All 8 questions from UPSC Civil Services Mains Physics 2023 Paper II (400 marks total). Every stem reproduced in full, with directive-word analysis, marks, word limits, and answer-approach pointers.
8Questions
400Total marks
2023Year
Paper IIPaper
Topics covered
Quantum mechanics - potential wells and harmonic oscillator (1)Quantum mechanics - spin, potential barrier and particle in a box (1)Atomic structure and spectroscopy (1)Quantum mechanics and NMR (1)Particle physics, nuclear decay, reciprocal lattice, semiconductor Fermi level (1)Rutherford scattering, nuclear structure, nuclear forces and meson theory (1)Diamagnetism, Debye theory, Wien-Bridge oscillator (1)Nuclear reactor, superconductivity, operational amplifier (1)
A
Q1
50MCompulsorycalculateQuantum mechanics - potential wells and harmonic oscillator
(a) Calculate the zero point energy for a particle in an infinite potential well for the following cases : (i) a 100 g ball confined on a 5 m long line. (ii) an oxygen atom confined to a 2×10⁻¹⁰ m lattice. (iii) an electron confined to a 10⁻¹⁰ m atom. Why zero point energy is not important for macroscopic objects ? Comment. 10 marks
(b) Consider a particle of mass m and charge q moving under the influence of a one dimensional harmonic oscillator potential. Assume it is placed in a constant electric field E. The Hamiltonian of this particle is therefore given by H = p²/2m + ½mω²X² - qEX. Obtain the energy expression and the wave function of the nth excited state of the particle. 10 marks
(c) A particle of mass m is in a spherically symmetric attractive potential of radius a. Find the minimum depth of the potential needed to have two bound states of zero angular momentum. 10 marks
(d) A beam of hydrogen atoms emitted from an oven at 400 k is sent through a Stern-Gerlach experiment having magnet of length 1 m and a gradient field of 10 tesla/m. Calculate the transverse deflection of an atom at the point where the beam leaves the magnet. 10 marks
(e) If an atom is placed in a magnetic field of strength 0·1 weber/m², then calculate the rate of precession and torque on an electron with l = 3 in the atom. Given that the magnetic moment of the electron makes an angle of 30° with the magnetic field. 10 marks
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(a) एक कण को अनंत विभव कूप में रखने पर निम्न स्थितियों के लिए शून्य बिंदु ऊर्जा की गणना करें : (i) एक 100 g की गेंद जो 5 m लंबी रेखा पर प्रतिबंधित है । (ii) एक ऑक्सीजन परमाणु जो 2×10⁻¹⁰ m जालक पर प्रतिबंधित है । (iii) एक इलेक्ट्रॉन जो 10⁻¹⁰ m परमाणु में प्रतिबंधित है । स्थूल वस्तुओं के लिए शून्य बिंदु ऊर्जा का महत्व क्यों नहीं है ? टिप्पणी करें । 10 अंक
(b) द्रव्यमान m और आवेश q का एक कण एक एकविमीय आवर्ती दोलक विभव के प्रभाव के अधीन गतिशील है । मान लीजिये कि इसे एक स्थिर विद्युत क्षेत्र E में रखा गया है । इसलिये इस कण का हैमिल्टोनियन H = p²/2m + ½mω²X² - qEX द्वारा प्रदत्त है । कण की nth उत्तेजित अवस्था के लिये ऊर्जा व्यंजक और तरंग फलन प्राप्त कीजिये । 10 अंक
(c) द्रव्यमान m का एक कण अर्धव्यास a के गोलीय सममित आकर्षक विभव में है । शून्य कोणीय संवेग की दो परिबद्ध अवस्थाओं के लिये आवश्यक विभव की न्यूनतम गहराई ज्ञात कीजिये । 10 अंक
(d) तापमान 400 k पर एक अवन से उत्सर्जित हाइड्रोजन परमाणुओं का एक पुंज स्टर्न-गर्लैक प्रयोग में, जिसके चुंबक की लंबाई 1 m व चुंबकीय प्रवणता क्षेत्र 10 टेस्ला/मीटर है, भेजा जाता है । उस बिंदु पर जहाँ पुंज चुंबक को छोड़ता है, अनुप्रस्थ विक्षेपण की गणना कीजिये । 10 अंक
(e) यदि एक परमाणु को 0·1 weber/m² तीव्रता के चुंबकीय क्षेत्र में रखा है, तब एक इलेक्ट्रॉन जो परमाणु में l = 3 अवस्था में है की पुरस्सरण की दर एवं बल आघूर्ण की गणना कीजिये। दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण चुंबकीय क्षेत्र से 30° का कोण बनाता है। 10 अंक
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivation with correct units, physical interpretation, and error analysis.
