All 8 questions from UPSC Civil Services Mains Physics 2021 Paper II (400 marks total). Every stem reproduced in full, with directive-word analysis, marks, word limits, and answer-approach pointers.
8Questions
400Total marks
2021Year
Paper IIPaper
Topics covered
Zeeman effect, quantum mechanics, rotational spectra (1)Quantum mechanics and spin matrices (1)Atomic and Molecular Physics (1)Quantum Mechanics (1)Solid state physics, nuclear physics and particle physics (1)Nuclear physics: deuteron, shell model and neutrinos (1)Transistor amplifier and semiconductor devices (1)DC load line and magnetic susceptibility (1)
(a) Find the minimum magnetic field needed for the Zeeman effect to be observed in a spectral line of 400 nm wavelength when a spectrometer whose resolution is 0.010 nm is used. Write the answer in the nearest high integer. (10 marks)
1.(b) Normalised wave function of hydrogen atom for 1s state is
ψ₁₀₀ = (1/√(πa₀³))e⁻ʳ/ᵃ⁰, where a₀ = ℏ²/me²
being the Bohr radius. Calculate the expectation value of potential energy in this state. (10 marks)
1.(c) A beam of 12 eV electron is incident on a potential barrier of height 25 eV and width 0.05 nm. Calculate the transmission coefficient. (10 marks)
1.(d) Calculate the Larmor precessional frequency for a magnetic induction field of 0.5 T. Hence calculate the splitting in wave numbers of a spectral line due to normal Zeeman effect for the same field. (10 marks)
1.(e) The first line in the pure rotational spectrum of HCl appears at 21.18 cm⁻¹. Calculate bond length of the molecule. Given atomic masses of H and Cl are 1.008 and 35.45 amu, respectively. (10 marks)
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(a) 400 nm तरंग-दैर्ध्य की स्पेक्ट्रम रेखा में देखे जाने के लिए जीमैन प्रभाव के लिए आवश्यक न्यूनतम चुंबकीय क्षेत्र का पता लगाएँ जब कि एक स्पेक्ट्रोमीटर जिसका विभेदन 0.010 nm है, का उपयोग किया जाता है। उत्तर को निकटतम उच्च पूर्णक में लिखें। (10 अंक)
1.(b) हाइड्रोजन परमाणु की 1s अवस्था में इलेक्ट्रॉन के लिए सामान्यीकृत तरंग फलन निम्नलिखित है:
ψ₁₀₀ = (1/√(πa₀³))e⁻ʳ/ᵃ⁰, जहाँ a₀ = ℏ²/me²
बोहर त्रिज्या है। इस अवस्था में स्थितिज ऊर्जा के अपेक्षित मान की गणना कीजिए। (10 अंक)
1.(c) 25 eV ऊँचाई और 0.05 nm चौड़ाई के विभव रोध पर 12 eV इलेक्ट्रॉन का एक किरण-पुंज आपतित होता है। संचरण गुणांक की गणना कीजिए। (10 अंक)
1.(d) 0.5 T के चुंबकीय प्रेरण क्षेत्र के लिए लार्मर पुत्रस्तरण आवृत्ति की गणना कीजिए। समान क्षेत्र के लिए सामान्य जीमैन प्रभाव के कारण स्पेक्ट्रम रेखाओं की तरंग संख्याओं में विभाजन की गणना कीजिए। (10 अंक)
1.(e) HCl के शुद्ध घूर्णी वर्णक्रम (स्पेक्ट्रम) में पहली पट्टी 21.18 cm⁻¹ पर दिखाई देती है। अणु की बंधन लंबाई की गणना कीजिए। हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान 1.008 और क्लोरिन परमाणु का द्रव्यमान 35.45 amu है जहाँ amu परमाणुिक द्रव्यमान इकाई है। (10 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivations with correct units, physical interpretation, and accurate numerical results.
