Q1 50M Compulsory calculate Thermodynamics, Heat Transfer and Fluid Mechanics
(a) A lump of ice with a mass of 1·5 kg at an initial temperature of 260 K melts at the pressure of 1 bar as a result of heat transfer from the environment. After some time, the resulting water attains the temperature of environment, 293 K. Calculate the entropy production associated with this process. The latent heat of fusion of ice is 334 kJ/kg, the specific heat of ice and water are 2·07 kJ/kg-K and 4·2 kJ/kg-K, respectively. Assume that ice melts at 273·15 K. (10 marks)
(b) Downstream of a normal shock wave, the characteristic Mach number M*_{y} = 0·5 and the stagnation pressure is 2 bar. Determine the following:
(i) The Mach number M_{y} downstream of the shock
(ii) The stagnation pressure upstream of the shock
The fluid is air and γ = 1·4, and R = 0·287 kJ/kg-K.
Normal shock table and Isentropic flow table provided at the end, may be used. (10 marks)
(c) Show, in the form of a table, how the following parameters change (increase/decrease/remain constant) across a normal shock wave:
Static pressure, Static temperature, Stagnation pressure, Stagnation temperature, Stagnation density, Mach number, Entropy and Stagnation enthalpy (10 marks)
(d) At a certain instant of time, the temperature across a large wall of thickness 50 cm is given as T(x) = 90 - 80x + 16x² + 32x³ - 25x⁴ where x is in metres and measured from the left face of the wall as shown in the figure below and T is in °C. If the area of the wall is 10 m² and there is no generation of heat in the wall, compute the following:
(i) The rate of heat entering and leaving the wall
(ii) The rate of heat energy stored in the wall
(iii) The rate of temperature change with time at x = 0 and x = 0·5 m (10 marks)
(e) A 120 W electric bulb has a filament temperature of 3005 °C. Assuming the filament to be black, calculate (i) the diameter of the filament wire if the length is 250 mm and (ii) the efficiency of the bulb based on visible radiation if the visible radiation lies in the wavelength range from 0·4 μm to 0·75 μm. Assume Stefan-Boltzmann constant (σ) as 5.67×10⁻⁸ W/m²-K⁴. The black body radiation functions are given in the table:
| λT(μm-K) | f₀→λ |
|----------|------|
| 1300 | 0.004317 |
| 1400 | 0.007791 |
| 2400 | 0.140266 |
| 2500 | 0.161366 | (10 marks)
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(a) एक बर्फ का टुकड़ा, जिसका द्रव्यमान 1·5 kg और प्रारंभिक तापमान 260 K है, वातावरण से ऊष्मा स्थानांतरण के कारण 1 bar दाब पर पिघलता है। कुछ समय पश्चात्, परिणामी जल वातावरण के तापमान 293 K को प्राप्त करता है। इस प्रक्रिया से संबंधित एंट्रॉपी उत्पादन की गणना कीजिए। बर्फ के पिघलने की गुप्त ऊष्मा (लैटेंट हीट) 334 kJ/kg है, बर्फ और पानी की विशिष्ट ऊष्माएँ (स्पेसिफिक हीट) क्रमशः: 2·07 kJ/kg-K तथा 4·2 kJ/kg-K हैं। मान लीजिए कि बर्फ 273·15 K पर पिघलती है। (10 अंक)
(b) सामान्य प्रयात-तरंग (शॉक वेव) के अनुप्रवाह (डाउनस्ट्रीम) में अभिलक्षणिक मैक संख्या M*_{y} = 0·5 तथा स्थगन दाब (स्टैग्नेशन प्रेशर) 2 bar है। निम्नलिखित को निर्धारित कीजिए:
(i) प्रयात (शॉक) के अनुप्रवाह में मैक संख्या M_{y}
(ii) प्रयात के प्रतिप्रवाह (अपस्ट्रीम) में स्थगन दाब
तरल, वायु है और γ = 1·4 तथा R = 0·287 kJ/kg-K है।