E₁ = h²/(8mL²) with n = 1
Ball 2.2×10⁻⁶⁸ J and oxygen atom 5.2×10⁻²³ J
Electron 6.0×10⁻¹⁸ J (37.6 eV)
Comment: E₁ ∝ 1/(mL²), negligible for large m and L
50MsolveQuantum mechanics - spin, potential barrier and particle in a box
(a) An operator P describing the interaction of two spin 1/2 particles is P = a + bσ⃗₁·σ⃗₂, where a and b are constants, and σ⃗₁ and σ⃗₂ are Pauli matrices of the two spins. The total spin angular momentum S⃗ = S⃗₁ + S⃗₂ = 1/2 ℏ(σ⃗₁ + σ⃗₂). Show that P, S² and Sz can be measured simultaneously. 15 marks
(b) Consider a stream of particles of mass m each moving in the positive x-direction with kinetic energy E towards the potential barrier V(x) = 0 for x ≤ 0, V(x) = 3E/4 for x > 0. Find the fraction of particles reflected at x = 0. 15 marks
(c) Consider the potential V(x) = { 0, 0 < x < a; ∞, elsewhere } (a) Estimate the energies of the ground state as well as those of the first and the second excited states for (i) an electron enclosed in a box of size a = 10⁻¹⁰ m. (ii) a 1 g metallic sphere which is moving in a box of size a = 10 cm. (b) Discuss the importance of the Quantum effects for both of these systems. (c) Estimate the velocities of the electron and the metallic sphere using uncertainty principle. 20 marks
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(a) दो प्रचक्रण 1/2 के कणों की पारस्परिक क्रिया को एक संकारक P = a + bσ⃗₁·σ⃗₂ से दर्शाया गया है जहाँ a व b स्थिरांक एवं σ⃗₁, σ⃗₂ दोनों प्रचक्रण के पाउली आव्यूह हैं। कुल प्रचक्रण कोणीय संवेग S⃗ = S⃗₁ + S⃗₂ = 1/2 ℏ(σ⃗₁ + σ⃗₂) है। दर्शाइये कि P, S² एवं Sz का एक साथ मापन किया जा सकता है। 15 अंक
(b) विचार कीजिए कि m द्रव्यमान के और गतिज ऊर्जा E के कणों की एक धारा धनात्मक x-दिशा में एक विभव अवरोधक की ओर गतिमय है। V(x) = 0 (x ≤ 0 के लिए), V(x) = 3E/4 (x > 0 के लिए)। x = 0 पर परावर्तित कणों का अंश ज्ञात कीजिए। 15 अंक
(c) मान लें, विभव V(x) = { 0, 0 < x < a; ∞, बाकी सब जगह } तब (a) आद्य अवस्था तथा पहली व दूसरी उत्तेजित अवस्थाओं की ऊर्जाओं का आकलन कीजिए। जबकि (i) एक इलेक्ट्रॉन एक बाक्स के अंदर परिबद्ध है जिसका आकार a = 10⁻¹⁰ m है। (ii) 1 g की वृत्ताकार धातु जो आकार a = 10 cm के बाक्स में गतिशील है। (b) ऊपर दिये गये दोनों निकायों के लिये क्वांटम प्रभाव के महत्व की चर्चा कीजिए। (c) अनिश्चितता सिद्धांत का प्रयोग कर इलेक्ट्रॉन व वृत्ताकार धातु के वेगों का आकलन कीजिए। 20 अंक
Answer approach & key points
(a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivations with correct physical interpretation and units.
