Q1 50M Compulsory derive Classical mechanics and wave optics
(a) A particle of mass m kg having an initial velocity V₀ is subjected to a retarding force proportional to its instantaneous velocity. Obtain the expression for the velocity and position of the particle as a function of time. 10 marks
(b) Show that the kinetic energy of a system of n particles is given by T = ½ MV²_cm + ½ Σⁿᵢ₌₁ mᵢV'²ᵢ where M is the total mass, V_cm is the velocity of the centre of mass, V'ᵢ is the velocity of the particles about the centre of mass and mᵢ is the mass of the ith particle. 10 marks
(c) A charged π-meson with rest mass of 273mₑ at rest decays into a neutrino and a μ-meson of rest mass 207mₑ. Find the kinetic energy of the μ-meson and the energy of the neutrino. (mₑ is the rest mass of the electron) 10 marks
(d) The intensity at the central maximum observed on a screen in a double-slit experiment is 2×10⁻³ W/m². If the path difference between interfering waves reaching a point on the screen is λ/6, where λ is the wavelength of the light used in the experiment, determine the intensity at that point. 10 marks
(e) A telescope has an objective lens of diameter 10 cm. Determine whether this telescope can resolve two stars having an angular separation of 2·4 seconds of arc. (Assume the wavelength of starlight as 550 nm) 10 marks
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(a) आरंभिक वेग V₀ और द्रव्यमान m kg के एक कण पर एक मंदक बल लगाया जाता है, जो उसके तात्क्षणिक वेग के समानुपाती है। समय के फलन के रूप में कण के वेग और उसकी स्थिति के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए। 10 अंक
(b) दर्शाइये कि n कणों के एक निकाय की गतिज ऊर्जा को T = ½ MV²_cm + ½ Σⁿᵢ₌₁ mᵢV'²ᵢ से व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ M कुल द्रव्यमान है, V_cm द्रव्यमान केंद्र का वेग है, V'ᵢ द्रव्यमान केंद्र के परितः कणों का वेग है और mᵢ, ith कण का द्रव्यमान है। 10 अंक
(c) विराम द्रव्यमान 273mₑ का एक आवेशित π-मेसॉन विरामावस्था में एक न्यूट्रिनो में और विराम द्रव्यमान 207mₑ के एक μ-मेसॉन में क्षयित होता है। μ-मेसॉन की गतिज ऊर्जा और न्यूट्रिनो की ऊर्जा ज्ञात कीजिए। (mₑ इलेक्ट्रॉन का विराम द्रव्यमान है) 10 अंक
(d) एक द्वि-स्लिट प्रयोग में स्क्रीन पर प्रेक्षित केंद्रीय उच्चिष्ठ पर तीव्रता 2×10⁻³ W/m² है। यदि स्क्रीन के एक बिंदु पर पहुँची हुई व्यतिकरण करती तरंगों के बीच पथांतर λ/6 है, जहाँ λ प्रयोग में प्रयुक्त प्रकाश का तरंगदैर्घ्य है, तो उस बिंदु पर तीव्रता ज्ञात कीजिए। 10 अंक
(e) एक दूरदर्शी के अभिदृश्यक लेंस का व्यास 10 cm है। निर्धारित कीजिये कि क्या यह दूरदर्शी 2·4 सेकंड चाप (आर्क) के एक कोणीय पृथक्कन वाले दो तारों का विभेदन कर सकता है। (तारों के प्रकाश का तरंगदैर्ध्य 550 nm मान लीजिये) 10 अंक
Answer approach & key points
(a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivations with all steps, correct units, and physical interpretation
- F = −kv; m dv/dt = −kv
- v(t) = V₀ e^(−kt/m)
- x(t) = x₀ + (mV₀/k)(1 − e^(−kt/m))
- Limiting displacement mV₀/k; units/assumptions
- Define R, V_cm and v′ᵢ = vᵢ − V_cm
- Show Σmᵢv′ᵢ = 0
- Expand T and cancel cross term
- Interpret translational and internal KE