अंत में दिये गये सामान्य प्रयात (शॉक) तालिका तथा आइसेंट्रॉपिक प्रवाह तालिका का उपयोग किया जा सकता है। (10 अंक)
(c) सारणी के रूप में दर्शाइये कि निम्नलिखित प्राचल सामान्य प्रयात तरंग (शॉक वेव) के लिए कैसे परिवर्तित होते हैं (बढ़ते हैं/घटते हैं/स्थिर रहते हैं):
स्थैतिक दाब, स्थैतिक तापमान, स्थगन दाब, स्थगन तापमान, स्थगन घनत्व, मैक संख्या, एंट्रॉपी और स्थगन एन्थैल्पी (10 अंक)
(d) किसी एक निश्चित समय पर 50 cm मोटाई की एक बड़ी दीवार पर तापमान को निम्न प्रकार दर्शाया गया है: T(x) = 90 - 80x + 16x² + 32x³ - 25x⁴ जहाँ x मीटर में है तथा नीचे चित्र में दर्शाये अनुसार दीवार के बायें पृष्ठ से मापा गया है एवं T डिग्री सेल्सियस में है। यदि दीवार का क्षेत्रफल 10 m² है और दीवार में ऊष्मा का कोई उत्पादन नहीं हो रहा है, तो निम्नलिखित की गणना कीजिये:
(i) दीवार में प्रवेश करने और दीवार से बाहर निकलने वाली ऊष्मा की दर
(ii) दीवार में संग्रहीत ऊष्मा ऊर्जा (हीट एनर्जी) की दर
(iii) x = 0 तथा x = 0.5 m पर समय के साथ तापमान परिवर्तन की दर (10 अंक)
(e) एक 120 W विद्युत बल्ब के तंतु (फिलामेंट) का तापमान 3005 °C है। तंतु को काला मानते हुए निम्नलिखित की गणना कीजिये:
(i) तंतु तार का व्यास, यदि उसकी लम्बाई 250 mm है
(ii) बल्ब की दक्षता, दृश्यमान विकिरण (विजिबल रेडिएशन) के आधार पर, यदि दृश्यमान विकिरण की तरंगदैर्ध्य सीमा (वेवलेंथ रेंज) 0.4 μm से 0.75 μm के बीच है
स्टीफन-बोल्ट्ज़मान नियतांक (σ) को 5.67×10⁻⁸ W/m²-K⁴ मानिये। कृष्णिका (ब्लैक बॉडी) विकिरण फलन (रेडिएशन फंक्शन) सारणी में दिये गये हैं:
| λT(μm-K) | f₀→λ |
|----------|------|
| 1300 | 0.004317 |
| 1400 | 0.007791 |
| 2400 | 0.140266 |
| 2500 | 0.161366 | (10 अंक)
Answer approach & key points
Calculate systematically across all five parts: (a) entropy production for ice melting requires three-stage entropy analysis; (b) normal shock uses characteristic Mach number relations and tables; (c) tabular comparison of shock parameters; (d) transient heat conduction with polynomial temperature profile; (e) blackbody radiation with fractional emission. Allocate approximately 20% time to each part, ensuring all numerical working is shown with proper units and sign conventions.
- (a) Three-stage entropy calculation: ice warming 260→273.15 K, melting at 273.15 K, water warming 273.15→293 K; entropy production = ΔS_system + ΔS_surroundings with Q/T_boundary for surroundings
- (b)(i) Characteristic Mach number M* = √[(γ+1)/2 * M²/(1+(γ-1)M²/2)] inverted to find M_y = 0.534 downstream
- (b)(ii) Stagnation pressure ratio across shock from normal shock tables: p_0x/p_0y = 1.113, giving p_0x = 2.226 bar upstream
- (c) Tabular comparison: static pressure ↑, static temperature ↑, stagnation pressure ↓, stagnation temperature →, stagnation density ↓, Mach number ↓, entropy ↑, stagnation enthalpy →
- (d) Heat rates using Fourier's law at x=0 and x=0.5 m: q = -kA(dT/dx); energy storage from ∂T/∂t = α(∂²T/∂x²) with no generation
- (e)(i) Stefan-Boltzmann law Q = σAT⁴ with T = 3278 K to find filament diameter d = 0.457 mm
- (e)(ii) Blackbody radiation function interpolation: f(0.4μm) and f(0.75μm) at λT values, visible efficiency η = (f_0.75 - f_0.4) × 100 = 6.53%
- Consistent units throughout: kJ/kg-K for specific heats, bar for pressure, μm-K for λT products, W/m²-K⁴ for σ
Q2 50M calculate Thermodynamics, Turbomachinery and Convective Heat Transfer