(a) What is vector atom model ? How the principal features of vector atom model were explained by Stern-Gerlach experiment ? (5+10=15 marks)
(b) What is Lande's g factor ? Evaluate the Lande's g factor for the ³P₁ level in the 2p3s configuration of the ⁶C atom. Also calculate the splitting of the level when the atom is placed in an external magnetic field of 0·1 tesla. (5+5+5=15 marks)
(c) What is Raman effect ? Explain Quantum theory of Raman effect and Rotational Structure of a Raman spectrum. (5+10+5=20 marks)
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(a) परमाणु का सदिश मॉडल क्या है ? सदिश परमाणु मॉडल की प्रमुख विशेषताओं की स्टर्न-गर्लाक प्रयोग द्वारा किस प्रकार व्याख्या की गई थी ? (5+10=15)
(b) लैंडे g फैक्टर क्या है ? ⁶C परमाणु के 2p3s विन्यास के ³P₁ स्तर के लिए लैंडे g फैक्टर का मूल्यांकन कीजिए । जब परमाणु को 0·1 tesla के बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाये तो स्तर के विभाजन की भी गणना करें । (5+5+5=15)
(c) रमन प्रभाव क्या है ? रमन प्रभाव के क्वांटम सिद्धांत एवं रमन वर्णक्रम (स्पेक्ट्रम) की घूर्णी संरचना की व्याख्या कीजिये । (5+10+5=20)
Answer approach & key points
(a) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Complete derivations with correct units, clear diagrams, and physical interpretation of all results.
Quantised L, S, J vectors with LS coupling and precession about J
Space quantisation: J_z = m_Jħ, 2J+1 orientations
Silver beam in an inhomogeneous field with F_z = μ_z ∂B/∂z
Two components showing discrete orientations
g_J = 1 + [J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)]
L = 1, S = 1, J = 1 for ³P₁
g_J = 3/2
Three sublevels with ΔE = g_J μ_B B = 1.39×10⁻²⁴ J
Inelastic scattering giving ν₀ ± ν_m
Virtual-state picture of Stokes and anti-Stokes lines
(a) A particle constrained to move along x-axis in the domain 0 ≤ x ≤ L has a wave function ψ(x) = sin(nπx/L), where n is an integer. Normalize the wave function and evaluate the expectation value of momentum of the particle. (15 marks)
(b) Evaluate the most probable distance of the electron of the hydrogen atom in its 2p state. What is the radial probability density at that distance ? (15 marks)
(c) What is nuclear magnetic resonance ? Explain its working principle and use in magnetic resonance imaging systems. (5+5+10=20 marks)
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(a) x-अक्ष के अनुदिश गतिशील और 0 ≤ x ≤ L प्रांत (डोमेन) में प्रतिबंधित एक कण का तरंगफलन ψ(x) = sin(nπx/L) है; जहाँ n एक पूर्णांक है । तरंगफलन का प्रसामान्यीकरण कीजिये और कण के संवेग के प्रत्याशा मान का मूल्यांकन कीजिये । (15)
(b) हाइड्रोजन परमाणु की 2p अवस्था के इलेक्ट्रॉन के लिए सबसे संभावित दूरी का मूल्यांकन कीजिये । इस दूरी पर त्रिज्य प्रायिकता घनत्व क्या है ? (15)
(c) नाभिकीय चुंबकीय अनुनाद क्या है ? इसके कार्यकारी सिद्धांत और चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग प्रणाली में इसके उपयोग का वर्णन कीजिये । (5+5+10=20)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Rigorous derivation with correct units and physical interpretation.
(a) How could you establish that νₑ and ν̄ₑ are two different particles ? 10 marks
(b) What is the age of a fossil that contains 6 g of carbon ¹⁴C and has a decay rate of 27 decays per minute ?
Given : Ratio (¹⁴C)/(¹²C)=1.3×10⁻¹³, Half life(T₁/2)of¹⁴C = 5730 yrs. 10 marks
(c) Name the interactions via which the above nuclear decays occur :
(i) K⁺ → Π⁺ + Π⁺ + Π⁻
(ii) Π⁺ + p → Π⁺ + Π⁺ + n
(iii) Π⁺ + p → Δ⁺⁺ → Π⁺ + p
(iv) Σ^° → Λ^° + γ
(v) Σ⁺ → Λ^° + e⁺ + νₑ
(vi) K⁻ + p → K⁺ + K^° + Ω⁻
(vii) Π^° → γ + e⁺ + e⁻
(viii) Σ⁻ → n + e⁻ + ν̄ₑ
(ix) Λ^° → p + e⁻ + ν̄ₑ
(x) e⁺ + e⁻ → γ + γ 10 marks
(d) Derive diffraction conditions using reciprocal lattice concept. What are these conditions known as ? 10 marks
(e) Show that the Fermi level shifts upward, closer to the conduction band in an n-type semiconductor and shifts downward, closer to the valence band in a p-type semiconductor. 10 marks
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(a) आप किस प्रकार स्थापित करेंगे कि νₑ एवं ν̄ₑ दो विभिन्न प्रकार के कण हैं ? 10
(b) जिस जीवाश्म में 6 g कार्बन ¹⁴C है एवं उसकी क्षय दर 27 क्षय प्रति मिनट है, उसकी आयु क्या है ?
