positive
Q4 50M prove Real analysis, complex analysis and assignment problem
(a) Prove that the oscillation of a real-valued bounded function f defined on [a, b] is the supremum of the set {|f(x₁)-f(x₂)| : x₁, x₂ ∈ [a, b]}. 15 marks
(b) Classify the singular point z = 0 of the function f(z) = e^z/(z-sin z) and obtain the principal part of its Laurent series expansion. 15 marks
(c) A department head has 5 subordinates and 5 jobs to be performed. The time (in hours) that each subordinate will take to perform each job is given in the matrix below (rows: subordinates I to V; columns: jobs A to E) :
I: 4, 9, 4, 12, 4
II: 15, 11, 20, 5, 8
III: 17, 7, 15, 12, 18
IV: 9, 13, 11, 9, 14
V: 6, 11, 12, 9, 14
How should the jobs be assigned, one to each subordinate, so as to minimize the total time? Also, obtain the total minimum time to perform all the jobs if the subordinate IV cannot be assigned job C. 20 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) सिद्ध कीजिए कि [a, b] पर परिभाषित एक वास्तविक मान परिबद्ध फलन f का दोलन, समुच्चय {|f(x₁)-f(x₂)| : x₁, x₂ ∈ [a, b]} का उच्चक है। 15
(b) फलन f(z) = e^z/(z-sin z) के विचित्र बिंदु z = 0 का वर्गीकरण कीजिए तथा इसके लॉरेंट श्रेणी प्रसार का मुख्य भाग ज्ञात कीजिए। 15
(c) एक विभाग के अध्यक्ष के अधीन 5 कर्मचारी हैं तथा उसके पास 5 कार्य हैं। प्रत्येक कर्मचारी के लिए प्रत्येक कार्य को करने का समय (घंटों में) नीचे आव्यूह में दिया गया है (पंक्तियाँ: कर्मचारी I से V; स्तंभ: कार्य A से E) :
I: 4, 9, 4, 12, 4
II: 15, 11, 20, 5, 8
III: 17, 7, 15, 12, 18
IV: 9, 13, 11, 9, 14
V: 6, 11, 12, 9, 14
कुल समय के न्यूनतमीकरण के लिए, प्रत्येक कर्मचारी को एक कार्य किस प्रकार दिया जाए? यदि कर्मचारी IV को कार्य C नहीं दिया जा सकता है, तो सभी कार्यों को करने में लगने वाला कुल न्यूनतम समय भी ज्ञात कीजिए। 20
Answer approach & key points
(a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous proof in (a), correct pole order 3 in (b), full Hungarian method in (c).
- Oscillation = M - m
- Upper bound M - m
- Epsilon argument for lower bound
- sup S = M - m
- Series of z - sin z gives zero of order 3
- Pole of order 3
- Expand 1/(1 - z^2/20 ...)
- Principal part 6/z^3 + 6/z^2 + 33/(10 z)
- Row reduction and cover with four lines
- Adjust by 2: I-E, II-D, III-B, IV-C, V-A = 33
- Large M in IV-C, adjust by 3
- I-C, II-E, III-B, IV-D, V-A = 34