Q1 50M Compulsory solve Statistical Quality Control and Operations Research
(a) State the significance of operating characteristic (OC) curves in control chart analysis. Obtain the general expression for the OC function corresponding to the mean (X̄) chart under the assumption of normal distribution for a quality characteristic. Using the expression, find the probability that a shift will be detected from μ₀ to μ₁ = μ₀ + 2σ, when an X̄ chart is used with 3σ limits, where the subgroup size is n = 6. (Standard normal table is provided.) 10 marks
(b) What is meant by rectifying inspection? Explain the measures associated with rectifying inspection and derive the expressions of such measures in the case of a single sampling plan by attributes. 10 marks
(c) The lifetime of a semiconductor laser has a log-normal distribution with parameters μ = 10 hours and σ = 1·5 hours.
(i) Find the probability that the lifetime exceeds 10000 hours.
(ii) What lifetime is exceeded by 99% of lasers?
(Standard normal table is provided.) 5+5=10 marks
(d) A stockist has to supply 400 units of a product every Monday to his customers. He gets the product at ₹ 50 per unit from the manufacturer. The cost of ordering and transportation from the manufacturer is ₹ 75 per order. The cost of carrying inventory is 7·5% per year of the cost of the product. Find (i) the economic lot size, (ii) the total optimal cost (including the capital cost) and (iii) the total weekly profit, if the item is sold for ₹ 55 per unit. 10 marks
(e) On the average, 96 patients per 24-hour day require the service of an emergency clinic. Also, on the average, a patient requires 10 minutes of active attention. Assume that the facility can handle only one emergency at a time. Suppose that it costs the clinic ₹ 1,000 per patient treated to obtain an average serving time of 10 minutes, and that each minute of decrease in this average time would cost the clinic ₹ 100 per patient treated. How much would have to be budgeted by the clinic to decrease the average size of the queue from 1 1/3 patients to 1/2 patient? 10 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) नियंत्रण सांचित्र (चार्ट) विश्लेषण में संकारक अभिलक्षण (ओ. सी.) वक्रों के महत्व को बताइए। एक गुणवत्ता विशेषता के लिए प्रसामान्य बंटन की मान्यता के अंतर्गत, माध्य (X̄) चार्ट के तहत, ओ. सी. फलन का सामान्य व्यंजक प्राप्त कीजिए। व्यंजक का उपयोग करके एक शिफ्ट μ₀ से μ₁ = μ₀ + 2σ में खोजे जाने की प्रायिकता निकालिए, जबकि एक X̄ चार्ट का उपयोग 3σ सीमाओं के साथ किया जाता है, जहाँ उपसमूह का आमाप n = 6 है। (मानक प्रसामान्य तालिका प्रदान की गई है।) 10 अंक
(b) सुधारात्मक निरीक्षण का क्या मतलब है? सुधारात्मक निरीक्षण से संबंधित मापों की व्याख्या कीजिए तथा गुणों के लिए एकल प्रतिदर्शन आयोजना के तहत ऐसे मापों के व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए। 10 अंक
(c) एक अर्धचालक लेजर के जीवन-काल का बंटन लघुगणकीय प्रसामान्य है, जिसके प्राचल μ = 10 घंटे तथा σ = 1·5 घंटे हैं।
(i) जीवन-काल 10000 घंटे से अधिक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) 99% लेजरों का जीवन-काल किस जीवन-काल से अधिक है?
