All 8 questions from UPSC Civil Services Mains Physics
2024 Paper II (340 marks total). Every stem reproduced in full,
with directive-word analysis, marks, word limits, and answer-approach pointers.
8Questions
340Total marks
2024Year
Paper IIPaper
Topics covered
Quantum mechanics wave functions and operators (1)Quantum mechanics angular momentum and harmonic oscillator (1)Raman effect, Lamb shift and EPR (1)Free electron theory, molecular rotation and angular momentum coupling (1)Nuclear physics, solid state physics and superconductivity (1)Nuclear magnetic moments, semi-empirical mass formula and conservation laws (1)Black soil distribution and rivers economic development (1)Population distribution and globalization impact (1)
A
Q1
50MCompulsorysolveQuantum mechanics wave functions and operators
Q1. (a) A particle limited to the x-axis has the wave function φ(x) = bx² between x = 0 and x = 2; the wave function φ(x) = 0 elsewhere.
(i) Find the probability that the particle can be found between x = 1·0 and x = 1·5.
(ii) Find the expectation value < x > of the particle position.
10 marks
(b) Show that the square of the orbital angular momentum operator (L²) commutes with any of the components of angular momentum operator L.
Is it possible to measure L², Lₓ, Lᵧ and Lᵤ simultaneously ? Give reasons for your answer.
6+4=10 marks
(c) How is Rydberg constant related to emission wavelength of hydrogen spectrum ?
10 marks
(d) Explain how the hydrogen spectrum is used for imaging the universe.
10 marks
(e) Find the energy of the particle of mass m moving in a potential field V(x) = 2ℏ²b²x²/m for which the time independent wave function is ψ(x) = exp(– bx²). Here b is a constant.
10 marks
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Q1. (a) एक कण का तरंग फलन φ(x), x-अक्ष में x = 0 और x = 2 के बीच में bx² है एवं अन्य किसी स्थान पर φ(x) = 0 है।
(i) x = 1·0 और x = 1·5 के बीच में कण के पाए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) कण की स्थिति का प्रत्याशा मान < x > ज्ञात कीजिए।
10 अंक
(b) दिखाइए कि कक्षक कोणीय संवेग संकारक का वर्ग (L²), कोणीय संवेग संकारक L के किसी भी घटक से दिक्परिवर्तक है।
कारण सहित बताइए कि क्या L², Lₓ, Lᵧ और Lᵤ को युगपत स्थिति में मापा जा सकता है।
6+4=10 अंक
(c) रिडबर्ग स्थिरांक हाइड्रोजन के स्पेक्ट्रम के उत्सर्जन तरंगदैर्ध्य से किस प्रकार संबंधित है ?
10 अंक
(d) व्याख्या कीजिए कि हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम किस प्रकार ब्रह्मांड को प्रतिबिंबित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
10 अंक
(e) उस कण की ऊर्जा ज्ञात कीजिए जिसका द्रव्यमान m है और जो विभव क्षेत्र V(x) = 2ℏ²b²x²/m में गतिमान है और जिसका समय मुक्त तरंग फलन ψ(x) = exp(– bx²) है। यहाँ b एक स्थिरांक है।
10 अंक
Answer approach & key points
Framework: Quantum Mechanics: Wave Mechanics, Angular Momentum Algebra, Spectroscopy, and Schrödinger Equation. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (d) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivations, correct algebra, clear physical interpretation, and precise terminology.
50MproveQuantum mechanics angular momentum and harmonic oscillator
Q2. (a) Prove that :
(i) [L², Lz] = 0
(ii) [Lz, L+] = ℏL+
(iii) [L+, L-] = 2ℏLz
(iv) L+ L- = L² - Lz² + ℏLz
where ℏ = h/2π (ℏ is Planck's constant)
5+5+5+5=20 marks
(b) The ground state wave function of a harmonic oscillator is
ψ₀(x) = (mω/ℏπ)^(1/4) exp(-mωx²/2ℏ).
(i) At which point is the probability density maximum ?
(ii) What is the value of the maximum probability density ?
15 marks
(c) (i) Assuming the potential seen by a neutron in a nucleus to be schematically represented by a one-dimensional, infinite rigid wall potential of length 10⁻¹⁵ m, estimate the minimum kinetic energy of the electron.