- Momentum conservation: equal and opposite momenta; E_ν = pc
- Energy conservation with relativistic E² = p²c² + m²c⁴
- E_ν = (m_π² − m_μ²)c²/2m_π ≈ 58.0 mₑc² ≈ 29.6 MeV
- K_μ = (m_π − m_μ)²c²/2m_π ≈ 7.98 mₑc² ≈ 4.1 MeV; check sum = 66 mₑc²
- I = I₀ cos²(δ/2) (I₀ = central maximum intensity)
- δ = 2πΔ/λ = π/3
- I = (3/4)I₀
- I = 1.5×10⁻³ W/m²
- Rayleigh criterion θ = 1.22λ/D
- θ = 6.71×10⁻⁶ rad
- ≈ 1.38″
- 2.4″ > 1.38″ ⇒ resolvable
Q2 50M derive Gravitation, rigid body dynamics and damped oscillations
(a) (i) Briefly discuss the Kepler's laws of planetary motion. 5 marks
(ii) Show that the escape velocity V_e on the surface of the Earth is given by V_e = √(2gR), where g = 9·8 m/s² and R is the radius of the Earth. 5 marks
(iii) Two satellites A and B of same mass are orbiting the Earth at altitudes R and 5R, respectively, where R is the radius of the Earth. Assuming their orbits to be circular, calculate the ratios of their kinetic and potential energies. 5 marks
(b) Show that the angular momentum of a rigid body consisting of n particles of masses m_i, i = 1, 2, 3, ..., n, rotating with an instantaneous angular velocity ω about an axis passing through the origin O of the coordinate system OXYZ is given by L = I·ω, where I is known as the inertia tensor. 20 marks
(c) A weakly damped harmonic oscillator consisting of spring-mass system has the following parameters: Mass m = 0·25 kg, Spring constant k = 100 N m⁻¹, Damping coefficient γ = 1 N s m⁻¹. A periodic force F = 5cos ωt (newton) is applied to the system. Determine (i) the amplitude of the oscillator at resonance and (ii) the Q-value of the oscillator. 15 marks
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(a) (i) ग्रहीय गति के केप्लर के नियमों की संक्षेप में चर्चा कीजिये। 5 अंक
(ii) दर्शाइये कि पृथ्वी की सतह पर पलायन वेग V_e = √(2gR) है, जहाँ g = 9·8 m/s² और R पृथ्वी की त्रिज्या है। 5 अंक
(iii) समान द्रव्यमान के दो उपग्रह A और B पृथ्वी के चारों ओर क्रमशः ऊँचताओं R और 5R पर परिक्रमण कर रहे हैं, जहाँ R पृथ्वी की त्रिज्या है। उनकी कक्षाओं को वृत्तीय मानकर उनकी गतिज ऊर्जाओं और स्थितिज ऊर्जाओं के अनुपातों की गणना कीजिये। 5 अंक
(b) दर्शाइये कि निर्देशांक तंत्र OXYZ के मूलबिंदु O से होकर गुजरते अक्ष के परितः एक तात्क्षणिक कोणीय वेग ω से घूर्णन करते एवं द्रव्यमानों m_i, i = 1, 2, 3, ..., n वाले n कणों से बने एक दृढ़ पिंड का कोणीय संवेग L = I·ω होता है, जहाँ I जड़त्व प्रदिश है। 20 अंक
(c) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के एक अल्प अवमंदित आवर्ती दोलक के निम्नलिखित प्राचल मान हैं: द्रव्यमान m = 0·25 kg, स्प्रिंग स्थिरांक k = 100 N m⁻¹, अवमंदन गुणांक γ = 1 N s m⁻¹। इस निकाय पर एक आवर्ती बल F = 5cos ωt (न्यूटन) प्रयुक्त किया जाता है। (i) अनुनाद पर दोलक का आयाम और (ii) दोलक का Q-मान ज्ञात कीजिये। 15 अंक
Answer approach & key points
(a(i)) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close | (a(ii)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (a(iii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivations with all steps, correct units, physical interpretation, and accurate calculations.
