All 8 questions from UPSC Civil Services Mains Physics
2022 Paper I (400 marks total). Every stem reproduced in full,
with directive-word analysis, marks, word limits, and answer-approach pointers.
8Questions
400Total marks
2022Year
Paper IPaper
Topics covered
Classical mechanics and special relativity (1)Rotating frames, collision dynamics and optics (1)Moment of inertia tensor, Newton's rings, He-Ne laser (1)Fluid dynamics, Fraunhofer diffraction, Special relativity (1)Thermodynamics, electromagnetism and circuit analysis (1)Maxwell equations, thermodynamics and heat capacities (1)Electromagnetic induction, thermodynamics, boundary conditions (1)Electromagnetic waves, negative temperature, Laplace equation (1)
A
Q1
50MCompulsorysolveClassical mechanics and special relativity
An electron is moving under the influence of a point nucleus of atomic number Z. Show that the orbit of the electron is an ellipse. 10 marks
Show that the mean kinetic and potential energies of non-dissipative simple harmonic vibrating systems are equal. 10 marks
An observer on a railway platform observed that as a train passed through the station at 108 km/hr, the frequency of the whistle appeared to drop by 350 Hz. Find the frequency of the whistle. (Velocity of sound in air = 380 m s⁻¹) 10 marks
Show that for very small velocity, the equation for kinetic energy, K = Δmc² becomes K = ½m₀v², where notations have their usual meanings. 10 marks
A phase retardation plate of quartz has thickness 0·1436 mm. For what wavelength in the visible region will it act as quarter-wave plate? Given that μ₀ = 1·5443 and μᴇ = 1·5533. 10 marks
हिंदी में पढ़ें
एक इलेक्ट्रॉन, परमाणु क्रमांक Z के बिंदु नाभिक के प्रभाव में गतिमान है। दर्शाइए कि इलेक्ट्रॉन की कक्षा एक दीर्घवृत्त है। 10 अंक
दर्शाइए कि ऊर्जा-संरक्षी सरल आवर्त कंपन तंत्रों की औसत गतिज और स्थितिज ऊर्जा बराबर हैं। 10 अंक
एक रेलवे प्लेटफॉर्म पर एक प्रेक्षक ने देखा कि जैसे ही एक ट्रेन स्टेशन से 108 km/hr की गति से गुजरती है, सीटी की आवृत्ति में 350 Hz की कमी प्रतीत होने लगती है। सीटी की आवृत्ति ज्ञात कीजिए। (वायु में ध्वनि का वेग = 380 m s⁻¹) 10 अंक
दर्शाइए कि बहुत कम वेग के लिए गतिज ऊर्जा का समीकरण K = Δmc², K = ½m₀v² हो जाता है, जहाँ संकेतों का अपना सामान्य अर्थ होता है। 10 अंक
क्वार्ट्ज की एक कला मंदन प्लेट की मोटाई 0·1436 mm है। दृश्य क्षेत्र में किस तरंगदैर्घ्य के लिए यह एक-चौथाई तरंग प्लेट के रूप में कार्य करेगी? दिया गया है, μ₀ = 1·5443 और μᴇ = 1·5533। 10 अंक
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (d) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivation with all steps shown, correct units, and physical interpretation.
