Q5 50M Compulsory calculate Fluid mechanics and soil mechanics problems
(a) A 125 mm diameter vertical cylinder rotates concentrically inside a fixed cylinder of diameter 130 mm. Both cylinders are 325 mm long. Find the dynamic viscosity of the liquid that fills the space between the cylinders, if a torque of 0·92 Nm is required to maintain a speed of 70 r.p.m. (10 marks)
(b) Calculate the friction drag on a flat plate 15 cm wide and 45 cm long placed longitudinally in a stream of oil of relative density 0·925 and kinematic viscosity 0·9 stoke, flowing with a free stream velocity of 6 m/s. Also find the thickness of the boundary layer and shear stress at the trailing edge. Take density of water 1000 kg/m³. (10 marks)
(c) A large tank as shown in the above figure has a vertical pipe 70 cm long and 2 cm in diameter. The tank contains an oil of density 920 kg/m³ and viscosity 1·5 poise. Find the discharge through the pipe when the height of the oil level of the tank is 0·80 m above the pipe inlet. [Figure: oil surface A is 80 cm above the bottom of the tank, where the 2 cm pipe begins; the pipe runs 70 cm vertically down and discharges freely at B.] (10 marks)
(d) A field density test was conducted by core-cutter method and the following data was obtained:
Weight of empty core-cutter = 23 N
Weight of soil and core-cutter = 50 N
Dimensions of the core-cutter dia = 90 mm and height = 180 mm
Weight of wet sample for moisture determination = 55×10⁻² N
Weight of oven dry sample = 52×10⁻² N
Specific gravity of soil grains = 2·70
Determine its dry density, void ratio and degree of saturation. (10 marks)
(e) Two plate load tests were conducted at a site – one with a 300 mm square plate and other with a 600 mm square test plate. For a settlement of 25 mm the loads were found to be 21·6 kN and 64·8 kN respectively in the two tests. Determine the allowable bearing pressure of the sand and the load which a square footing 1·5 m×1·5 m can carry with the settlement not exceeding 25 mm. (10 marks)
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(क) एक 125 mm व्यास का ऊर्ध्वाधर बेलन, एक 130 mm व्यास के आबद्ध बेलन के अन्दर संकेन्द्र: घूमता है । दोनों बेलनों की लम्बाई 325 mm है । यदि 70 r.p.m की गति बनाए रखने के लिए 0·92 Nm बल आघूर्ण की आवश्यकता होती है, तो बेलनों के बीच की जगह में भरे हुए द्रव की गतिक श्यानता ज्ञात कीजिए । (10 अंक)
(ख) आपेक्षिक घनत्व 0·925 और शुद्ध गतिक श्यानता 0·9 स्टोक वाले एक तेल की धारा, जो एक 6 m/s के स्वतंत्र धारा वेग से प्रवाहित है, में 15 cm चौड़ी और 45 cm लम्बी, अनुदैर्ध्यवत रखी गई, एक चपटी पट्टिका पर घर्षण विकर्ष की गणना कीजिए । सीमान्त परत की मोटाई और अनुगामी किनार पर अपरूपण प्रतिबल भी ज्ञात कीजिए । जल का घनत्व 1000 kg/m³ लीजिए । (10 अंक)
(ग) नीचे चित्र में दर्शाई गई एक विशाल टंकी में 70 cm लम्बा और 2 cm व्यास का एक ऊर्ध्वाधर पाइप लगा है । टंकी में, 920 kg/m³ घनत्व एवं 1·5 पॉइज़ श्यानता वाला तेल है । जब टंकी में तेल सतह की ऊँचाई, पाइप के अन्तर्गम से 0·80 m ऊपर हो तो पाइप में से निस्सरण को ज्ञात कीजिए । [चित्र: तेल सतह A टंकी के तल से 80 cm ऊपर है, जहाँ 2 cm पाइप आरम्भ होता है; पाइप 70 cm ऊर्ध्वाधर नीचे जाकर B पर स्वतंत्र रूप से निस्सरित होता है।] (10 अंक)
(घ) क्रोड कर्तन (कोर कटर) विधि द्वारा एक क्षेत्र घनत्व परीक्षण किया गया जिससे निम्नलिखित आंकड़े प्राप्त हुए :
खाली कोर कटर का वजन = 23 N
मृदा एवं कोर कटर का वजन = 50 N
कोर कटर की विमाएं : व्यास = 90 mm एवं ऊँचाई = 180 mm
जलांश निर्धारण के लिए नम-नमूने का वजन = 55×10⁻² N
भट्टी में सुखाए गए नमूने का वजन = 52×10⁻² N
मृदा कणों का विशिष्ट घनत्व = 2·70
इसके लिए शुष्कघनत्व, रिक्ति अनुपात, एवं संतृप्ति की मात्रा ज्ञात कीजिए । (10 अंक)
(ङ) एक स्थल पर दो पट्टिका-भार-परीक्षण किए गए एक 300 mm की वर्गाकार पट्टिका से एवं दूसरा 600 mm की वर्गाकार परीक्षण पट्टिका से । इन दो परीक्षणों में 25 mm निषदन के लिए बलों का मान क्रमशः 21·6 kN एवं 64·8 kN प्राप्त हुआ । रेत के लिए अनुज्ञेय-धारक-दाब; और निषदन के 25 mm से अधिक नहीं होने की स्थिति में एक 1·5 m×1·5 m की वर्गाकार पाद द्वारा वहन किए जाने वाले भार को निर्धारित कीजिए । (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All parts solved with correct formulas, units, and clear steps.