- Law of orbits (ellipse, Sun at a focus)
- Law of areas; link to conservation of angular momentum
- Law of periods T² ∝ a³ (T² = 4π²a³/GM)
- Basis in inverse-square law
- Energy conservation: ½mV_e² − GMm/R = 0
- V_e = √(2GM/R)
- g = GM/R² ⇒ V_e = √(2gR)
- Numerical ≈ 11.2 km/s
- Orbital radii 2R and 6R (altitude + R)
- K = GMm/2r, U = −GMm/r
- K_A/K_B = 3
- U_A/U_B = 3
- L = Σmᵢrᵢ × vᵢ with vᵢ = ω × rᵢ
- Vector identity expansion: Σmᵢ[rᵢ²ω − rᵢ(rᵢ·ω)]
- Component form and definition of inertia tensor elements (moments and products)
- L = I·ω (matrix form); symmetry; principal axes where L ∥ ω
- Equation of motion and steady-state amplitude A(ω)
- ω₀ = 20 rad/s
- A at resonance ≈ F₀/(γω₀) = 0.25 m (exact max 5/√396 ≈ 0.251 m at ω = √392)
- Q = mω₀/γ = 5
Q3 50M explain Optics, elasticity and fluid mechanics
(a) (i) Explain the phenomenon of double refraction. What are positive and negative crystals? Give their examples. (5 marks)
(ii) What do you understand by optical activity? A linearly polarized light is propagating along the optic axis of a quartz crystal of thickness 0·2 cm. If the difference in the refractive indices corresponding to right circularly polarized and left circularly polarized beams is 7×10⁻⁵ and the wavelength of the light is 0·5 μm, calculate the angle of polarization. (10 marks)
(b) (i) What do you understand by attenuation in optical fibers? What are the factors responsible for the attenuation? (5 marks)
(ii) Consider a 10 mW laser beam passing through a 50 km fiber link of attenuation 0·5 dB/km. Calculate the power of the laser at the end of the link. (10 marks)
(c) (i) State and explain the Hooke's law of elasticity. Briefly discuss the features of stress-strain diagram for the behaviour of a wire undergoing increasing stress. (10 marks)
(ii) Explain the Poiseuille's equation for the rate of flow of a liquid through a capillary tube. From this, show that if two capillary tubes of radii r₁ and r₂ having lengths l₁ and l₂, respectively, are connected in series, the rate of flow of the liquid is given by
Q = (πP/8η)(l₁/r₁⁴ + l₂/r₂⁴)⁻¹
where P is the pressure across the arrangement and η is the coefficient of viscosity of the liquid. (10 marks)
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(a) (i) द्वि-अपवर्तन परिघटना की व्याख्या कीजिए। धनात्मक और ऋणात्मक क्रिस्टल क्या होते हैं? उनके उदाहरण दीजिए। (5 अंक)
(ii) ध्रुवण चुंबकता से आप क्या समझते हैं? एक रैखिक रूप से ध्रुवित प्रकाश 0·2 cm मोटाई के एक क्वार्ट्ज क्रिस्टल के प्रकाशिक (ऑप्टिक) अक्ष के अनुदिश संचरित है। यदि दक्षिण (राइट) वृत्त ध्रुवित और बाम (लेफ्ट) वृत्त ध्रुवित प्रकाश-पुंजों के लिए अपवर्तनांकों में अंतर 7×10⁻⁵ है और प्रकाश का तरंगदैर्ध्य 0·5 μm है, तो ध्रुवण के कोण की गणना कीजिए। (10 अंक)
(b) (i) ऑप्टिकल फाइबर में क्षीणन से आप क्या समझते हैं? क्षीणन के लिए कौन-कौन से कारक उत्तरदायी हैं? (5 अंक)
(ii) क्षीणन 0·5 dB/km की 50 km लंबी एक फाइबर लिंक से होकर गुजरती 10 mW की एक लेजर पुंज को लीजिए। लिंक के अंत में लेजर की शक्ति (पावर) की गणना कीजिए। (10 अंक)