(मानक प्रसामान्य तालिका प्रदान की गई है।) 5+5=10 अंक
(d) एक शेष व्यापारी को एक उत्पाद की 400 इकाइयाँ प्रत्येक सोमवार को अपने ग्राहकों को भेजनी होती हैं। वह उत्पादक से उत्पाद ₹ 50 प्रति इकाई के हिसाब से प्राप्त करता है। उत्पादक से आदेश तथा परिवहन की कीमत ₹ 75 प्रति ऑर्डर है। मालसूची (इन्वेंट्री) ले जाने की कीमत, उत्पाद की कीमत का 7·5% प्रति वर्ष है। ज्ञात कीजिए (i) मितव्ययी प्रचय परिमाण, (ii) कुल इष्टतम लागत (पूँजीगत लागत सम्मिलित) और (iii) कुल साप्ताहिक लाभ, यदि मद ₹ 55 प्रति इकाई के हिसाब से बेची जाती है। 10 अंक
(e) औसतन 96 मरीजों को 24 घंटे प्रतिदिन आपातकालीन चिकित्सालय की सेवा की आवश्यकता है। औसतन एक मरीज को 10 मिनट के सक्रिय ध्यान की भी आवश्यकता है। मान लीजिए कि इस तरह की सुविधा एक समय में केवल एक आपातकालीन स्थिति को संभाल सकती है। मान लीजिए कि 10 मिनट का औसत सेवा समय प्राप्त करने के लिए इलाज किए गए प्रति रोगी पर चिकित्सालय ₹ 1,000 खर्च करता है, और इस औसत समय में कमी के प्रत्येक मिनट के लिए चिकित्सालय में इलाज किए गए प्रति रोगी पर ₹ 100 खर्च आता है। पंक्ति के औसत आमाप को 1 1/3 रोगियों से 1/2 रोगी तक कम करने के लिए चिकित्सालय द्वारा कितना बजट किया जाना चाहिए? 10 अंक
Answer approach & key points
Solve each sub-part systematically with clear problem identification and step-by-step working. For (a), derive the OC function and compute detection probability; for (b), define rectifying inspection and derive AOQ, AOQL, ATI expressions; for (c), apply log-normal transformation and use standard normal tables; for (d), apply EOQ model with all cost components; for (e), use M/M/1 queuing formulas to find service rate changes and budget implications. Allocate approximately 20% time each to parts (a), (b), (c), (d), and (e) respectively, with extra care on derivations in (a) and (b) where method rigor matters most.
- (a) Significance of OC curves in assessing Type I/II errors and chart sensitivity; correct derivation of OC function P(|X̄-μ₀|<3σ/√n | μ=μ₁) using normal distribution; calculation of β = P(Z < 1) - P(Z < -5) ≈ 0.1587 for n=6, μ₁-μ₀=2σ
- (b) Definition of rectifying inspection as 100% inspection of rejected lots; derivation of AOQ = p·Pa·(N-n)/N, AOQL, and ATI = n·Pa + N(1-Pa) for single sampling plan; explanation of process average quality improvement
- (c)(i) Log-normal transformation: ln(10000)=9.2103, Z=(9.2103-10)/1.5=-0.526, P(T>10000)=1-Φ(-0.526)=0.7009
- (c)(ii) Find t where P(T>t)=0.99: Φ⁻¹(0.01)=-2.326, ln(t)=10-3.489=6.511, t=671.5 hours
- (d) EOQ calculation: D=400×52=20800, S=75, H=3.75, EOQ=√(2×20800×75/3.75)=912 units; total cost=₹2,08,000+₹17,100+₹17,100=₹2,42,200; weekly profit=400×5-₹4,658=₹1,342
- (e) M/M/1 queue: λ=4/hr, current μ=6/hr (Lq=4²/(6×2)=1.33), target μ=8/hr (Lq=16/32=0.5); budget increase from ₹1,000 to ₹1,200 per patient, total budget ₹1,20,000 for 100 patients/day
Q2 50M derive Statistical Quality Control and Reliability Theory
(a) (i) What are control charts by variables and control charts by attributes? 5 marks
(ii) Derive the control limits for the construction of control charts for the mean and variability based on sample standard deviation. 15 marks
(b) (i) State the assumptions involved under sampling inspection plans by variables and describe the operating procedure of a single sampling plan by variables under the assumption of normal distribution for a quality characteristic. 5 marks
(ii) Establish the relationship between the fraction defective and the acceptance probability under a single sampling plan by variables when the quality characteristic follows a normal distribution with mean μ and variance σ², where σ² is unknown, and when an upper specification limit is specified. Using the relationship, obtain the formula for finding the parameters of the sampling plan. 10 marks
(c) (i) Given a system consisting of n components, define the state vector and the structure function of the system. What do they indicate? 5 marks