- ω = 2π × 70/60 = 7.33 rad/s; surface speed u = ωR₁ = 0.458 m/s
- Radial clearance t = (130 − 125)/2 = 2.5 mm; τ = μu/t
- Torque T = τ × (2πR₁L) × R₁ = 1.462μ
- μ = 0.92/1.462 ≈ 0.63 Pa·s (6.3 poise); the exact annulus formula gives 0.59 Pa·s, also acceptable
- ν = 0.9 stoke = 9 × 10⁻⁵ m²/s, ρ = 925 kg/m³; Re_L = UL/ν = 3.0 × 10⁴ (laminar throughout)
- Blasius: C_f = 1.328/√Re_L = 0.00767; drag on one side = C_f × ½ρU² × bL = 8.62 N (17.2 N for both faces)
- δ at the trailing edge = 5L/√Re_L = 13.0 mm
- τ₀ at the trailing edge = 0.332ρU²/√Re_L = 63.8 Pa
- Energy equation from the oil surface A to the pipe outlet B: H = 0.80 + 0.70 = 1.5 m
- H = V²/2g + h_f with Hagen–Poiseuille h_f = 32μVL/(ρgD²) and μ = 1.5 poise = 0.15 Pa·s
- Solving 0.051V² + 0.931V − 1.5 = 0 gives V = 1.49 m/s
- Q = 4.68 × 10⁻⁴ m³/s (0.468 L/s); Re ≈ 183 confirms laminar flow
- Bulk unit weight γ = 27 N / 1.145 × 10⁻³ m³ = 23.58 kN/m³
- w = 0.03/0.52 = 5.77%
- γ_d = γ/(1 + w) = 22.29 kN/m³ (ρ_d ≈ 2.27 g/cm³)
- e = Gγ_w/γ_d − 1 = 0.188; S = wG/e = 82.8%
- Plate pressures: 21.6/0.09 = 240 kN/m² and 64.8/0.36 = 180 kN/m²
- Housel's method Q = mA + nP: 21.6 = 0.09m + 1.2n and 64.8 = 0.36m + 2.4n give m = 120 kN/m² and n = 9 kN/m
- Footing 1.5 × 1.5 m: Q = 120 × 2.25 + 9 × 6 = 324 kN
- Allowable bearing pressure for 25 mm settlement = 324/2.25 = 144 kN/m²
Q6 50M solve Dimensional analysis, fluid flow and pile foundation
(a) The resistance force F of a ship is a function of its length L, velocity V, acceleration due to gravity g and fluid properties like density ρ and viscosity μ. Write this relationship in a dimensionless form. (15 marks)
(b) The stream function for a two-dimensional flow is given by ψ = 2xy. Calculate the velocity and velocity potential at point P(2, 3). (15 marks)
(c) A group of nine friction piles is driven through 5 m of clay with unconfined compressive strength of 60 kN/m² followed by 10 m of clay with unconfined compressive strength of 100 kN/m². The piles are in 3 rows and will be 1·00 m centres in a row and the rows will be 750 mm on centres. Each pile has a diameter of 300 mm. If a factor of safety of 2·5 is required, determine the maximum load that can be carried by the group. Take Nc = 9 and unit weight of clay as 16·4 kN/m³. (20 marks)
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(क) पानी के एक जहाज का प्रतिरोधक बल F, इसकी लम्बाई L, वेग V, गुरुत्वाकर्षण g और द्रव गुणों जैसे कि घनत्व ρ एवं श्यानता μ का फलन है। इस सम्बन्ध को विमारहित प्ररूप में लिखिए। (15 अंक)
(ख) एक द्विविमीय प्रवाह के लिए प्रवाह फलन ψ = 2xy द्वारा दिया गया है। बिन्दु P(2, 3) पर वेग एवं वेग-विभव की गणना कीजिए। (15 अंक)
(ग) एक नौ-घर्षण स्थूणाओं के समूह को, 60 kN/m² की अपरिबद्ध संपीडन क्षमता वाली 5 m मोटी मृत्तिका जिसके नीचे 100 kN/m² की अपरिबद्ध संपीडन क्षमता वाली 10 m मोटी मृत्तिका है, में गाड़ा गया है। स्थूणाओं को तीन कतारों में लगाया गया है और एक कतार में स्थूणा 1·00 m की केन्द्र दूरी पर हैं; कतारें 750 mm की केन्द्र दूरी पर हैं। प्रत्येक स्थूणा का व्यास 300 mm है। यदि 2·5 का सुरक्षा गुणक आवश्यक है तो समूह द्वारा वहन किए जा सकने वाले अधिकतम भार को निर्धारित कीजिए। Nc = 9 और मृत्तिका का एकक भार 16·4 kN/m³ लीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivation, correct units, clear distinction between individual and group failure modes.