50McalculateRotating frames, collision dynamics and optics
Consider two frames of reference S and S' having a common origin O. The frame S' is rotating with respect to the fixed frame S with a uniform ω⃗ = 3aₓ rad s⁻¹. A projectile of unit mass at position vector r⃗ = 7aₓ + 4aᵧ m is moving with v⃗ = 14aᵧ m s⁻¹. Calculate in the rotating frame S' the following forces on the projectile:
(i) Euler's force
(ii) Coriolis force
(iii) Centrifugal force
15 marks
A particle P of mass m₁ collides with another particle Q of mass m₂ at rest. The particles P and Q travel at angles θ and φ, respectively, with respect to the initial direction of P. Derive the expression for the maximum value of θ. 15 marks
Obtain the system matrix for a thick lens and derive the thin lens formula. 20 marks
हिंदी में पढ़ें
दो निर्देश तंत्र S और S′ हैं, जिनका उभयनिष्ठ मूलबिंदु O है। S′ तंत्र एकसमान ω⃗ = 3aₓ rad s⁻¹ से स्थिर तंत्र S के सापेक्ष घूम रहा है। स्थिति सदिश r⃗ = 7aₓ + 4aᵧ m पर इकाई द्रव्यमान का एक प्रक्षेप्य v⃗ = 14aᵧ m s⁻¹ के साथ गतिमान है। घूर्णन तंत्र S′ में प्रक्षेप्य पर निम्नलिखित बलों की गणना कीजिए:
(i) ऑयलर बल
(ii) कोरिऑलिस बल
(iii) अपकेन्द्री बल
15 अंक
द्रव्यमान m₁ का एक कण P, विरामावस्था में स्थित द्रव्यमान m₂ के दूसरे कण Q से टकराता है। कण P और Q, P की प्रारंभिक दिशा के सापेक्ष क्रमशः कोण θ और φ पर प्रगमन करते हैं। θ के अधिकतम मान के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए। 15 अंक
मोटे लेंस का तंत्र आव्यूह ज्ञात कीजिए और पतले लेंस का सूत्र प्राप्त कीजिए। 20 अंक
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Complete derivations with correct units, clear diagrams, and physical interpretation
State given vectors r, v, and omega with units
Identify Euler force as zero due to uniform omega
Calculate Coriolis force using -2m(omega x v)
Calculate centrifugal force using -m(omega x (omega x r))
Apply conservation of momentum in x and y directions
Apply conservation of kinetic energy for elastic collision
Eliminate final velocities to relate theta and phi
50MderiveMoment of inertia tensor, Newton's rings, He-Ne laser
(a) A homogeneous right triangular pyramid with the base side a and height 3a/2 is shown below. Obtain the moment of inertia tensor of the pyramid : 20 marks
(b) Newton's rings are observed between a spherical surface of radius of curvature 100 cm and a plane glass plate. The diameters of 4th and 15th bright rings are 0·314 cm and 0·574 cm, respectively. Calculate the diameters of 24th and 36th bright rings and also the wavelength of light used. 15 marks
(c) In He-Ne laser, what is the function of He gas? Explain the answer with the help of energy level diagram for He-Ne laser. 15 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) एक समांगी समकोणीय पिरामिड, जिसका आधार पार्श्व a और जिसकी ऊँचाई 3a/2 है, नीचे चित्र में दिखाया गया है। पिरामिड का जड़त्व-आघूर्ण प्रदिश (टेंसर) ज्ञात कीजिए : 20
(b) न्यूटन के वलय (रिंग) 100 cm वक्रता-त्रिज्या की एक गोलाकार सतह और समतल कांच की प्लेट के मध्य देखे जाते हैं। 4वें और 15वें दीप्त वलयों के व्यास क्रमशः: 0·314 cm और 0·574 cm हैं। 24वें और 36वें दीप्त वलयों के व्यास और प्रयुक्त प्रकाश के तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए। 15
(c) He-Ne लेजर में He गैस की क्या भूमिका है? He-Ne लेजर के लिए ऊर्जा स्तर आरेख की सहायता से उत्तर स्पष्ट कीजिए। 15
Answer approach & key points
(a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Complete derivations/calculations with correct units and physical interpretation.
50MderiveFluid dynamics, Fraunhofer diffraction, Special relativity
(a) Consider the diagram below with a water flow rate Q. Derive the expression for Q in terms of the difference in the manometer heights h and the cross-section areas A₁ and A₂ : 15 marks
(b) Discuss the phenomenon of Fraunhofer diffraction at a single slit and show that the intensities of successive maxima are nearly in the ratio
1 : 4/9π² : 4/25π² : 4/49π² 20 marks