(a) (i) A reversible power cycle engine is used to drive a reversible heat pump. The power cycle takes in Q₁ heat units at temperature T₁ and rejects heat Q₂ at temperature T₂. The heat pump abstracts heat Q₄ from the sink at temperature T₄ and discharges heat Q₃ at temperature T₃. Develop an expression for the ratio Q₄/Q₁ in terms of the four temperatures T₁, T₂, T₃ and T₄. (10 marks)
(ii) Argon gas expands adiabatically in a turbine from 2 MPa, 1000 °C to 350 kPa. The mass flow rate of argon is 0·5 kg/s and the turbine develops power at the rate of 120 kW. Determine the following:
(1) The temperature of argon at the turbine exit
(2) The irreversibility rate
(3) The second law efficiency
Neglect kinetic and potential energy effects and take T₀ = 20 °C and P₀ = 1 atm. Take molecular weight of argon as 40 kg/kmol and γ = 1·67. (T₀ and P₀ are the environment temperature and pressure, respectively) (10 marks)
(b) Compressed air is transported in an industrial pipeline of 50 mm internal diameter. The stagnation conditions at the inlet are P₀ = 10 bar and T₀ = 400 K. The average Fanning friction factor f̄ = 0·002. If the Mach number changes from 3 at the entry to 1 at the exit, determine the following:
(i) The length of the pipe
(ii) The velocity at the exit
(iii) The change in the stagnation temperature
(iv) The change in the stagnation pressure
(v) The change in the entropy
(vi) The mass flow rate
Assume the flow to be adiabatic. For air, take γ = 1·4 and R = 287 J/kg-K.
Isentropic flow table and Fanno flow table attached at the end, may be used. (20 marks)
(c) A thin flat plate, that is 0·2 m×0·2 m on a side, is oriented parallel to an atmospheric air stream having a velocity of 40 m/s. The air is at a temperature of T∞ = 20 °C, while the plate is maintained at Ts = 120 °C. The air flows over the top and bottom surfaces of the plate, and measurement of the drag force reveals a value of 0·075 N. What is the rate of heat transfer from both sides of the plate to the air?
(Assume ρair = 0·995 kg/m³, νair = 20·92×10⁻⁶ m²/s, Prair = 0·7, kair = 30×10⁻³ W/m-K) (10 marks)
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(a) (i) एक प्रतिवर्ती (रिवर्सिबल) शक्ति चक्र इंजन का उपयोग एक प्रतिवर्ती ताप पंप (हीट पंप) को चलाने के लिये किया जाता है। शक्ति चक्र तापमान T₁ पर Q₁ मात्रक ऊष्मा को ग्रहण करता है और तापमान T₂ पर Q₂ ऊष्मा का परित्याग करता है। ताप पंप तापमान T₄ पर स्थित सिंक से Q₄ ऊष्मा को अवशोषित करता है और तापमान T₃ पर Q₃ ऊष्मा को निष्कासित करता है। चारों तापमान T₁, T₂, T₃ एवं T₄ के संदर्भ में Q₄/Q₁ के अनुपात के लिये एक व्यंजक विकसित कीजिये। (10 अंक)
(ii) आर्गन गैस एक टरबाइन में 2 MPa, 1000 °C से 350 kPa तक रूद्धोष्म (एडियाबैटिक) रूप से प्रसारित होती है। आर्गन की द्रव्यमान प्रवाह दर 0·5 kg/s है तथा टरबाइन 120 kW की दर से शक्ति उत्पन्न करती है। निम्नलिखित को निर्धारित कीजिए:
(1) टरबाइन के निकास पर आर्गन का तापमान
(2) अप्रतिक्रमता (इरिवर्सिबिलिटी) दर
(3) द्वितीय नियम दक्षता
गतिज और स्थितिज ऊर्जा प्रभावों की अनदेखी कीजिए तथा T₀ = 20 °C और P₀ = 1 atm लीजिए। आर्गन का आण्विक भार 40 kg/kmol और γ = 1·67 लीजिए। (T₀ और P₀ क्रमशः वातावरण के तापमान और दाब हैं) (10 अंक)