Δλ = eBλ²/(4πmc) for the normal Zeeman shift
Set Δλ = 0.010 nm and solve B_min = 4πmcΔλ/(eλ²)
B_min = 1.34 T, so 2 T to the nearest higher integer
⟨V⟩ = -e²∫(1/r)|ψ|²d³r with |ψ|² = e^(-2r/a₀)/(πa₀³)
(a) Using Pauli spin matrices prove that,
(i) σₓσᵧ + σᵧσₓ = 0; σᵧσᵤ + σᵤσᵧ = 0; σₓσᵤ + σᵤσₓ = 0
(ii) σ₊σ₋ = 2(1+σᵤ)
(iii) σₐ + σᵦ = iσᵧ where α ≠ β ≠ γ
8+6+6 marks
(b) Find the uncertainty in the momentum of a particle when its position is determined within 0·02 cm. Find also the uncertainty in the velocity of an electron and α-particle respectively when they are located within 15×10⁻⁸ cm. 15 marks
(c) A particle is moving in a one dimensional box of width 50Å and infinite height. Calculate the probability of finding the particle within an interval of 15Å at the centres of the box when it is in its state of least energy. 15 marks
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(a) पाउली प्रचक्रण आव्यूहों का उपयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि,
(i) σₓσᵧ + σᵧσₓ = 0; σᵧσᵤ + σᵤσᵧ = 0; σₓσᵤ + σᵤσₓ = 0
(ii) σ₊σ₋ = 2(1+σᵤ)
(iii) σₐ + σᵦ = iσᵧ जहाँ α ≠ β ≠ γ
8+6+6 अंक
(b) एक कण के संवेग में अनिश्चितता का पता लगाइए जब उसकी स्थिति 0·02 cm के भीतर निर्धारित की जाती है। एक इलेक्ट्रॉन और अल्फा कण के वेग में अनिश्चितता का पता लगाइए जब वे 15×10⁻⁸ cm के भीतर स्थित हों। 15 अंक
(c) एक कण 50Å चौड़ाई और अनंत ऊँचाई के एकविमीय कोष (बाक्स) में घूम रहा है। कोष (बाक्स) के केंद्र पर 15Å के अंतराल के भीतर कण को खोजने की संभावना (प्रायिकता) की गणना कीजिए जब वह अपनी न्यूनतम ऊर्जा की स्थिति में हो। 15 अंक
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup > Derivation > Result. (a(i)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (a(ii)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (a(iii)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivations with explicit matrices; precise unit conversions; correct integration limits.
Explicit 2x2 matrices for σx, σy, σz
Explicit products σxσy, σyσx (and the other two pairs)
Sum shown to be the zero matrix
Define σ± = σx ± iσy
Expand σ+σ- using σx² = σy² = I and σxσy = iσz
Reach 2(1+σz)
Note the printed sum is false; intended identity is σασβ = iσγ
(a) In observing the Raman spectrum of a sample using 3637Å as the exciting line, one gets stoke line at 3980Å. Deduce the Raman shift in m⁻¹ units. Compute the wavelength in Å for corresponding stokes and antistokes lines if the exciting line is 6465Å. (20 marks)
(b) Explain spin-orbit coupling. Discuss the splitting of spectral lines of H-atom due to spin-orbit coupling. (15 marks)
(c) The quantum numbers of two electrons in a two valence electron atom are;
n₁=8 l₁=4 s₁=½
n₂=7 l₂=2 s₂=½
(i) Assuming L-S coupling, find the possible value of L and hence of J.
(ii) Assuming j-j coupling, find the possible values of J. (7+8 marks)
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(a) 3637Å के उत्तेजन रेखा के रूप में उपयोग करते हुए एक नमूने के रमन वर्णक्रम (स्पेक्ट्रम) को देखने में 3980Å पर स्टोक्स रेखा मिलती है । मीटर⁻¹ इकाई में रमन विस्थापन (शिफ्ट) का पता लगाइए । संबंधित स्टोक्स और एंटी-स्टोक्स लाइनों के लिए Å में तरंग दैर्घ्य की गणना कीजिए यदि उत्तेजन रेखा 6465Å है । (20 अंक)
(b) प्रचक्रण-कक्षा युग्मन की व्याख्या कीजिए । प्रचक्रण-कक्षा युग्मन के कारण हाइड्रोजन-परमाणु की स्पेक्ट्रमी (वर्णक्रम) रेखाओं के विपाटन की चर्चा कीजिए । (15 अंक)
(c) एक दो संयोजकता वाले इलेक्ट्रॉन परमाणु में दोनों इलेक्ट्रॉनों की क्वांटम संख्याएँ हैं;
n₁=8 l₁=4 s₁=½