(c) Two spaceships approach each other, both moving with same speed as measured by a stationary observer on the Earth. Their relative speed is 0·7c. Determine the velocity of each spaceship as measured by the stationary observer on the Earth. 15 marks
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(a) नीचे दिए गए आरेख पर विचार कीजिए, जिसमें Q जल-प्रवाह दर है। दाबमापी (मैनोमीटर) की ऊँचाइयों में अंतर h तथा अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफलों A₁ और A₂ के सापेक्ष Q के मान के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए : 15
(b) एकल स्लिट फ्रॉनहोफर विवर्तन की परिघटना पर चर्चा कीजिए और दर्शाइए कि क्रमिक उच्चिष्ठ की तीव्रताओं का लगभग अनुपात है
1 : 4/9π² : 4/25π² : 4/49π² 20
(c) दो अंतरिक्ष-यान एक-दूसरे के पास पहुँच रहे हैं। पृथ्वी पर एक स्थिर प्रेक्षक द्वारा मापा जाता है कि दोनों एक ही गति से गतिमान हैं। उनकी सापेक्ष गति 0·7c है। पृथ्वी पर स्थित प्रेक्षक द्वारा मापे गए प्रत्येक अंतरिक्ष-यान के वेग का निर्धारण कीजिए। 15
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivations with all steps, correct results, physical interpretation
Apply Bernoulli's equation between sections 1 and 2
50MCompulsorycalculateThermodynamics, electromagnetism and circuit analysis
(a) Assume that the Earth's atmosphere is pure nitrogen in thermodynamic equilibrium at a temperature of 300 K. Calculate the height above sea level at which the density of the atmosphere is one-half its sea level value. (Molecular weight of N₂ is 28 gm/mole) (10 marks)
(b) A body of constant heat capacity Cₚ and a temperature Tᵢ is put into contact with a reservoir at temperature Tƒ. Equilibrium between the body and the reservoir is established at constant pressure. Determine the total entropy change and prove that it is positive for either sign of [(Tƒ — Tᵢ)/Tƒ]. Consider |Tƒ — Tᵢ|/Tƒ < 1. (10 marks)
(c) Consider two point particles of charge q each, separated by a distance d, and travelling at non-relativistic velocity v⃗. If the line joining the two charges is perpendicular to v⃗, then write an expression for the magnetic force between the two particles, and illustrate the direction of the force on each particle. (10 marks)
(d) A cell of internal resistance 1 ohm, 1·5 volt e.m.f. and another cell of internal resistance 2 ohm, 2 volt e.m.f. are connected in parallel across the ends of an external resistance of 5 ohm. Find the current in each branch of the circuit. (10 marks)
(e) Consider the R-L-C circuit shown here. Calculate the Q-factor of the circuit. Does the circuit have a resonant frequency? Justify your answer : (10 marks)
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(a) मान लीजिए कि पृथ्वी का वायुमंडल 300 K के तापमान पर ऊष्मागतिक साम्य में शुद्ध नाइट्रोजन है। समुद्र-तल से ऊँचाई की गणना कीजिए जिस पर वायुमंडल का घनत्व उसके समुद्र-तल मान का आधा है। (N₂ का आण्विक भार 28 gm/mole है) (10 अंक)
(b) नियत ऊष्मा धारिता Cₚ और तापमान Tᵢ का एक पिंड तापमान Tƒ पर एक भंडार (जलाशय) के संपर्क में आता है। अचल दाब पर पिंड और भंडार के बीच साम्यावस्था स्थापित होती है। कुल एन्ट्रॉपी परिवर्तन का निर्धारण कीजिए और सत्यापित कीजिए कि यह [(Tƒ — Tᵢ)/Tƒ] के किसी भी चिह्न के लिए धनात्मक है। मान लीजिए कि |Tƒ — Tᵢ|/Tƒ < 1 है। (10 अंक)
(c) विचारिए कि दो बिंदु कण जिनमें प्रत्येक का आवेश q है, d दूरी से पृथक्कृत और अनापेक्षिकीय वेग v⃗ से गति कर रहे हैं। यदि दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा v⃗ के लम्बवत् है, तो दोनों कणों के बीच चुंबकीय बल के लिए व्यंजक लिखिए और प्रत्येक कण पर बल की दिशा का वर्णन कीजिए। (10 अंक)
(d) 1·5 वोल्ट विद्युत वाहक बल तथा 1 ओम आंतरिक प्रतिरोध का एक सेल और 2 वोल्ट विद्युत वाहक बल तथा 2 ओम आंतरिक प्रतिरोध का दूसरा सेल 5 ओम के बाह्य प्रतिरोध के सिरों पर समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। परिपथ की प्रत्येक शाखा में धारा का मान ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(e) चित्र में दिखाए गए R-L-C परिपथ पर विचार कीजिए। परिपथ के Q-गुणक की गणना कीजिए। क्या परिपथ में अनुनादी आवृत्ति होती है? उत्तर का औचित्य दीजिए : (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivation, correct units, clear diagrams, and physical interpretation for all parts.