(b) संपीडित वायु (कम्प्रेस्ड एयर) 50 mm आंतरिक व्यास वाली एक औद्योगिक पाइपलाइन में प्रवाहित की जाती है। अंतर्गम (इनलेट) पर ठहराव की स्थितियाँ (स्टेशन कंडीशन) P₀ = 10 bar और T₀ = 400 K हैं। औसत फैनिंग घर्षण गुणांक f̄ = 0·002 है। यदि मैक संख्या अंतर्गम पर 3 से बदलकर निर्गम पर 1 हो जाती है, तो निम्नलिखित को निर्धारित कीजिए:
(i) पाइप की लंबाई
(ii) निर्गम पर वेग
(iii) ठहराव (स्टैग्नेशन) तापमान में परिवर्तन
(iv) ठहराव दाब में परिवर्तन
(v) एंट्रॉपी में परिवर्तन
(vi) द्रव्यमान प्रवाह दर
मान लीजिए कि प्रवाह रूद्धोष्म (एडियाबैटिक) है। वायु के लिये γ = 1·4 तथा R = 287 J/kg-K लीजिए। आइसेंट्रॉपिक प्रवाह तालिका तथा फैनो प्रवाह तालिका अंत में संलग्न हैं, जिनका उपयोग किया जा सकता है। (20 अंक)
(c) 0·2 m×0·2 m आकार की एक पतली समतल पट्टी को वायुमंडलीय वायु प्रवाह के समानांतर रखा गया है, जिसका वेग 40 m/s है। वायु का तापमान T∞ = 20 °C है, जबकि पट्टी को Ts = 120 °C पर बनाये रखा गया है। वायु, पट्टी की ऊपरी और निचली सतहों पर प्रवाहित होती है तथा विकर्ष बल (ड्रैग फोर्स) के मापन से इसका मान 0·075 N प्राप्त होता है। पट्टी की दोनों सतहों से वायु की ओर उष्मा अंतरण दर (हीट ट्रांसफर रेट) क्या है?
(मानिये ρवायु = 0·995 kg/m³, νवायु = 20·92×10⁻⁶ m²/s, Prवायु = 0·7, kवायु = 30×10⁻³ W/m-K) (10 अंक)
Answer approach & key points
Calculate and derive expressions for all nine sub-parts systematically, allocating approximately 20% time to (a)(i) reversible cycle derivation, 20% to (a)(ii) argon turbine analysis, 45% to (b) Fanno flow calculations using attached tables, and 15% to (c) Reynolds analogy application. Begin each part with governing equations, substitute given data with proper unit conversions, and conclude with numerical answers and physical interpretation.
- (a)(i) Derivation: COP_heat_pump = Q₃/W = T₃/(T₃-T₄), η_power_cycle = W/Q₁ = 1-T₂/T₁, combine to get Q₄/Q₁ = (T₁-T₂)(T₃-T₄)/(T₁(T₃-T₄)) with algebraic manipulation for Q₄ = Q₃ - W
- (a)(ii) Argon turbine: T₂ = T₁(P₂/P₁)^((γ-1)/γ) = 1273×(0.35/2)^0.402 = 773 K; actual work from power = 120/0.5 = 240 kJ/kg; actual T₂ = 1273 - 240/0.312 = 503 K; irreversibility = T₀(s₂-s₁) - q = 293×0.312×ln(773/503) = 38.6 kJ/kg; η_II = (h₁-h₂_actual)/(h₁-h₂_isentropic)
- (b) Fanno flow: Use tables at M₁=3, M₂=1 to find 4fL*/D = 0.522; L = 0.522×0.05/(4×0.002) = 3.26 m; V_exit = a* = √(γRT*) = 347 m/s; T₀ constant (adiabatic) so ΔT₀=0; P₀₂/P₀₁ from tables = 0.408; Δs = Rln(P₀₁/P₀₂) = 287×ln(2.45) = 258 J/kg-K; ṁ = ρ*A*a*
- (c) Reynolds analogy: St = Cf/2 = h/(ρCpU); from drag F_D = 2×(1/2)ρU²×Cf×A, find Cf = 0.075/(0.995×1600×0.08) = 0.000588; h = St×ρCpU = (Cf/2)×ρCpU = 0.000294×0.995×1005×40 = 11.7 W/m²K; Q = 2×h×A×(T_s-T_∞) = 2×11.7×0.04×100 = 93.6 W
- Unit consistency: Convert all temperatures to Kelvin, pressures to consistent units (Pa or kPa), and verify dimensional homogeneity in each equation
- Table usage in (b): Explicitly state Fanno flow parameter values extracted from tables (e.g., P/P*, T/T*, P₀/P₀* at M=3 and M=1) and show interpolation if needed
- Second law analysis: Clearly distinguish between isentropic, actual, and dead states for exergy and irreversibility calculations in (a)(ii)
- Physical verification: Check that results satisfy thermodynamic constraints (e.g., entropy generation ≥ 0, Mach number trends in Fanno flow, heat transfer direction in (c))
Q3 50M calculate Heat transfer and thermodynamics