- Six variables F, L, V, g, ρ, μ in three dimensions (M, L, T), so 6 − 3 = 3 Π-terms (Buckingham)
- Repeating variables ρ, V, L (geometric, kinematic, dynamic)
- Π₁ = F/(ρV²L²), Π₂ = gL/V² (Froude), Π₃ = μ/(ρVL) (Reynolds), each checked dimensionless
- Result: F/(ρV²L²) = φ(V/√(gL), ρVL/μ), i.e. F = ρV²L² φ(Fr, Re)
- u = ∂ψ/∂y = 2x and v = −∂ψ/∂x = −2y (or the opposite sign convention, consistently applied)
- At P(2, 3): u = 4, v = −6; resultant √52 = 7.21 units, at tan⁻¹(1.5) = 56.3° below the x-axis
- ω_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y = 0, so the flow is irrotational and φ exists
- φ = x² − y² (+ constant); at P, φ = −5 units
- c_u = q_u/2: 30 kN/m² (top 5 m) and 50 kN/m² (next 10 m); adhesion α = 1 assumed
- Single pile: skin π(0.3)(30 × 5 + 50 × 10) = 612.6 kN plus base 9 × 50 × π(0.3)²/4 = 31.8 kN, total 644.4 kN; nine piles 5800 kN
- Block 2.30 m × 1.80 m: side (30 × 5 + 50 × 10) × 8.2 = 5330 kN plus base 9 × 50 × 4.14 = 1863 kN, total 7193 kN
- Smaller value governs: individual action, safe load = 5800/2.5 ≈ 2320 kN (efficiency 1.24)
Q7 50M solve Geotechnical and Water Resources Engineering
(a) A canal is to be excavated through a soil with c = 20 kN/m², φ = 20°, e = 0·80 and G = 2·70. The side slope is 1 in 1. The depth of the canal is to be 8 m. Determine the factor of safety with respect to cohesion when the canal runs full. What will be the factor of safety if the canal is rapidly emptied ? For β = 45°, the stability number for various φ values are as given below:
φ = 5°, 10°, 15°, 20°, 25°
S_n = 0·14, 0·12, 0·10, 0·08, 0·06 (15 marks)
(b) The soil profile at a building site consists of dense sand up to 3 m depth, normally loaded soft clay from 3 m to 8 m depth and stiff impervious rock below 8 m depth. The ground water table is at 0·60 m depth below ground level. The sand has a density of 18·6 kN/m³ above water table and 19·2 kN/m³ below water table. For the clay, natural water content is 50%, liquid limit is 70% and specific gravity is 2·70. Calculate the probable ultimate settlement resulting from a uniformly distributed surface load of 50 kN/m² applied over an extensive area of the site. (15 marks)
(c) The flow of water in a canal varies from 425 l/s to 680 l/s. It is desired to discharge not less than 340 l/s of water and not more than 425 l/s over a 90° V-notch weir into one channel, while the remainder goes over a sharp-crested rectangular weir. Find the length of rectangular weir and maximum head on each weir. Take C_d = 0·58 for both weirs. (20 marks)
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(क) एक नहर को एक मृदा, जिसका c = 20 kN/m², φ = 20°, e = 0·80 एवं G = 2·70 है, में खोदा जाना है। पार्श्व ढाल 1 में 1 है। नहर की गहराई 8 m रखनी है। नहर के पूर्ण प्रवाहित होने पर संसजन के सापेक्ष में सुरक्षा गुणक ज्ञात कीजिए। यदि नहर तेजी से खाली की जाए, तो सुरक्षा गुणांक क्या होगा ? β = 45° के लिए, φ के विभिन्न मानों के लिए स्थायित्व अंक निम्नप्रकार हैं :