(c) (i) हुक के प्रत्यास्थता नियम का उल्लेख कीजिए और उसकी व्याख्या कीजिए। एक तार पर बढ़ते प्रतिबल से उसकी अनुक्रिया के लिए प्रतिबल-विकृति रेखाचित्र की विशेषताओं की संक्षेप में चर्चा कीजिए। (10 अंक)
(ii) एक केशिका नली से होकर गुजरते द्रव के प्रवाह की दर के लिए प्वाज़्यु समीकरण की व्याख्या कीजिए। इससे दर्शाइये कि श्रेणी में संबद्ध क्रमशः त्रिज्याओं r₁ और r₂ तथा लंबाई l₁ और l₂ की दो केशिका नलियों में द्रव के प्रवाह की दर
Q = (πP/8η)(l₁/r₁⁴ + l₂/r₂⁴)⁻¹
है, जहाँ P विस्तार के आर-पार दाब है और η द्रव का श्यानता गुणांक है। (10 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a(i)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (a(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(i)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c(i)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c(ii)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous derivations, correct units, clear diagrams, and physical interpretation.
- Splitting into O-ray and E-ray in anisotropic (uniaxial) crystals; both plane-polarised perpendicular to each other
- O-ray obeys Snell's law (n_o constant); E-ray does not (n_e varies); no double refraction along optic axis
- Positive: n_e > n_o (quartz); negative: n_e < n_o (calcite)
- Wavefront (Huygens) picture: sphere and ellipsoid
- Definition: rotation of plane of polarisation (dextro/laevo)
- Fresnel's explanation: linear light = sum of L and R circular components with different speeds
- θ = πd(n_L − n_R)/λ
- θ = 0.28π ≈ 0.88 rad ≈ 50.4°
- Definition, α (dB/km) = (10/L) log(P_in/P_out)
- Absorption: intrinsic (UV, IR) and extrinsic (OH⁻, metal ions)
- Scattering: Rayleigh ∝ λ⁻⁴, Mie
- Bending (macro/micro) losses; connector/splice losses
- Total loss 25 dB
- P_out = P_in × 10^(−2.5)
- P_out ≈ 0.0316 mW = 31.6 μW
- Correct units
- Hooke's law: within elastic limit stress ∝ strain; σ = Eε
- Proportional and elastic limits
- Yield point, plastic region, strain hardening, ultimate stress
- Breaking point; labelled diagram
- Assumptions: steady laminar flow, incompressible, no slip
- Velocity profile v(r) = P(a² − r²)/(4ηl) from force balance
- Q = πPa⁴/(8ηl) by integrating over cross-section
- Series: same Q, P = P₁ + P₂ ⇒ Q = (πP/8η)(l₁/r₁⁴ + l₂/r₂⁴)⁻¹; resistance analogy
Q4 50M derive Geometrical optics, zone plate and special relativity
(a) (i) Write down the system matrix for a combination of two thin lenses in paraxial approximation. Hence obtain the focal length of the combination and the positions of unit planes. (10 marks)
(ii) Consider a thin lens combination of two convex lenses of focal lengths f₁ = + 10 cm and f₂ = + 20 cm, respectively, separated by 25 cm. Determine the focal length of the combination and the positions of unit planes. (10 marks)
(b) The diameter of central zone of a zone plate is 2·4 mm. If a point source of light of wavelength 600 nm is placed at a distance of 5·0 m from the zone plate, calculate the position of the first image. (10 marks)