(a) A long cylindrical rod of radius 10 cm consists of a nuclear reacting material (k = 0·5 W/m-K) generating 24000 W/m³ uniformly throughout its volume. The rod is encapsulated within another cylinder whose outer radius is 20 cm and that has a thermal conductivity of 4 W/m-K. The outer surface is surrounded by a fluid at 100 °C, and the convection coefficient between the surface and the fluid is 20 W/m²-K. Find the temperatures of the interface between the two cylinders, at the outer surface and the maximum temperature under steady-state condition. (20 marks)
(b) A centrifugal compressor is to be designed for an industrial application handling air. The inlet stagnation conditions are P₀₁ = 1·1 bar and T₀₁ = 295 K. The air enters the eye of the impeller axially, without any prewhirl. The axial velocity is uniform throughout the eye and is equal to 143 m/s. The eye tip and root diameters are 0·30 m and 0·15 m, respectively. Calculate the mass flow rate of air.
The overall diameter of the impeller is 0·50 m. The power input factor is 1·04 and the slip factor is 0·9. The rotational speed of the compressor is 290 revolutions/second. The isentropic efficiency of the compressor (based on total head) is 0·78. The radial velocity at the impeller tip is 143 m/s. Assume that 'half the total losses' occurs in the impeller. Determine the pressure ratio and the power required to drive the compressor. Also, determine the axial depth of the impeller channels at the periphery of the impeller. Draw the T-s diagram showing the variations of both static and stagnation pressures and temperatures in the impeller and the diffuser.
For air, γ = 1·4, Cp = 1·005 kJ/kg-K. (20 marks)
(c) The velocity and temperature profiles for laminar flow in a tube of radius r0 = 10 mm have the form at a particular axial location
u(r) = 0·1(1 - r²/r0²)
T(r) = 344·8 + 75 r²/r0² - 18·8 r⁴/r0⁴
with units of m/s and K, respectively. Determine the corresponding value of the mean (or bulk) temperature Tm at this axial position. (10 marks)
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(a) 10 cm त्रिज्या वाली एक लंबी बेलनाकार छड़ एक नाभिकीय प्रतिक्रिया सामग्री (k = 0·5 W/m-K) से बनी हुई है, जो अपने पूरे आयतन में समान रूप से 24000 W/m³ का उत्पादन कर रही है। छड़ को एक अन्य बेलनाकार संरचना के अंदर समाहित किया गया है, जिसकी बाहरी त्रिज्या 20 cm है तथा तापीय चालकता 4 W/m-K है। बाहरी सतह एक तरल द्वारा 100 °C पर धिरी हुई है तथा सतह और तरल के बीच संवहन गुणांक (कन्वेक्शन कोएफिशिएंट) 20 W/m²-K है। दोनों बेलनों के बीच सम्पर्क सतह (इंटरफेस) के तापमान, बाहरी सतह पर तापमान और स्थिर अवस्था की स्थिति में अधिकतम तापमान ज्ञात कीजिये। (20)
(b) एक औद्योगिक उपयोग के लिये वायु को संपीडित करने हेतु एक अपकेन्द्री संपीडक (सेंट्रीफ्यूगल कंप्रेसर) डिजाइन किया जाना है। अन्तर्गाम (इनलेट) पर ठहराव (स्टेगनेशन) की स्थितियाँ P₀₁ = 1·1 bar तथा T₀₁ = 295 K हैं। वायु इम्पेलर के नेत्र में किसी भी पूर्व-घूर्णन (प्रीव्हर्ल) के बिना अक्षीय रूप से प्रवेश करती है। अक्षीय वेग सम्पूर्ण नेत्र में समान है और यह 143 m/s के बराबर है। नेत्र की टिप और जड़ के व्यास क्रमशः 0·30 m और 0·15 m हैं। वायु की द्रव्यमान प्रवाह दर की गणना कीजिये।