दिया गया है : (¹⁴C)/(¹²C) का अनुपात=1.3×10⁻¹³,¹⁴Cकी अर्ध-आयु(T₁/2) = 5730 वर्ष । 10
(c) उन अन्योन्य क्रियाओं को नामित कीजिए जिनके द्वारा निम्नलिखित नाभिकीय क्षय घटित होते हैं :
(i) K⁺ → Π⁺ + Π⁺ + Π⁻
(ii) Π⁺ + p → Π⁺ + Π⁺ + n
(iii) Π⁺ + p → Δ⁺⁺ → Π⁺ + p
(iv) Σ^° → Λ^° + γ
(v) Σ⁺ → Λ^° + e⁺ + νₑ
(vi) K⁻ + p → K⁺ + K^° + Ω⁻
(vii) Π^° → γ + e⁺ + e⁻
(viii) Σ⁻ → n + e⁻ + ν̄ₑ
(ix) Λ^° → p + e⁻ + ν̄ₑ
(x) e⁺ + e⁻ → γ + γ 10
(d) व्युत्क्रम जालक अवधारणा का उपयोग करके विवर्तन की शर्तों की व्युत्पत्ति कीजिये । इन शर्तों को किस रूप में जाना जाता है ? 10
(e) दर्शाइए कि फर्मी स्तर n-प्रकार के अर्धचालक में ऊपर की तरफ चालन बैंड के नजदीक विस्थापित होता है और p-प्रकार के अर्धचालक में नीचे की तरफ संयोजकता बैंड के नजदीक विस्थापित होता है । 10
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) enumerate: list the items in order > one line each > no commentary | (d) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (e) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion Full marks: Complete derivations with correct physics and clear diagrams.
Electron-lepton number Lₑ = +1 for νₑ and −1 for ν̄ₑ, conserved in weak processes
Reactor ν̄ₑ + p → n + e⁺ (Reines-Cowan) is allowed
ν̄ₑ + ³⁷Cl → ³⁷Ar + e⁻ is not seen (Davis)
Solar νₑ + ³⁷Cl → ³⁷Ar + e⁻ is seen; helicity differs
λ = ln2/T₁/₂ = 3.83×10⁻¹² s⁻¹
N(¹²C) = 3.01×10²³ in 6 g
A₀ from the living ratio and the inconsistency of 1.3×10⁻¹³
50MderiveRutherford scattering, nuclear structure, nuclear forces and meson theory
(a) Establish the Rutherford's scattering cross section formula for α-particle by considering the standard assumptions and symbols. 20 marks
(b) By assuming the nucleus as a cubical box of length equal to the nuclear diameter 10⁻¹² cm, calculate the kinetic energy of the highest level occupied nucleon of iron-56 nucleus. 15 marks
(c) What do you understand by nuclear forces ? Explain meson theory of exchange forces. 5+10=15 marks
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(a) मानक अभिधारणाओं एवं प्रतीकों को लेकर α-कणों के लिए रदरफोर्ड के प्रकीर्णन परिच्छेद के सूत्र को स्थापित कीजिए । 20
(b) नाभिक को नाभिक व्यास 10⁻¹² cm के समतुल्य लम्बाई का एक घनीय बॉक्स मान कर उच्चतम स्तर पर अधिष्ठित आयरन-56 नाभिक के न्यूक्लिऑन की गतिज ऊर्जा की गणना कीजिये । 15
(c) नाभिकीय बलों से आप क्या समझते हैं ? विनिमय बलों के मेसॉन सिद्धांत की व्याख्या कीजिये । 5+10=15
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Complete derivation with diagram, correct calculation with units, clear meson theory explanation
Assumptions: Coulomb force, point heavy nucleus, non-relativistic, single scattering
Impact parameter b, angle θ and conservation of angular momentum and energy
b = (kzZe²/mv²) cot(θ/2)
dσ/dΩ = (zZe²/16πε₀E)² csc⁴(θ/2)
E₀ = π²ħ²/(2mL²) = 2.05 MeV for L = 10 fm
Levels E = E₀(n₁²+n₂²+n₃²) with two nucleons of each kind per state
Z = 26 and N = 30 fill up to S = 14
E = 14E₀ ≈ 28.7 MeV
Nuclear forces are strong, short-range, charge-independent, saturating
Virtual-meson exchange with R ≈ ħ/mc
mc² ≈ 140 MeV, i.e. the pion, with charged and neutral exchange
(a) Explain classical theory of diamagnetism. Show that the susceptibility of diamagnetic substances is directly proportional to the atomic number. Why all the electrons in an atom contribute to diamagnetism ? 5+8+2=15