(ii) Defining (1) a series system, (2) a parallel system and (3) a k-out-of-n system, obtain the associated expressions for the structure functions and the reliability functions. 10 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) (i) चरों के लिए नियंत्रण संचित्र (चार्ट) तथा गुणों के लिए नियंत्रण संचित्र (चार्ट) क्या हैं? 5 अंक
(ii) प्रतिदर्श मानक विचलन के आधार पर माध्य और परिवर्तनशीलता के लिए नियंत्रण संचित्रों के निर्माण के लिए नियंत्रण सीमाओं को व्युत्पन्न कीजिए। 15 अंक
(b) (i) चरों द्वारा प्रतिदर्शी निरीक्षण आयोजनाओं के अंतर्गत मान्यताओं को बताइए तथा गुणता अभिलक्षण के लिए प्रसामान्य बंटन की कल्पना के अंतर्गत, चरों द्वारा एकल प्रतिचयन आयोजना की संचालन प्रक्रिया का वर्णन कीजिए। 5 अंक
(ii) चरों द्वारा एकल प्रतिचयन आयोजना के अंतर्गत दुषितानुपात और स्वीकरण प्रायिकता के बीच संबंध स्थापित कीजिए, जबकि गुणता अभिलक्षण एक प्रसामान्य बंटन का अनुसरण करता है, जिसका माध्य μ और प्रसरण σ² है (σ² ज्ञात नहीं है), तथा जबकि ऊपरी विनिर्देश सीमा निर्दिष्ट है। संबंध का उपयोग करते हुए प्रतिचयन आयोजना के प्राचलों को ज्ञात करने के लिए सूत्र प्राप्त कीजिए। 10 अंक
(c) (i) n घटकों की एक प्रणाली के लिए जाने पर, उसके अवस्था सदिश तथा संरचना फलन को परिभाषित कीजिए। ये क्या संकेत देते हैं? 5 अंक
(ii) (1) एक श्रृंखला प्रणाली, (2) एक समांतर प्रणाली तथा (3) एक n-में-से-k प्रणाली को परिभाषित करते हुए संरचना फलनों और विश्वसनीयता फलनों के लिए संबंधित व्यंजकों को प्राप्त कीजिए। 10 अंक
Answer approach & key points
Begin with clear definitions for (a)(i) distinguishing variables/attributes charts, then rigorously derive control limits for x̄ and s charts using sample standard deviation with proper statistical assumptions. For (b), state assumptions of normality and known/unknown variance, outline the operating procedure, then establish the OC function relationship showing how fraction defective links to acceptance probability via non-central t-distribution when σ² is unknown. For (c), define state vector and structure function mathematically, then derive expressions for series, parallel, and k-out-of-n systems using indicator functions and reliability theory. Allocate approximately 35% time to (a)(ii) derivation, 25% to (b)(ii) relationship establishment, 20% to (c)(ii) system derivations, and remaining 20% to definitional parts.
- (a)(i) Clear distinction: variables charts for measurable characteristics (x̄, R, s charts) vs attributes charts for countable defects (p, np, c, u charts) with examples from Indian manufacturing
- (a)(ii) Derivation of x̄ chart limits using s/c₄ as σ estimator: UCL/LCL = x̄̄ ± A₃s̄; s chart limits: UCL = B₄s̄, LCL = B₃s̄ with constants derived from χ² distribution
- (b)(i) Assumptions: normality, single upper/lower specification limit, known or unknown σ; operating procedure: sample selection, computation of sample mean, comparison with acceptance criterion
- (b)(ii) Relationship: p = P(X > U) = 1 - Φ((U-μ)/σ) for upper specification; acceptance probability Pa = P(accept|p) via non-central t when σ unknown; derivation of n and k parameters via producer/consumer risk points
- (c)(i) State vector x = (x₁,...,xₙ) where xᵢ ∈ {0,1} indicates component state; structure function φ(x) ∈ {0,1} indicates system state; φ(x) = 1 iff system functions
- (c)(ii) Series: φ(x) = Πxᵢ, Rₛ(t) = ΠRᵢ(t); Parallel: φ(x) = 1 - Π(1-xᵢ), Rₚ(t) = 1 - Π(1-Rᵢ(t)); k-out-of-n: φ(x) = 1 if Σxᵢ ≥ k, reliability via binomial/Beta or recursive formula
Q3 50M solve Operations Research and Simulation
(a) A company manufactures 30 items per day. The sale of those items depends upon demand which has the following distribution :
| Sale (units) | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |
|-------------|----|----|----|----|----|----|
| Probability | 0·10 | 0·15 | 0·20 | 0·35 | 0·15 | 0·05 |
The production cost and selling price of each unit are ₹ 400 and ₹ 500 respectively. Any unsold product is to be disposed off at a loss of ₹ 150 per unit. There is a penalty of ₹ 50 per unit if the demand is not met.