(ii) Estimate the minimum kinetic energy of neutron bound within the nucleus as described above. Can an electron be confined in a nucleus ? Explain.
15 marks
हिंदी में पढ़ें
Q2. (a) सिद्ध कीजिए कि :
(i) [L², Lz] = 0
(ii) [Lz, L+] = ℏL+
(iii) [L+, L-] = 2ℏLz
(iv) L+ L- = L² - Lz² + ℏLz
जहाँ ℏ = h/2π (h प्लांक स्थिरांक है)
5+5+5+5=20 अंक
(b) आध (निम्नतम) अवस्था में एक सरल आवर्ती (सनादि) दोलक का तरंग फलन
ψ₀(x) = (mω/ℏπ)^(1/4) exp(-mωx²/2ℏ) है।
(i) इसके किस बिंदु पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम है ?
(ii) अधिकतम प्रायिकता घनत्व का मान क्या है ?
15 अंक
(c) (i) यह मानते हुए कि नाभिक में न्यूट्रॉन द्वारा अनुभव किए गए विभव को 10⁻¹⁵ मी. लंबाई के एक-आयामी, अनंत दृढ़ दीवार विभव द्वारा योजनाबद्ध रूप से दर्शाया गया है, इलेक्ट्रॉन की न्यूनतम गतिज ऊर्जा का आकलन कीजिए ।
(ii) उपर्युक्त नाभिक में सीमित न्यूट्रॉन की न्यूनतम गतिज ऊर्जा का आकलन कीजिए । व्याख्या कीजिए कि क्या एक इलेक्ट्रॉन को नाभिक के अंदर सीमित किया जा सकता है ।
15 अंक
Answer approach & key points
Framework: Quantum Mechanics: Angular Momentum Algebra & Particle in a Box. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Rigorous derivation in (a), precise calculus in (b), and physically sound estimation in (c).
(a) How do Stokes lines appear in Raman spectrum as per classical and quantum theory of Raman effect ? 20 marks
(b) What is Lamb shift in the fine structure of hydrogen spectrum ? Discuss its theory based upon second quantization. 8+7=15 marks
(c) Describe Electron Paramagnetic Resonance. Highlight its differences with NMR and discuss its applications. 5+10=15 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) रमन प्रभाव के चिरप्रतिष्ठित और क्वांटम सिद्धांत के अनुसार रमन स्पेक्ट्रम में स्टोक्स रेखाएं किस प्रकार प्रतीत होती हैं ? 20 अंक
(b) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की सूक्ष्म संरचना में लैम्ब सृति क्या है ? द्वितीय क्वांटमीकरण के आधार पर इसके सिद्धांत की चर्चा कीजिए । 8+7=15 अंक
(c) इलेक्ट्रॉन अनुचुंबकीय अनुनाद का वर्णन कीजिए । इसके NMR से अंतरों को उजागर कीजिए और इसके अनुप्रयोगों की चर्चा कीजिए । 5+10=15 अंक
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close | (c) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance Full marks: Rigorous derivation, clear diagrams, and physical insight.
Classical theory: induced dipole moment and beat frequency
Quantum theory: energy level diagram with virtual state
Derivation of frequency shift for Stokes line
Physical interpretation of energy loss to molecule
50McalculateFree electron theory, molecular rotation and angular momentum coupling
(a) (i) Using free electron theory of metals, calculate the Fermi energy level of sodium atom at absolute zero. Assume that sodium has one free electron per atom and its density is 0·97 gm/cm³.
(ii) Draw the energy level diagram and mathematical expressions for the following :
I. Eₙ of an electron confined in a one-dimensional box
II. Linear harmonic oscillator
Make a qualitative comparison of the above two cases. 10+10=20 marks
(b) Show that for a diatomic molecule with two nuclei of mass 'M' separated by a distance 'a', the rotational energy of nuclear motion is lower than electronic energy by a factor of (mₑ)/M. 15 marks
(c) Differentiate between L-S coupling and J-J coupling.