n₂=7 l₂=2 s₂=½
(i) L-S युग्मन को मानते हुए L का संभावित मान ज्ञात कीजिए और J का भी ।
(ii) j-j युग्मन को मानते हुए J का संभावित मान ज्ञात कीजिए । (7+8 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Shows complete working with correct units, clear diagrams, and physical interpretation
Δν̄ = 1/λ0 − 1/λs ≈ 2.37e5 m^-1 (2369.6 cm^-1)
Apply the same shift to 6465 Å in wavenumber, not wavelength
Stokes ≈ 7635 Å and anti-Stokes ≈ 5606 Å
Origin: spin moment in the orbital magnetic field; H_SO = ξ(r) L·S
Energy shift via L·S = ½(J²−L²−S²); levels j = l ± ½, none for l = 0
Line splitting using Δl = ±1, Δj = 0, ±1; example Hα
(a) A particle of rest mass m₀ has a kinetic energy K, show that its de Broglie wavelength is given by
λ = hc/√[K(K+2m₀c²)]
Hence calculate the wavelength of an electron of kinetic energy 2 MeV. What will be the value of λ if K<< m₀c² ? (15 marks)
(b) Calculate the probability of finding a simple harmonic oscillator within the classical limits if the oscillator is in its normal state. Also show that if the oscillator is in its normal state, then the probability of finding the particle outside the classical limits is approximately 16%. (15 marks)
(c) Describe normal and anomalous Zeeman effect. Explain how it lifts the degeneracy in hydrogen atom. (20 marks)
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(a) विराम-द्रव्यमान m₀ के एक कण की गतिज ऊर्जा K है, दर्शाइए कि इसकी डी. ब्रोगली तरंगदैर्घ्य निम्नलिखित द्वारा निर्धारित है :
λ = hc/√[K(K+2m₀c²)]
अतः 2 MeV गतिज ऊर्जा के एक इलेक्ट्रॉन के तरंगदैर्घ्य की गणना कीजिए । यदि K<< m₀c² हो तो λ का मान क्या होगा ? (15 अंक)
(b) चिरप्रतिबंधित सीमाओं के अंदर एक सरल आवर्ती दोलक की प्रायिकता की गणना कीजिए यदि दोलक अपनी सामान्य अवस्था में है । यह भी दर्शाइए कि यदि दोलक अपनी सामान्य अवस्था में है तो कण के चिरप्रतिबंधित सीमा से बाहर निकलने की प्रायिकता लगभग 16% (प्रतिशत) है । (15 अंक)
(c) सामान्य और असंगत ज़ीमान प्रभाव का वर्णन कीजिए । समझाइए कि यह हाइड्रोजन परमाणु में अपभ्रष्टता को कैसे उठा देता है । (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance Full marks: Rigorous derivation with correct units, accurate numerical values, and clear physical interpretation of limits.
E² = p²c² + m0²c⁴ with E = K + m0c² gives p²c² = K(K+2m0c²)
λ ≈ 5.04e-13 m (0.504 pm) for K = 2 MeV, m0c² = 0.511 MeV
Limit λ → h/√(2m0K)
Turning points A = √(ħ/mω) from ½mω²A² = ½ħω
Integral of |ψ0|² from −A to A reduces to erf(1) ≈ 0.8427
Outside probability 1 − erf(1) ≈ 0.157 ≈ 16%
Normal: S = 0, ΔE = μB B ml, triplet from Δml = 0, ±1
Anomalous: S ≠ 0, ΔE = gJ μB B MJ with Lande g-factor
Field removes m-degeneracy of hydrogen levels (2J+1 or 2l+1 sublevels)
50MCompulsorysolveSolid state physics, nuclear physics and particle physics
(a) An X-ray beam of wavelength (λ₁) undergoes a first order Bragg reflection at a Bragg angle of 30°. X-ray of wavelength 97 nm undergoes 3rd order reflection at a Bragg angle of 60°. Consider that the two beams are reflected from the same set of planes. Find the value of λ₁. (10 marks)
(b) Using the expression for internal energy U=3N(ℏω)/(e^ℏω/k_BT-1), show that Einstein specific heat capacity is given by; C=3R((ℏω)/(k_BT))²(e^ℏω/k_BT)/((e^ℏω/k_BT-1)²). Also show that Einstein specific heat capacity given above is proportional to e⁻ℏω/k_BT at very low temperature. (10 marks)
(c) ρ^° and K^° mesons both decay mostly to π⁺ and π⁻. Explain why the mean lifetime of ρ^° is shorter (∼10⁻²³s) compared to the mean lifetime of K^°(∼10⁻¹⁰s). (10 marks)