Use the following random numbers to estimate total profit/loss for the company for the next 10 days :
23, 99, 65, 99, 95, 01, 79, 11, 16, 10
If the company decides to produce 20 items per day, what is the advantage or disadvantage to the company? (15 marks)
(b) A company has four plants P₁, P₂, P₃ and P₄ from which it supplies to three markets M₁, M₂ and M₃. Determine the optimal transportation plan from the following data giving the plant to market shifting costs, quantities available at each plant and quantities required at each market :
| Market ↓ | P₁ | P₂ | P₃ | P₄ | Required at market |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| M₁ | 19 | 14 | 23 | 11 | 11 |
| M₂ | 15 | 16 | 12 | 21 | 13 |
| M₃ | 30 | 25 | 16 | 39 | 19 |
| Available at plant | 6 | 10 | 12 | 15 | 43 |
(15 marks)
(c) On January 1 (this year), brands A, B and C of a commodity had 40, 40 and 20 percent of the market share. Basing upon a market research, it is compiled that brand A retains 90 percent of its customers, while gaining 5 percent of B's customers and 10 percent of C's customers. Brand B retains 85 percent of its customers, while gaining 5 percent of A's customers and 7 percent of C's customers. Brand C retains 83 percent of its customers and gains 5 percent of A's customers and 10 percent of B's customers. What will be each brand's share on January 1 (next year) and what will be each brand's share in the market at equilibrium? (20 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) एक कंपनी प्रतिदिन 30 मदों का निर्माण करती है। उन मदों की बिक्री मांग पर निर्भर करती है, जो निम्नलिखित बंटन का अनुसरण करती है :
| बिक्री (इकाई) | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |
|-------------|----|----|----|----|----|----|
| प्रायिकता | 0·10 | 0·15 | 0·20 | 0·35 | 0·15 | 0·05 |
उत्पादन लागत तथा विक्रय मूल्य प्रति इकाई क्रमशः : ₹ 400 और ₹ 500 है। किसी भी अनबिके उत्पाद का निपटान ₹ 150 प्रति इकाई की हानि पर किया जाता है। यदि मांग पूरी नहीं हुई, तो ₹ 50 प्रति इकाई का जुर्माना है।
निम्न यादृच्छिक संख्याओं का उपयोग करके अगले 10 दिनों के लिए कंपनी के/की कुल लाभ/हानि का आकलन कीजिए :
23, 99, 65, 99, 95, 01, 79, 11, 16, 10
यदि कंपनी प्रतिदिन 20 मदों का उत्पादन करने का निर्णय करती है, तो कंपनी को क्या लाभ या हानि है? (15 अंक)
(b) एक कंपनी के पास चार प्लांट P₁, P₂, P₃ और P₄ हैं, जिनमें से यह तीन बाजारों M₁, M₂ तथा M₃ में आपूर्ति करती है। निम्न दिए गए आंकड़ों, जिसमें प्लांट से बाजार तक स्थानांतरण लागत, प्रत्येक प्लांट पर उपलब्ध मात्रा तथा प्रत्येक बाजार में आवश्यक मात्राएं हैं, का उपयोग करके इष्टतम परिवहन योजना प्राप्त कीजिए :
| बाजार ↓ | प्लांट | | | | बाजार में आवश्यक |
|---------|--------|--------|--------|--------|---------------|
| | P₁ | P₂ | P₃ | P₄ | |
| M₁ | 19 | 14 | 23 | 11 | 11 |
| M₂ | 15 | 16 | 12 | 21 | 13 |
| M₃ | 30 | 25 | 16 | 39 | 19 |
| प्लांट पर उपलब्ध | 6 | 10 | 12 | 15 | 43 |
(15 अंक)