What are the possible orientations of J⃗ for the J = 3/2 and J = 1/2 states that correspond to l = 1? 5+10=15 marks
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(a) (i) धातुओं के मुक्त इलेक्ट्रॉन सिद्धांत का प्रयोग करते हुए, परम शून्य पर सोडियम परमाणु के फर्मी ऊर्जा स्तर की गणना कीजिए । मान लीजिए कि सोडियम में एक मुक्त इलेक्ट्रॉन प्रति परमाणु है और इसका घनत्व 0·97 gm/cm³ है ।
(ii) निम्नलिखित के लिए ऊर्जा स्तर आरेख बनाइए और गणितीय व्यंजक लिखिए :
I. एक-विमीय बॉक्स में सीमित इलेक्ट्रॉन का Eₙ
II. रैखिक आवर्ती दोलक
उपर्युक्त दोनों की गुणात्मक तुलना भी कीजिए । 10+10=20 अंक
(b) एक द्विपरमाणुक अणु के लिए, जिसमें दोनों नाभिकों का द्रव्यमान 'M' हो और उनकी परस्पर दूरी 'a' हो, दर्शाइए कि नाभिकीय गति की घूर्णन ऊर्जा, इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा से (mₑ)/M गुणा कम है । 15 अंक
(c) L-S युग्म और J-J युग्म के बीच अंतर स्पष्ट कीजिए ।
l = 1 के संगत, J = 3/2 और J = 1/2 स्थितियों के लिए J⃗ के संभावित अभिविन्यास क्या हैं? 5+10=15 अंक
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (a(ii)) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance | (b) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (c) compare: paired headings or table > key differences > significance > conclusion Full marks: Rigorous derivation with correct units, clear diagrams, and physical interpretation.
Calculate electron density from mass density and atomic mass
State Fermi energy formula E_F = (h²/8m)(3N/πV)^(2/3)
Substitute values with correct unit conversion (g/cm³ to kg/m³)
Final result in Joules or eV
Expression E_n = n²h²/8mL² for 1D box
Expression E_n = (n+1/2)ħω for harmonic oscillator
Diagram showing discrete levels for 1D box
Diagram showing equally spaced levels for oscillator
50MCompulsorysolveNuclear physics, solid state physics and superconductivity
(a) Compare nuclear density of hydrogen (₁H¹) with its atomic density. (Assume the atom to have the radius of its first Bohr orbit). What inference can one get from the above comparison ? 8+2=10
(b) The spacing between successive (100) planes in sodium chloride is 1·41 Å. X-rays incident on the surface of the crystal are found to give rise to second order Bragg reflections at a glancing angle 10°. Calculate the wavelength of X-ray radiations. 10
(c) For the ground state of deuteron, prove that the radius of nucleon is of the order of ~ 2·15 × 10⁻¹³ cm. 10
(d) What is meant by strength of the interactions of elementary particles ? Classify the different forces on the basis of this strength of interaction. 10
(e) How does supercritical magnetic field depend on temperature ? For a superconducting specimen, the critical magnetic fields are respectively 1·45 × 10⁵ A/m and 4·2 × 10⁵ A/m for 14 K and 13 K. Determine the superconducting transition temperature and the critical field at 0 K. 10
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(a) हाइड्रोजन (₁H¹) के नाभिकीय घनत्व की तुलना इसके आणविक घनत्व से कीजिए । (मान लीजिए कि परमाणु की त्रिज्या इसके प्रथम बोर कक्ष की त्रिज्या के बराबर है) । उपर्युक्त तुलना से कोई क्या निष्कर्ष निकाल सकता है ? 8+2=10
(b) सोडियम क्लोराइड में क्रमिक (100) सतहों के बीच अंतराल 1·41 Å है । X-किरणें जब क्रिस्टल की सतह पर 10° के पृष्ठस्पी कोण पर पड़ती हैं, तो द्वितीय क्रम के ब्रैग परावर्तन प्राप्त होते हैं । X-किरण के विसरण के तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए । 10
(c) सिद्ध कीजिए कि ड्यूटेरॉन की आध (निम्नतम) अवस्था के लिए न्यूक्लॉन की त्रिज्या लगभग 2·15 × 10⁻¹³ सेमी के बराबर होती है । 10
(d) मूल कणों की पारस्परिक क्रिया के सामर्थ्य (ताकत) से क्या अभिप्राय है ? इस पारस्परिक क्रिया के सामर्थ्य के आधार पर विभिन्न बलों का वर्गीकरण कीजिए । 10
(e) अतिक्रांतिक चुंबकीय क्षेत्र किस प्रकार तापमान पर निर्भर करता है ? एक अतिचालक नमूने के लिए, 14 K और 13 K पर क्रांतिक चुंबकीय क्षेत्र क्रमशः: 1·45 × 10⁵ A/m और 4·2 × 10⁵ A/m हैं । अतिचालक संक्रमण तापमान और 0 K पर क्रांतिक क्षेत्र की गणना कीजिए । 10
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup > Derivation > Result. (a) compare: paired headings or table > key differences > significance > conclusion | (b) calculate: principle statement > setup and diagram > derivation > result | (c) derive: principle statement > setup and diagram > derivation > result | (d) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (e) calculate: principle statement > setup and diagram > derivation > result Full marks: Rigorous derivations, correct units, clear physical interpretation.