State barometric formula or derive from hydrostatic equilibrium
Substitute T=300K, M=28g/mol, g=9.8m/s²
Solve for h using ln(2) or log(2)
Final answer in km with units
Calculate ΔS_body = Cp ln(Tf/Ti)
Calculate ΔS_res = -Cp(Tf-Ti)/Tf
Sum to get ΔS_total expression
Prove ΔS_total > 0 using Taylor expansion or inequality
50MderiveMaxwell equations, thermodynamics and heat capacities
(a) Write down Maxwell's equations in a non-conducting medium with constant permeability and susceptibility (ρ = j = 0). Show that E⃗ and B⃗ each satisfies the wave equation, and find an expression for the wave velocity. Write down the plane wave solutions for E⃗ and B⃗, and show how E⃗ and B⃗ are related. (15 marks)
(b) (i) One mole of gas obeys van der Waals equation of state. If its molar internal energy is given by u = cT – a/V (in which V is the molar volume, a is one of the constants in the equation of state and c is a constant), calculate the molar heat capacities Cv and Cp. (10 marks)
(ii) A compressor designed to compress air is used instead to compress helium. It is found that the compressor overheats. Explain this effect, assuming that the compression is approximately adiabatic and the starting pressure is same for both the gases. [γHe = 5/3, γAir = 7/5] (10 marks)
(c) A gas of interacting atoms has an equation of state and heat capacity at constant volume given by the expressions
p(T, V) = aT¹/2 + bT³ + cV⁻²
Cᵥ(T, V) = dT¹/2 + eT^2V + fT¹/2
where a through f are constants which are independent of T and V. Find the differential of the internal energy dU(T, V) in terms of dT and dV. (15 marks)
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(a) मैक्सवेल के समीकरण को अचालक माध्यम में नियत पारगम्यता और सुग्राहिता (ρ = j = 0) के साथ लिखिए। दर्शाइए कि E⃗ और B⃗ दोनों तरंग समीकरण को संतुष्ट करते हैं, और तरंग वेग के लिए एक व्यंजक प्राप्त कीजिए। E⃗ और B⃗ के लिए समतल तरंग हल लिखिए और दर्शाइए कि E⃗ और B⃗ किस प्रकार संबंधित हैं। (15 अंक)
(b) (i) गैस का एक मोल वान्डर वाल्स अवस्था समीकरण का पालन करता है। यदि इसकी मोलर आंतरिक ऊर्जा u = cT – a/V है (जिसमें V मोलर आयतन, a अवस्था समीकरण में एक स्थिरांक और c एक स्थिरांक है), तो मोलर उष्मा धारिताओं Cv और Cp की गणना कीजिए। (10 अंक)
(ii) हीलियम को संपीड़ित करने के लिए हवा को संपीड़ित करने हेतु अभिकल्पित एक संपीड़ित्र का उपयोग किया गया है। यह पाया गया कि संपीड़ित्र ज्यादा गरम होता है। इस प्रभाव की व्याख्या कीजिए, यह मानते हुए कि संपीड़न लगभग रुद्धोष्म है और दोनों गैसों के प्रारंभिक दाब समान हैं। [γHe = 5/3, γहवा = 7/5] (10 अंक)
(c) परस्पर क्रिया करने वाले परमाणुओं की एक गैस की अवस्था और स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता के समीकरणों के व्यंजक निम्नानुसार हैं :
p(T, V) = aT¹/2 + bT³ + cV⁻²
Cᵥ(T, V) = dT¹/2 + eT^2V + fT¹/2
जहाँ a से f नियतांक हैं जो T और V से स्वतंत्र हैं। आंतरिक ऊर्जा dU(T, V) का अवकल मान dT और dV के पदों में ज्ञात कीजिए। (15 अंक)
Answer approach & key points
(a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(ii)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Complete derivations with all steps shown, correct final expressions, and physical interpretation.