(c) (i) Consider three inertial frames of reference O, O' and O''. Let O' move with a velocity V with respect to O and O'' move with a velocity V' with respect to O'. Both velocities are in the same direction. Write down the transformation equations relating x, y, z, t with x', y', z', t' and also those relating x', y', z', t' with x'', y'', z'', t''. Hence obtain the relations between x, y, z, t and x'', y'', z'', t''. (The direction of velocity is chosen along the x-axis as per convention) (15 marks)
(ii) A galaxy in the constellation Ursa Major is receding from the Earth at 15000 km/s. If one of the characteristic wavelengths of light emitted by the galaxy is 550 nm, what is the corresponding wavelength measured by astronomers on the Earth? (5 marks)
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(a) (i) उपाक्षीय सन्निकटन में दो पतले लेंसों के संयोजन के लिए निकाय आव्यूह (सिस्टम मैट्रिक्स) लिखिए। फिर संयोजन की फोकस दूरी और एकांक समतलों की स्थिति प्राप्त कीजिए। (10 अंक)
(ii) 25 cm दूरी से पृथक और क्रमशः फोकस दूरियाँ f₁ = + 10 cm और f₂ = + 20 cm के दो पतले उत्तल लेंसों के संयोजन को लीजिए। संयोजन की फोकस दूरी और एकांक समतलों की स्थितियाँ निर्धारित कीजिए। (10 अंक)
(b) एक जोन प्लेट के केंद्रीय जोन का व्यास 2·4 mm है। यदि 600 nm तरंगदैर्घ्य के प्रकाश के एक बिंदु स्रोत को जोन प्लेट से 5·0 m की दूरी पर रखा जाता है, तो प्रथम प्रतिबिंब की स्थिति की गणना कीजिए। (10 अंक)
(c) (i) तीन जड़त्वीय निर्देश फ्रेमों O, O' और O" को लीजिए। O के सापेक्ष O' वेग V से और O' के सापेक्ष O" वेग V' से गतिमान है। दोनों वेग एक ही दिशा में हैं। x', y', z', t' के साथ x, y, z, t और x", y", z", t" के साथ x', y', z', t' से संबंधित रूपांतरण समीकरणों को लिखिए। फिर उसके बाद x, y, z, t और x", y", z", t" के बीच संबंधों को प्राप्त कीजिए। (प्रथानुसार वेग की दिशा x-अक्ष के अनुदिश ली जाती है) (15 अंक)
(ii) तारामंडल उर्सा मेजर में एक आकाश-गंगा (गैलेक्सी) 15000 km/s की गति से पृथ्वी से दूर जा रही है। यदि गैलेक्सी द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की अभिलक्षणिक तरंगदैर्ध्यों में से एक 550 nm है, तो पृथ्वी पर खगोलज्ञों द्वारा मापा गया संगत तरंगदैर्ध्य क्या है? (5 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a(i)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (a(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c(i)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivations with clear steps, correct units, and physical interpretation.
- Translation and thin-lens matrices with sign convention
- M = L(f₂)T(d)L(f₁) multiplied correctly
- C = −1/f ⇒ 1/f = 1/f₁ + 1/f₂ − d/(f₁f₂)
- Unit planes: h₁ = fd/f₂ from L₁, h₂ = −fd/f₁ from L₂
- 1/f = 0.025 cm⁻¹ ⇒ f = +40 cm
- H: 50 cm right of L₁ (25 cm right of L₂)
- H′: 100 cm left of L₂ (75 cm left of L₁)
- Interpretation (crossed principal planes; back focal point 60 cm left of L₂)
- r₁ = 1.2 mm; f = r₁²/λ
- f = 2.4 m
- 1/u + 1/v = 1/f (lens-like behaviour)
- v = 60/13 ≈ 4.62 m, real, on opposite side
- O→O′ transformation with γ
- O′→O″ transformation with γ′
- Substitution to get x″, t″ in terms of x, t
- Identify u = (V+V′)/(1+VV′/c²), Γ = γγ′(1+VV′/c²): group property and velocity addition
- β = 0.05
- Relativistic Doppler λ_obs = λ√((1+β)/(1−β))
- λ_obs ≈ 578.2 nm
- Redshift interpretation