(c) जनवरी 1 (इस वर्ष) को एक वस्तु के ब्रांड A, B और C के पास बाजार शेयर के 40, 40 तथा 20 प्रतिशत थे। बाजार अनुसंधान के आधार पर यह संकलन किया गया कि ब्रांड A अपने 90 प्रतिशत ग्राहकों को बनाए रखता है, जबकि उसमें 5 प्रतिशत B के ग्राहक और 10 प्रतिशत C के ग्राहक बढ़ जाते हैं। ब्रांड B अपने 85 प्रतिशत ग्राहकों को बनाए रखता है, जबकि उसमें 5 प्रतिशत A के ग्राहक और 7 प्रतिशत C के ग्राहक बढ़ जाते हैं। ब्रांड C अपने 83 प्रतिशत ग्राहकों को बनाए रखता है, जबकि उसमें 5 प्रतिशत A के ग्राहक और 10 प्रतिशत B के ग्राहक बढ़ जाते हैं। प्रत्येक ब्रांड के शेयर जनवरी 1 (अगले वर्ष) क्या होंगे और प्रत्येक ब्रांड के शेयर संतुलित बाजार में क्या होंगे? (20 अंक)
Answer approach & key points
Solve all three sub-parts systematically: for (a) set up the Monte Carlo simulation with correct random number intervals and profit/loss calculations; for (b) apply the transportation algorithm (VAM for IBFS then MODI/UV method for optimization); for (c) construct the transition probability matrix and compute next year's shares, then solve for steady-state equilibrium using πP = π. Allocate approximately 30% time to (a), 30% to (b), and 40% to (c) given the 20 marks weightage for part (c). Present all working clearly with tabular formats where appropriate.
- For (a): Correctly establish random number intervals for demand simulation (00-09→27, 10-24→28, 25-44→29, 45-79→30, 80-94→31, 95-99→32) and calculate profit/loss for each of 10 days using given random numbers
- For (a): Compute total profit for 10 days with production=30, then recompute for production=20 to compare advantage/disadvantage with clear numerical conclusion
- For (b): Obtain initial basic feasible solution using Vogel's Approximation Method (VAM) and verify degeneracy condition (m+n-1=6 basic cells)
- For (b): Apply MODI/UV method to test optimality and iterate if needed to reach optimal transportation schedule with minimum total cost
- For (c): Construct correct transition probability matrix from customer retention and switching data, then compute January 1 next year shares by matrix multiplication
- For (c): Set up and solve system of linear equations πA=π, πB=π, πC=π with πA+πB+πC=1 to find equilibrium market shares
Q4 50M solve Game Theory, Linear Programming and Quality Control
(a) Solve the game whose payoff matrix is
$$
\begin{bmatrix} -1 & -2 & 8 \\ 7 & 5 & -1 \\ 6 & 0 & 12 \end{bmatrix}
$$
(15 marks)
(b) Use the penalty (Big M) method to solve the following linear programming problem :
Minimize Z = 5x₁ + 3x₂
subject to the constraints
2x₁ + 4x₂ ≤ 12
2x₁ + 2x₂ = 10
5x₁ + 2x₂ ≥ 10
x₁, x₂ ≥ 0
(15 marks)
(c) (i) Distinguish between a nonconforming unit and a nonconformity. State the appropriate conditions for constructing a control chart for nonconformities and derive the control limits for a control chart based on the average number of nonconformities per inspection unit. (2+8=10 marks)
(ii) Describe the operating procedure of unit-by-unit sequential sampling plan by attributes. What is the unique feature of a sequential sampling plan? (5 marks)