State Maxwell's equations for non-conducting medium (ρ=j=0)
Derive wave equation for E and B using curl of curl identity
Identify wave velocity v = 1/√(με)
Show relation B = (1/v) k̂ × E for plane waves
Use Cv = (∂u/∂T)_V to find Cv = c
Use Cp - Cv = T(∂p/∂T)_V (∂V/∂T)_p
Apply van der Waals equation to find (∂p/∂T)_V
Express Cp in terms of Cv and van der Waals constants
(a) A metal guitar string with a length of 70 cm vibrates at its fundamental frequency of 246.94 Hz in a uniform magnetic field of 10 T oriented perpendicular to the plane of vibration of the string. Assume a sinusoidal form for the amplitude of the vibrational mode, and a maximum displacement of 3 mm at the centre of the string. What is the maximum e.m.f. generated across the length of the guitar string, and at what point in time in the string's motion does that occur? What would be the e.m.f. if the same guitar string vibrates at its second harmonic frequency? Briefly explain. (20 marks)
(b) A thermally insulated cylinder, closed at both ends, is fitted with a frictionless heat-conducting piston which divides the cylinder in two parts. Initially, the piston is clamped in the centre, with one litre of air at 200 K and 2 atm pressure on one side and one litre of air at 300 K and 1 atm pressure on the other side. The piston is released and the system reaches equilibrium in pressure and temperature, with the piston at a new position. Compute the final pressure and temperature. (15 marks)
(c) A current sheet having K⃗ = 9.0 a_y A m⁻¹ is located at z = 0. The interface is between the region 1, z < 0, μᵣ₁ = 4, and region 2, z > 0, μᵣ₂ = 3. Given that H⃗₂ = 14.5 aₓ + 8.0 a_z A m⁻¹. Find H⃗₁ and B⃗₁. (15 marks)
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(a) एक धातु के गिटार का तार 70 cm की लंबाई के साथ 246.94 Hz की अपनी मूल आवृत्ति पर 10 T के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र, जो कि तार के कंपन-तल के लंबवत् है, में कंपन कर रहा है। माना कि कंपन अवस्था का आयाम ज्यावक्रीय और तार का अधिकतम विस्थापन 3 mm तार के केंद्र में है। गिटार के तार की लंबाई में उत्पन्न अधिकतम वि. बा.ओ. बल क्या है और किस समय तार की गति में ऐसा होता है? यदि वही गिटार का तार अपनी दूसरी संगादी आवृत्ति पर कंपन करता है, तो वि. बा.ओ. बल क्या होगा? संक्षेप में विवेचना कीजिए। (20 अंक)
(b) एक ऊष्मारोधी सिलेंडर, जो दोनों सिरों से बंद है, में एक घर्षणहीन ऊष्मा-चालक पिस्टन लगाते हैं जो सिलेंडर को दो भागों में विभाजित करता है। प्रारंभ में, पिस्टन को केंद्र में रोका जाता है, जिसमें एक तरफ एक लीटर हवा 200 K और 2 atm दाब पर और दूसरी तरफ एक लीटर हवा 300 K और 1 atm दाब पर होती है। पिस्टन को छोड़ा जाता है और निकाय दाब तथा तापमान में साम्यावस्था में पहुँच जाता है, साथ में पिस्टन नई स्थिति में आ जाता है। अंतिम दाब और तापमान की गणना कीजिए। (15 अंक)
(c) एक धारा पटल z = 0 पर स्थित है, जिसमें K⃗ = 9.0 a_y A m⁻¹ है। क्षेत्र 1, z < 0, μᵣ₁ = 4 और क्षेत्र 2, z > 0, μᵣ₂ = 3 के बीच अंतरापृष्ठ (इंटरफेस) है। दिया गया है, H⃗₂ = 14.5 aₓ + 8.0 a_z A m⁻¹। H⃗₁ और B⃗₁ का मान ज्ञात कीजिए। (15 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivations with correct physics, all units, clear explanations, and physical insight.
Apply Faraday's law to moving conductor in B-field
Derive e.m.f. expression using sinusoidal displacement y(x,t)
Calculate numerical value for fundamental frequency 246.94 Hz
Determine e.m.f. for second harmonic and explain difference
(a) In a partially conducting medium, εᵣ = 18.5, μᵣ = 800 and σ = 1 S m⁻¹. Find α, β, η and the velocity u, for a frequency of 10⁹ Hz. Determine H⃗(z, t). Given, E⃗(z, t) = 50 e⁻α z cos(ω t - β a_z) a_y V m⁻¹. (20 marks)
(b) What do you understand by negative temperature? Write and explain various restrictions on a system for the concept of negative temperature to be meaningful. (15 marks)
(c) Starting from the Laplace's equation in a cylindrical polar coordinate system and using the method of separation of variables, obtain the differential equations for the solutions of r, φ and z components of the potential. (15 marks)
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(a) एक आंशिक चालन माध्यम में εᵣ = 18.5, μᵣ = 800 और σ = 1 S m⁻¹ है। 10⁹ Hz आवृत्ति के लिए α, β, η और वेग u ज्ञात कीजिए। H⃗(z, t) ज्ञात कीजिए। दिया गया है, E⃗(z, t) = 50 e⁻α z cos(ω t - β a_z) a_y V m⁻¹। (20 अंक)
(b) ऋणात्मक तापमान से आप क्या समझते हैं? ऋणात्मक तापमान की अवधारणा को सार्थक बनाने के लिए एक निकाय पर विभिन्न प्रतिबंधों को लिखिए और समझाइए। (15 अंक)
(c) बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक निकाय में लाप्लास समीकरण से शुरू करके और चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग करके विभव के घटकों r, φ और z के हलों के लिए अवकल समीकरण प्राप्त कीजिए। (15 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous derivation with all constants defined and units checked.