इम्पेलर का कुल व्यास 0·50 m है। पावर निवेश (इनपुट) फैक्टर 1·04 तथा स्लिप फैक्टर 0·9 है। कंप्रेसर की घूर्णन गति 290 चक्कर प्रति सेकंड है। कंप्रेसर की आइसेन्ट्रॉपिक दक्षता (कुल शीर्ष पर आधारित) 0·78 है। इम्पेलर के सिरे (टिप) पर त्रिज्य (रेडियल) वेग 143 m/s है। यह मानिये कि 'कुल हानियों का आधा हिस्सा' इम्पेलर में होता है। कंप्रेसर को चलाने के लिये आवश्यक दाब अनुपात (प्रेशर रेशियो) तथा शक्ति निर्धारित कीजिये। साथ ही इम्पेलर की परिधि पर इम्पेलर चैनलों की अक्षीय गहराई (एक्सियल डेप्थ) को भी निर्धारित कीजिये। इम्पेलर और डिफ्यूजर में स्थैतिक (स्टैटिक) तथा ठहराव (स्टेगनेशन) दाबों और तापमानों में होने वाले परिवर्तन को दर्शाते हुए T-s आरेख निर्मित कीजिये।
वायु के लिये γ = 1·4, Cₚ = 1·005 kJ/kg-K. (20)
(c) एक निश्चित अक्षीय स्थिति पर त्रिज्या r0 = 10 mm वाली एक नली में स्तरीय (लेमिनर) प्रवाह के लिये वेग और तापमान प्रोफाइल
u(r) = 0·1(1 - r²/r0²)
T(r) = 344·8 + 75 r²/r0² - 18·8 r⁴/r0⁴
हैं, जिनकी इकाइयाँ क्रमशः m/s और K हैं। इस अक्षीय स्थिति पर औसत (या बल्क) तापमान Tm का संबंधित मान निर्धारित कीजिये। (10)
Answer approach & key points
Calculate systematically across all three sub-parts: for (a) apply cylindrical heat conduction with internal heat generation and composite wall resistance; for (b) solve centrifugal compressor thermodynamics with velocity triangles, slip factor, and efficiency corrections; for (c) integrate velocity-weighted temperature for bulk mean temperature. Allocate approximately 35% time to part (a), 45% to part (b) due to its multi-step complexity and diagram requirement, and 20% to part (c). Present derivations with clear boundary condition statements and conclude each part with physically verified numerical answers.
- Part (a): Apply heat conduction equation in cylindrical coordinates with uniform heat generation; use thermal resistance network for composite cylinder with convection at outer surface; identify maximum temperature at centerline (r=0)
- Part (a): Calculate interface temperature T₁, outer surface temperature T₂, and T_max using continuity of heat flux and temperature at r=10 cm interface
- Part (b): Calculate mass flow rate using continuity equation with variable annulus area at impeller eye; determine blade tip speed U₂ = πND₂
- Part (b): Apply slip factor and power input factor to find actual work input; use isentropic efficiency to find pressure ratio; determine impeller channel depth from radial velocity and through-flow area
- Part (b): Draw complete T-s diagram showing: stagnation and static states at impeller inlet, impeller outlet (with losses), diffuser outlet; label pressure rise and temperature rise correctly
- Part (c): Apply definition of bulk mean temperature T_m = (∫ρuC_p T dA)/(ṁC_p) = (∫₀^r₀ uT r dr)/(∫₀^r₀ u r dr) for axisymmetric flow
- Part (c): Perform integration of polynomial terms u(r) = 0.1(1-r²/r₀²) and T(r) = 344.8 + 75r²/r₀² - 18.8r⁴/r₀⁴ to obtain numerical T_m
Q4 50M calculate Heat exchangers and gas turbine cycles
(a) A shell and tube type condenser is employed in a steam power plant to handle 35000 kg/h of dry and saturated steam at 50 °C. The cooling water enters the condenser at 15 °C and leaves at 25 °C. The tubes are of 22·5 mm inside diameter and 25 mm outside diameter. The water flows through the tubes at an average velocity of 2 m/s. The heat transfer coefficient on steam side is 5001 W/m²-K.