φ = 5°, 10°, 15°, 20°, 25°
S_n = 0·14, 0·12, 0·10, 0·08, 0·06 (15 अंक)
(ख) एक निर्माण स्थल पर मृदा परिछेदिका (प्रोफाइल) में सघन रेत 3 m गहराई तक, सामान्य भारित मृदु मृत्तिका 3 m से 8 m गहराई तक एवं 8 m से नीचे दृढ़-अप्रवेश्य चट्टान है। भौम जल स्तर धरातल से 0·6 m नीचे है। रेत का घनत्व जल स्तर के ऊपर 18·6 kN/m³ और जल स्तर के नीचे 19·2 kN/m³ है। मृत्तिका के लिए प्राकृतिक जलांश 50%, द्रव सीमा 70% और विशिष्ट घनत्व 2·70 है। स्थल के एक विस्तृत क्षेत्र पर लगाए गए 50 kN/m² के एकसमान वितरित सतही भार के कारण होने वाले संभावित चरम निषदन की गणना कीजिए। (15 अंक)
(ग) एक नहर में जल प्रवाह 425 l/s से 680 l/s तक परिवर्तित होता है। यह अपेक्षित है कि 90° के V-नोच वियर से एक वाहिका में छोड़े जाने वाले जल का विसर्जन 340 l/s से कम एवं 425 l/s से अधिक न हो, जबकि बचा हुआ जल एक तीक्ष्ण-शिखर-आयताकार वियर के ऊपर से जाता है। आयताकार वियर की लंबाई और प्रत्येक वियर के ऊपर अधिकतम दाबोच्चता ज्ञात कीजिए। दोनों वियर के लिए C_d = 0·58 लीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Geotechnical Engineering Analysis. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All steps shown with correct formulas, units, and final values with checks.
- γ_sat = (G + e)γ_w/(1 + e) = 19.08 kN/m³ and γ′ = (G − 1)γ_w/(1 + e) = 9.27 kN/m³
- Canal full (submerged slope): S_n = 0.08 for φ = 20° with γ′: F_c = 20/(0.08 × 9.27 × 8) = 3.37
- Rapid drawdown: weighted φ_w = (γ′/γ_sat)φ ≈ 9.7°, S_n from the given table ≈ 0.12 (interpolated 0.121), used with γ_sat
- F_c after drawdown = 20/(0.121 × 19.08 × 8) ≈ 1.08–1.09, far below the full-canal value
- Clay: e₀ = wG = 1.35; γ_sat = 16.9 and γ′ = 7.10 kN/m³
- σ′₀ at mid-clay (5.5 m) = 0.6 × 18.6 + 2.4 × 9.39 + 2.5 × 7.10 = 51.4 kPa
- C_c = 0.009(w_L − 10) = 0.54; Δσ = 50 kPa at all depths (extensive load)
- S = C_c H/(1 + e₀) × log[(σ′₀ + Δσ)/σ′₀] = (0.54 × 5/2.35) log(101.4/51.4) ≈ 0.34 m
- V-notch Q = (8/15)C_d√(2g)H^2.5 = 1.370H^2.5: H = 0.573 m at 340 l/s and 0.626 m at 425 l/s
- Both weirs share the canal water level; the rectangular weir carries 85 l/s at minimum and 255 l/s at maximum flow
- Head ratio [(h + 0.053)/h]^1.5 = 255/85 = 3 gives h = 0.050 m and 0.103 m; crest 0.523 m above the V vertex
- L = 0.255/[(2/3)C_d√(2g) × 0.103^1.5] ≈ 4.5 m; maximum heads 0.626 m (V-notch) and 0.103 m (rectangular)
Q8 50M solve Geotechnical and Fluid Machinery Engineering
(a) A retaining wall 8 m high, with a smooth vertical back is pushed against a soil mass having c = 50 kN/m², φ = 15° and unit weight 18 kN/m³. It carries a surcharge of 40 kN/m² uniformly on its top surface. Draw the passive pressure distribution diagram and find the point of application of the resultant thrust. (15 marks)
(b) A particular soil failed under a major principal stress of 600 kN/m² with a corresponding minor principal stress of 200 kN/m². If for the same soil, the minor principal stress had been 300 kN/m², determine what the major principal stress would have been if (i) φ = 35° and (ii) φ = 0°. (15 marks)