(d) What are the properties of the particles made up of the following quarks ? (a) ud̄ (b) ūd (c) dds (d) uss (10 marks)
(e) What are chain reactions ? What do you mean by critical size of the core in which chain reaction takes place ? (10 marks)
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(a) λ₁ तरंग-दैर्घ्य का एक एक्सरे किरणपुंज 30° के ब्रैग-कोण पर पहले क्रम के ब्रैग परावर्तन से गुजरता है । 97 nm तरंग-दैर्घ्य का एक्सरे 60° के ब्रैग कोण पर तृतीय क्रम के परावर्तन से गुजरता है । मान लीजिए कि दोनों किरणपुंज (बीम) एक ही तल से परावर्तित होते हैं तो λ₁ का मान ज्ञात कीजिए । (10 अंक)
(b) आंतरिक ऊर्जा के व्यंजक U=3N(ℏω)/(e^ℏω/k_BT-1) का इस्तेमाल करते हुए दिखाइए कि आइंस्टीन की विशिष्ट ऊष्मा धारिता निम्नलिखित द्वारा निर्धारित है; C=3R((ℏω)/(k_BT))²(e^ℏω/k_BT)/((e^ℏω/k_BT-1)²)। यह भी दिखाइए कि ऊपर दी गई आइंस्टीन की विशिष्ट ऊष्मा धारिता कम तापमान पर e⁻ℏω/k_BT के समानुपाती होती है । (10 अंक)
(c) ρ^° और K^° मेसॉन दोनों ही अधिकतर π⁺ और π⁻ में क्षय होते हैं । समझाइए कि ρ^° का औसत जीवन काल (∼10⁻²³s) K^° के औसत जीवन काल (∼10⁻¹⁰s) की तुलना में छोटा क्यों है । (10 अंक)
(d) निम्नलिखित क्वार्कों से बने हुए कणों के गुण क्या हैं ? (a) ud̄ (b) ūd (c) dds (d) uss (10 अंक)
(e) श्रृंखला अभिक्रियाएँ क्या होती हैं ? कोर के क्रांतिक परिमाण से, जिसके भीतर श्रृंखला अभिक्रिया होती है, आप क्या अर्थ निकालते हैं ? (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (d) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance | (e) define: precise definition > the distinguishing feature > one example Full marks: Complete derivations with correct limits; precise particle identification; clear physical reasoning for lifetimes.
nλ = 2d sin θ with the same d
d = 97√3 nm from the second beam
λ1 = 97√3 ≈ 168 nm
Differentiate U with respect to T using x = ħω/kT
Result C = 3R x² e^x/(e^x−1)²
Low T: e^x − 1 ≈ e^x gives C ∝ e^(−x)
ρ0 decay is strong, conserving strangeness; time about 1e-23 s
K0 has S = +1, pions S = 0, so ΔS = 1
Hence K0 decays weakly with lifetime about 1e-10 s
ud̄ = π+ and ūd = π−, Q = ±1, B = 0, S = 0
dds = Σ−, Q = −1, B = 1, S = −1
uss = Ξ0, Q = 0, B = 1, S = −2
Self-sustaining fission by released neutrons, e.g. U-235
Multiplication factor k with k < 1, = 1, > 1 cases
Critical size = minimum core size for k = 1; leakage argument
50MderiveNuclear physics: deuteron, shell model and neutrinos
(a) What is the importance of study of deuteron ? Obtain the solution of Schrödinger equation for ground state of deuteron and show that deuteron is a loosely bound system. (20 marks)
(b) Show that in the nuclear shell model, the level spacing between major oscillator shells is approximately ℏω=41A^-1/3 MeV. (15 marks)
(c) How many types of neutrinos exist ? How do they differ in their masses ? (15 marks)
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(a) ड्यूटेरॉन के अध्ययन का क्या महत्व है ? ड्यूटेरॉन की निम्नतम अवस्था के लिए श्रोडिंगर समीकरण का हल प्राप्त कीजिए और दर्शाइए कि ड्यूटेरॉन एक ढीले तरीके से बद्ध तंत्र होता है । (20 अंक)
(b) दर्शाइए कि नाभिकीय कोश में मुख्य दोलित्र कोशों के मध्य स्तर अंतराल लगभग ℏω=41A^-1/3 MeV होता है । (15 अंक)
(c) कितने प्रकार के न्यूट्रिनो पाये जाते हैं ? द्रव्यमानों के आधार पर उनके अंतर को स्पष्ट करिए । (15 अंक)
Answer approach & key points
(a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Rigorous derivations with clear physical interpretation and correct constants.