(b) Derive an expression for the specific heat of a solid based on the Debye theory and show how it agrees with the experimental values. What is the most important assumption of Debye theory in comparison to Einstein theory ? Is there any drawback of Debye theory ? 15+3+2=20
(c) With a neat circuit diagram, explain the working of Wien-Bridge oscillator. 15
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(a) प्रतिचुंबकत्व के चिरप्रतिष्ठित सिद्धांत की व्याख्या कीजिए । दर्शाइए कि प्रतिचुंबकीय पदार्थों की प्रवृत्ति सीधे परमाणु संख्या के समानुपाती होती है । एक परमाणु के सभी इलेक्ट्रॉन प्रतिचुंबकत्व में योगदान क्यों करते हैं ? 5+8+2=15
(b) डिबाई सिद्धांत से एक ठोस पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा के लिए व्यंजक प्राप्त करें और दिखाइए कि प्रायोगिक मानों से यह कितना संगत है । आइंस्टाइन सिद्धांत की तुलना में डिबाई सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अभिधारणा क्या है ? डिबाई सिद्धांत में क्या कोई कमी है ? 15+3+2=20
(c) एक स्पष्ट परिपथ आरेख के साथ वीन-ब्रिज दोलक की कार्य प्रणाली की व्याख्या कीजिए । 15
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Complete derivations with clear assumptions, proper diagrams, and physical interpretation throughout.
Larmor precession ω_L = eB/2m induces a moment opposing B
Δμ = −(e²B/6m)⟨r²⟩ per electron
χ = −μ₀NZe²⟨r²⟩/6m, so |χ| ∝ Z
Every electron, filled shell or not, is precessed
Mode density g(ω) = 9Nω²/ω_D³ with cut-off ω_D
C_V = 9Nk(T/θ_D)³∫x⁴eˣ/(eˣ−1)²dx
High T: 3Nk and low T: (12π⁴/5)Nk(T/θ_D)³
Continuous frequency spectrum versus Einstein's single frequency; drawback
Wien RC network in positive feedback with R₃-R₄ divider in negative feedback
β = 1/3 with zero phase shift at ω = 1/RC, so f = 1/(2πRC)
(a) What do you understand by the critical size of a reactor ? Explain the main features of nuclear reactors. 5+15=20
(b) What is superconductivity ? Explain Meissner effect. Why superconductors should be a diamagnetic material ? 15
(c) (i) Determine the input and output impedances of the amplifier in given figure. The op-amp datasheet gives Z_in = 2 MΩ, Z_out = 75 Ω and A_OL = 200,000 (open loop voltage gain). 10
(ii) Find the closed-loop voltage gain. 5
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(a) रिएक्टर के क्रांतिक आकार से आप का क्या अभिप्राय है ? नाभिकीय रिएक्टरों की मुख्य विशेषताओं का वर्णन कीजिए । 5+15=20
(b) अतिचालकता क्या है ? माइसनर प्रभाव की व्याख्या कीजिए । अतिचालक पदार्थ क्यों एक प्रतिचुंबकीय पदार्थ होते हैं ? 15
(c) (i) दर्शाए गए चित्र में प्रवर्धक का निवेशी और निर्गत प्रतिबाधाओं का मान निर्धारित कीजिए । संक्रियात्मक प्रवर्धक के डेटाशीट के अनुसार Z_in = 2 MΩ, Z_out = 75 Ω और A_OL (खुला पाश वोल्टता गेन) = 200,000 है । 10
(ii) संवृत पाश वोल्टता गेन का मान प्राप्त कीजिए । 5
Answer approach & key points
(a) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivations with correct formulas, units, and physical interpretation for all parts.
Critical size: smallest core size with k_eff = 1
k_eff = k∞P_NL and the sub-critical and super-critical cases
Fuel, moderator, control rods, coolant, reflector, shielding with functions
Distinction between critical size and critical mass
Zero resistance below T_c
Flux expulsion B = 0 inside, with penetration depth λ_L
Difference from a perfect conductor
M = −H so χ = −1, perfect diamagnetism
Non-inverting amplifier with β = R_i/(R_i+R_f) = 0.0435