50MexplainNuclear magnetic moments, semi-empirical mass formula and conservation laws
(a) Does the nucleus possess magnetic moment ? Justify your answer. Define nuclear magneton (μN) and Bohr magneton (μB). Calculate their values. 7+8=15
(b) (i) Write semi-empirical mass formula. Calculate the atomic number (Z) of most stable nucleus for given mass number (A) using the above formula. (Use the value of fitted coefficients for Coulomb energy a3 = 0·711 MeV and that for asymmetry energy a4 = 23·702 MeV).
(ii) Calculate the Q-value of the following nuclear reaction :
4Be9 + 2He4 = 6C12 + 0n1
Given : the mass of neutral atoms of Be, He and C are 9·015060, 4·003874 and 12·003815 amu, respectively. The mass of neutron is 1·008986 amu. 15+5=20
(c) What are the various conservation laws for elementary particles ? Apply these conservation laws to confirm whether the following reactions are possible or not :
(i) π+ + n0 → K0 + K+
(ii) ν̄e + p+ → n0 + e− 15
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(a) क्या नाभिक का चुंबकीय आघूर्ण होता है ? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए । नाभिकीय मैग्नेटॉन (μN) और बोर मैग्नेटॉन (μB) को परिभाषित कीजिए । इनके मानों की गणना कीजिए । 7+8=15
(b) (i) अर्ध-अनुभविक द्रव्यमान सूत्र लिखिए । उपर्युक्त सूत्र का उपयोग करके दी गई द्रव्यमान संख्या (A) के लिए सबसे स्थिर नाभिक के परमाणु क्रमांक (Z) की गणना कीजिए । (आसंजित गुणांकों के मान कूलॉम ऊर्जा के लिए a3 = 0·711 MeV और असममिति ऊर्जा के लिए a4 = 23·702 MeV का उपयोग कीजिए)
(ii) निम्नलिखित नाभिकीय अभिक्रिया के Q-मान की गणना कीजिए :
4Be9 + 2He4 = 6C12 + 0n1
दिया गया है : Be का अनाविष्ट परमाणु द्रव्यमान = 9·015060 amu, He का अनाविष्ट परमाणु द्रव्यमान = 4·003874 amu और C का अनाविष्ट परमाणु द्रव्यमान = 12·003815 amu. न्यूट्रॉन का द्रव्यमान = 1·008986 amu है । 15+5=20
(c) मूल कणों के लिए विभिन्न संरक्षण नियम क्या हैं ? उन संरक्षण नियमों को लागू कर सत्यापित कीजिए कि क्या निम्नलिखित अभिक्रियाएँ संभव हैं या नहीं :
(i) π+ + n0 → K0 + K+
(ii) ν̄e + p+ → n0 + e− 15
Answer approach & key points
Framework: Nuclear Physics: Magnetic Moments, SEMF, and Conservation Laws. (a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Rigorous derivations, correct numerical values, and clear application of conservation laws.
20MdiscussBlack soil distribution and rivers economic development
(a) Discuss the distribution and characteristics of the black soil in India. 10
(b) Examine the role of rivers in the economic development of India. 10
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a(i)) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close | (a(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(i)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All parts with full derivation, correct units, and physical interpretation.
20ManalysePopulation distribution and globalization impact
(a) Discuss the factors responsible for the uneven distribution of population in India. 10
(b) Analyse the impact of globalization on the Indian economy. 10
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance | (b(i)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b(ii)) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance | (c) compare: paired headings or table > key differences > significance > conclusion Full marks: Complete, accurate, with diagrams and clear comparisons