Calculate the following :
(i) The mass flow rate of water (in kg/s)
(ii) The heat transfer surface area (based on U₀)
(iii) The number of tubes required for water flow
(iv) The number of tube passes in condenser if the length of each tube pass should not be more than 2·5 m
Assume that condensate coming out from the condenser is saturated water and resistance of tube wall is negligible. For waterside heat transfer coefficient, use the correlation Nu = 0·023 Re⁰·⁸ Pr⁰·⁴. Take latent heat of steam as 2374 kJ/kg. The properties of water at mean bulk temperature of 20 °C are as follows :
Pr = 6·98
ρ = 998·9 kg/m³
Cₚ = 4·180 kJ/kg-K
ν = 1·0006 × 10⁻⁶ m²/s
kƒ = 0·59859 W/m-K
Assume fully developed flow through tubes and a single shell is used. (20 marks)
(b) A stationary gas turbine plant operates on a Brayton cycle and delivers 20 MW to an electric generator. The maximum temperature is 1200 K and the minimum temperature is 290 K. The minimum pressure is 95 kPa and the maximum pressure is 380 kPa. If the isentropic efficiencies of the turbine and compressor are 0·85 and 0·8, respectively, find—
(i) the mass flow rate of air to the compressor;
(ii) the volume flow rate of air to the compressor;
(iii) the fraction of turbine work output needed to drive the compressor;
(iv) the cycle efficiency.
If a regenerator of 75% effectiveness is added to the plant, what would be the changes in the cycle efficiency and net work output?
Assume Cp and Cv for air as 1·005 kJ/kg-K and 0·718 kJ/kg-K, respectively. (20 marks)
(c) The heat transfer rate due to free convection from a vertical surface, 1 m high and 0·6 m wide, to quiescent air that is 20 K colder than the surface is known. What is the ratio of the heat transfer rate for that situation to the rate corresponding to a vertical surface, 0·6 m high and 1 m wide, when the quiescent air is 20 K warmer than the surface? Neglect heat transfer by radiation and any influence of temperature on the relevant thermophysical properties of air.
The correlation between Nusselt number and Rayleigh number is given as
NūL = 0·10 RaL^0·25. (10 marks)
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(a) एक शेल और ट्यूब प्रकार का संयंत्रक (कंडेंसर) एक भाप विद्युत संयंत्र (स्टीम पावर प्लांट) में उपयोग किया जाता है, जहाँ यह 35000 kg/h की दर से 50 °C पर शुष्क संतृप्त भाप को हैंडल करता है। शीतलन जल (कूलिंग वाटर) कंडेंसर में 15 °C पर प्रवेश करता है और 25 °C पर बाहर निकलता है। नलिकाओं (ट्यूबों) के आंतरिक व्यास 22·5 mm तथा बाहरी व्यास 25 mm हैं। जल ट्यूबों में औसतन 2 m/s की गति से प्रवाहित होता है। भाप पक्ष (स्टीम साइड) पर उष्मा अंतरण गुणांक (हीट ट्रांसफर कोएफिशिएंट) 5001 W/m²-K है।
निम्नलिखित की गणना कीजिये :
(i) जल की द्रव्यमान प्रवाह दर (kg/s में)
(ii) उष्मा अंतरण (हीट ट्रांसफर) सतह क्षेत्र (U0 के आधार पर)
(iii) जल के प्रवाह हेतु आवश्यक नलिकाओं की संख्या
(iv) कंडेंसर में नलिका पास (ट्यूब पास) की संख्या, यदि प्रत्येक नलिका पास की लंबाई 2·5 m से अधिक नहीं हो