(iii) The time to failure for an electronic component used in a flat panel display unit is satisfactorily modelled by a Weibull distribution with the shape parameter β = ½ and the scale parameter θ = 5000 hours. Find the mean time to failure and the fraction of component that is expected to survive beyond 20000 hours. (2+3=5 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) उस खेल को हल कीजिए, जिसका भुगतान आव्यूह है
$$
\begin{bmatrix} -1 & -2 & 8 \\ 7 & 5 & -1 \\ 6 & 0 & 12 \end{bmatrix}
$$
(15 अंक)
(b) पेनाल्टी (बिग M) विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए :
न्यूनतमीकरण कीजिए, Z = 5x₁ + 3x₂
निम्न प्रतिबंधों के अंतर्गत
2x₁ + 4x₂ ≤ 12
2x₁ + 2x₂ = 10
5x₁ + 2x₂ ≥ 10
x₁, x₂ ≥ 0
(15 अंक)
(c) (i) गैर-अनुकूल इकाई तथा गैर-अनुकूलता के बीच अंतर बताइए। गैर-अनुकूलताओं के लिए एक नियंत्रण संचित्र (चार्ट) के निर्माण हेतु उपयुक्त शर्तों को बताइए तथा प्रति निरीक्षण इकाई में गैर-अनुकूलताओं की औसत संख्या पर आधारित नियंत्रण संचित्र के लिए नियंत्रण सीमाओं को न्यूनतम कीजिए। (2+8=10 अंक)
(ii) गुणों के आधार पर इकाई-दर-इकाई अनुक्रमिक प्रतिचयन आयोजना की संचालन प्रक्रिया का वर्णन कीजिए। एक अनुक्रमिक प्रतिचयन आयोजना की अद्वितीय विशेषता क्या है? (5 अंक)
(iii) एक फ्लैट पैनल डिस्प्ले यूनिट में उपयोग किए गए एक इलेक्ट्रॉनिक घटक की विफलता का समय संतोषजनक तरीके से एक वेबुल बंटन द्वारा मॉडल किया गया, जिसका आकृति प्राचल β = ½ और मापक्रम प्राचल θ = 5000 घंटे हैं। विफलता का माध्य समय तथा घटक का अंश, जो 20000 घंटों से अधिक जीवित रहने की आशा रखता है, प्राप्त कीजिए। (2+3=5 अंक)
Answer approach & key points
The directive 'solve' demands complete working with optimal strategies and values for (a) and (b), while (c) requires theoretical exposition with derivations and calculations. Allocate approximately 35-40% time to part (a) given its 15 marks and computational complexity, 30% to part (b) for the Big M method iterations, and 30% to part (c) distributed as 10 marks for (c)(i), 5 marks for (c)(ii), and 5 marks for (c)(iii). Structure with clear part-wise headings, showing all matrix operations, simplex tableaus, and control limit derivations.
- For (a): Identify the game has no saddle point, check for dominance, reduce using graphical method or solve 2×2 subgames, verify mixed strategy solution with value of game V = 17/5 ≈ 3.4
- For (b): Convert to standard form by adding slack, surplus and artificial variables; use Big M penalty method with correct simplex iterations showing entering and leaving variables
- For (c)(i): Define nonconforming unit as item with ≥1 nonconformity vs nonconformity as specific instance of non-fulfilment; state Poisson assumption for c-chart; derive UCL = c̄ + 3√c̄, LCL = max(0, c̄ - 3√c̄)
- For (c)(ii): Describe sequential sampling with acceptance/rejection/continue regions; unique feature is ASN (average sample number) being smaller than fixed sampling for same protection
- For (c)(iii): Calculate MTTF = θΓ(1+1/β) = 5000×Γ(3) = 10000 hours; survival probability S(20000) = exp[-(20000/5000)^0.5] = e^(-2) ≈ 0.1353 or 13.53%