Importance: only bound two-nucleon system; nuclear force information
Square-well radial solution u = A sin kr inside, C e^(−κr) outside, with k cot kR = −κ
Loose binding: κ ≈ 0.232 fm^-1, 1/κ ≈ 4.3 fm beyond R ≈ 2 fm; B = 2.224 MeV, 1.11 MeV per nucleon
E_N = (N + 3/2)ħω with N ≈ (3A/2)^(1/3) from shell degeneracy
⟨r²⟩ ≈ (3N/4) ħ/(Mω) matched to (3/5)R0²A^(2/3)
ħω = (ħc)²/(Mc² b²) ≈ 41A^(−1/3) MeV
Three active flavours νe, νμ, ντ, supported by the Z width (N_ν ≈ 3)
Flavour states are mixtures of mass eigenstates ν1, ν2, ν3
50McalculateTransistor amplifier and semiconductor devices
(a) An n-p-n transistor with β = 49 is used in common-emitter amplifier mode with Vcc = 10V and RL = 2 kΩ. If a 100 kΩ resistor is connected between the collector and the base of the transistor, calculate the quiescent collector current. Assume VBE = 0. (20 marks)
(b) In the metallic state the transition metal scandium has a single electron in 3d subshell. Calculate the values of total angular momentum J and the Lande splitting factor g and use these values to determine the energy of the lowest energy dipole moment in a field of 0·5 T. (20 marks)
(c) Calculate the pinch-off voltage for n-channel silicon FET with a channel width of 6×10⁻⁴ cm and a donor concentration of 10¹⁵ cm⁻³. Given that dielectric constant of silicon is 12. (10 marks)
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(a) β = 49 के साथ एक n-p-n ट्रांजिस्टर उभयनिष्ठ उत्सर्जक प्रवर्धक विधा में Vcc = 10V और RL = 2 kΩ के साथ प्रयोग किया जाता है । यदि ट्रांजिस्टर के संग्राहक और आधार (बेस) के बीच एक 100 kΩ प्रतिरोधक जुड़ा हुआ है तो शांत संग्राहक धारा की गणना कीजिए । मान लीजिए VBE = 0 । (20 अंक)
(b) धात्विक अवस्था में संक्रमण धातु स्कैंडियम के 3d उपकोश में एक एकल इलेक्ट्रॉन होता है । कुल कोणीय संवेग J और लांडे विपाटन गुणांक g के मानों की गणना कीजिए और इन मानों का उपयोग 0·5 T के क्षेत्र में सबसे कम ऊर्जा के द्विध्रुव आघूर्ण की ऊर्जा को निर्धारित करने के लिए कीजिए । (20 अंक)
(c) 6×10⁻⁴ cm की चैनल परास और 10¹⁵ cm⁻³ के दाता सांद्रता के साथ n-चैनल सिलिकॉन FET के लिए संकुचन वोल्टता की गणना कीजिए । सिलिकॉन का परावैद्युतांक 12 दिया हुआ है । (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivation with correct units and physical interpretation for all parts.
50McalculateDC load line and magnetic susceptibility
(a) Sketch the dc load line for the circuit shown. (10 marks)
(b) A solid contains a dilute concentration of Nd³⁺ ions, each of which possess three 4f electrons. Assuming that there are 10²⁵ m⁻³ of these ions, calculate the magnetic susceptibility of the sample at 1K. (20 marks)
(c) Explain the phenomenon of internal conversion and define the internal conversion coefficient. Discuss under what conditions the internal conversion process becomes important. (20 marks)
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(a) दिखाये गये परिपथ के लिए डी.सी. भार रेखा को रेखांकित कीजिए । (10 अंक)
(b) एक ठोस में Nd³⁺ आयनों की तनु सांद्रता होती है जिनमें से प्रत्येक में तीन 4f इलेक्ट्रॉन होते हैं । यह मानते हुए कि यह आयन 10²⁵ m⁻³ हैं, 1K पर नमूने की चुंबकीय प्रवृत्ति की गणना कीजिए । (20 अंक)
(c) आंतरिक रूपांतरण की घटना की व्याख्या कीजिए और अभ्यंतर रूपांतरण गुणांक को परिभाषित कीजिए । चर्चा कीजिए कि किन परिस्थितियों में आंतरिक रूपांतरण प्रक्रिया महत्वपूर्ण हो जाती है । (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) map: locate accurately > label > one line on why it matters | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Complete derivations with units, clear diagrams, and physical interpretation.
KVL: V_CC = I_C R_C + V_CE
Cutoff point (20 V, 0) and saturation point (0, 2 mA)
Straight line of slope −1/R_C with Q-point on it
Hund's rules: S = 3/2, L = 6, J = 9/2, g_J = 8/11
p_eff = g_J√(J(J+1)) ≈ 3.62
χ = μ0 n p_eff² μB²/(3kT) ≈ 3.4e-4 (SI)
Energy passed directly to an orbital electron; E_e = ΔE − B_e
α = N_e/N_γ with shell-wise sum
Important for low energy, high Z, high multipolarity, 0+→0+ E0