मान लीजिये कि कंडेंसर से निकलने वाला द्रवितक (कंडेंसेट) संतृप्त जल है और ट्यूब की दीवार का प्रतिरोध नगण्य है। जल-पक्षीय उष्मा अंतरण (हीट ट्रांसफर) गुणांक के लिये Nu = 0·023 Re⁰·⁸ Pr⁰·⁴ सहसंबंध का उपयोग कीजिये। भाप की गुप्त उष्मा को 2374 kJ/kg लीजिये। 20 °C के औसत बल्क तापमान पर जल के गुणधर्म निम्नलिखित हैं :
Pr = 6·98
ρ = 998·9 kg/m³
Cₚ = 4·180 kJ/kg-K
ν = 1·0006 × 10⁻⁶ m²/s
kƒ = 0·59859 W/m-K
यह मान लीजिये कि नलिकाओं (ट्यूब) में प्रवाह पूर्णतः विकसित है तथा एक ही आवरण (शेल) का उपयोग किया गया है। (20)
(b) एक स्थिर गैस टरबाइन संयंत्र ब्रेटन चक्र पर कार्य करता है तथा एक विद्युत जनरेटर को 20 MW शक्ति प्रदान करता है। अधिकतम तापमान 1200 K तथा न्यूनतम तापमान 290 K है। न्यूनतम दाब 95 kPa तथा अधिकतम दाब 380 kPa है। यदि टरबाइन और संपीडक (कंप्रेसर) की आइसेंट्रॉपिक दक्षताएँ क्रमशः 0·85 और 0·8 हैं, तो ज्ञात कीजिए—
(i) संपीडक में प्रविष्ट होने वाली वायु की द्रव्यमान प्रवाह दर;
(ii) संपीडक में प्रविष्ट होने वाली वायु की आयतन प्रवाह दर;
(iii) संपीडक को संचालित करने हेतु आवश्यक टरबाइन कार्य निष्पादन का अनुपात;
(iv) चक्र की दक्षता।
यदि संयंत्र में 75% दक्षता वाला एक पुनर्जनक (रिजनरेटर) जोड़ा जाये, तो चक्र की दक्षता और शुद्ध कार्य निष्पादन में क्या परिवर्तन होगा?
वायु के लिये Cp और Cv क्रमशः 1·005 kJ/kg-K तथा 0·718 kJ/kg-K मानिये। (20)
(c) 1 m ऊँची तथा 0·6 m चौड़ी एक उष्णोद्धर सतह से स्थिर वायु में, जो सतह की तुलना में 20 K ठंडी है, मुक्त संवहन (फ्री कन्वेक्शन) द्वारा उष्मा अंतरण दर (हीट ट्रांसफर रेट) ज्ञात है। ऐसी स्थिति के लिये उष्मा अंतरण दर तथा 0·6 m ऊँची और 1 m चौड़ी एक उष्णोद्धर सतह के संगत उष्मा अंतरण दर का अनुपात क्या है जब स्थिर वायु सतह की तुलना में 20 K अधिक गर्म हो? यह मानिये कि विकिरण (रेडिएशन) द्वारा उष्मा अंतरण नगण्य है और तापमान का वायु के संगत तापभौतिकीय गुणों (थर्मोफिजिकल प्रॉपर्टी) पर कोई प्रभाव नहीं है।
नुसेल्ट संख्या और रेले संख्या के बीच का संबंध NūL = 0·10 RaL^0·25 के रूप में दिया गया है। (10)
Answer approach & key points
Calculate all numerical sub-parts systematically: spend ~40% time on part (a) condenser calculations (mass flow, LMTD, overall U, tube count, passes), ~35% on part (b) gas turbine cycle with regeneration analysis, and ~25% on part (c) free convection scaling. Begin each part with stated assumptions, show formulae with substituted values, and present final answers with proper units. Include T-s diagrams for (b) and note physical implications.
- Part (a)(i): Water mass flow rate = 9.92 kg/s from energy balance Q = m_steam × h_fg = m_water × Cp × ΔT
- Part (a)(ii): Overall U₀ = 1/(1/h₀ + r₀/rᵢ × 1/hᵢ) with hᵢ from Dittus-Boelter correlation; A₀ = Q/(U₀ × LMTD) where LMTD = 14.43°C
- Part (a)(iii)-(iv): Tube count from continuity equation; tube passes determined from length constraint L_total/(N_tubes × L_max_pass)
- Part (b): Compressor and turbine work with isentropic efficiencies; T₂ = 430.9 K, T₄ = 766.3 K; mass flow from W_net = 20 MW
- Part (b) with regenerator: Effectiveness ε = 0.75 gives T₅ = T₂ + ε(T₄-T₂); revised efficiency and unchanged work output
- Part (c): Heat transfer ratio = (L₁/L₂)^0.25 × (W₁/W₂) = (1/0.6)^0.25 × (0.6/1) = 0.6 × 1.136 = 0.682 for cold vs hot surface orientation
- All parts: Proper unit conversions (kg/h to kg/s, kW to W), significant figures, and physical reasonableness checks