(c) An inward flow reaction turbine works under a head of 30 m and discharge of 10 m³/s. The speed of runner is 300 r.p.m. At the inlet tip of runner vane, the peripheral velocity of wheel is 0.9√2gH and the radial velocity of flow is 0.3√2gH, where H is the head on the turbine. If the overall efficiency and the hydraulic efficiency of the turbine are 80% and 90% respectively, determine :
(i) the power developed in kw
(ii) diameter and width of runner at inlet
(iii) guide blade angle at inlet
(iv) inlet angle at runner vane
Assume that the discharge at outlet is radial. (20 marks)
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(क) एक मसृण ऊर्ध्वाधर पृष्ठ वाली 8 m ऊँची एक प्रतिधारक भित्ति को एक मृदा संहति जिसका c = 50 kN/m², φ = 15° एवं एकक भार 18 kN/m³ है, के विरुद्ध धक्का दिया जाता है। यह अपने शीर्ष सतह पर 40 kN/m² का सम अधिभार वहन करती है। निष्क्रिय-दाब-वितरण-आरेख बनाइए और परिणामी प्रणोद के लिए प्रयोग बिंदु भी ज्ञात कीजिए। (15 अंक)
(ख) एक विशिष्ट मृदा, 600 kN/m² के एक उच्च मुख्य प्रतिबल और 200 kN/m² के संगत निम्न मुख्य प्रतिबल पर विफल हो जाती है। यदि इसी मृदा नमूने के लिए निम्न मुख्य प्रतिबल 300 kN/m² होता तो निर्धारित कीजिए कि उच्च मुख्य प्रतिबल कितना होता, यदि (i) φ = 35° एवं (ii) φ = 0° है। (15 अंक)
(ग) एक अंतर्मुख प्रवाही प्रतिक्रिया टरबाइन 30 m की दाबोच्चता और 10 m³/s के निस्सरण पर कार्यरत है। चक्राल (रनर) की गति 300 r.p.m है। चक्राल वेन के अंतर्गम अग्र पर चक्र का परिधीय वेग 0.9√2gH एवं प्रवाह का त्रिज्य वेग 0.3√2gH है, जहाँ H टरबाइन पर दाबोच्चता है। यदि टरबाइन की कुल दक्षता एवं द्रवीय (हाइड्रॉलिक) दक्षता क्रमशः: 80% एवं 90% है तो, ज्ञात कीजिए :
(i) उत्पन्न शक्ति, kw में
(ii) अंतर्गम पर चक्राल का व्यास और चौड़ाई
(iii) अंतर्गम पर निर्देशक ब्लेड कोण
(iv) चक्राल वेन पर अंतर्गम कोण
निर्गम पर विसर्जन त्रिज्यीय मान लीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Rational Design Method. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All calculations correct with proper units, complete diagrams, and clear assumptions stated.
- K_p = tan²(45° + φ/2) = 1.698 (√K_p = 1.303)
- p_p = K_p(q + γz) + 2c√K_p: 198.3 kN/m² at the top and 442.8 kN/m² at the base; compressive throughout (no tension zone in the passive case)
- P_p = 198.3 × 8 + ½ × 244.6 × 8 = 1586 + 978 = 2564 kN/m
- Point of application ȳ = (1586 × 4 + 978 × 8/3)/2564 = 3.49 m above the base
- σ₁ = σ₃N_φ + 2c√N_φ with N_φ = tan²(45° + φ/2)
- Same soil and envelope: σ₁′ = σ₁ + N_φ(σ₃′ − σ₃) = 600 + 100N_φ
- φ = 35°: N_φ = 3.69, σ₁′ ≈ 969 kN/m²
- φ = 0: N_φ = 1 (c = 200 kN/m²), σ₁′ = 700 kN/m²
- √(2gH) = 24.26 m/s; u₁ = 21.84 and V_f1 = 7.28 m/s; P = η_o ρgQH = 0.8 × 2943 = 2354 kW
- Radial discharge: η_h = V_w1u₁/(gH) gives V_w1 = 12.13 m/s
- D₁ = 60u₁/(πN) = 1.39 m; b₁ = Q/(πD₁V_f1) = 0.315 m
- Guide blade angle α = tan⁻¹(V_f1/V_w1) = 30.96°; vane angle θ = tan⁻¹[V_f1/(u₁ − V_w1)] = 36.87°