All 8 questions from UPSC Civil Services Mains Statistics 2021 Paper II (400 marks total). Every stem reproduced in full, with directive-word analysis, marks, word limits, and answer-approach pointers.
8Questions
400Total marks
2021Year
Paper IIPaper
Topics covered
Quality control, sampling, game theory, Markov chains, reliability (1)Reliability, control charts, acceptance sampling (1)Queuing systems and linear programming (1)Linear programming and inventory control (1)Econometrics and vital statistics (1)Time series analysis and index numbers (1)Demography, psychometrics, and life table analysis (1)Econometrics and population projection (1)
A
Q1
50MCompulsorysolveQuality control, sampling, game theory, Markov chains, reliability
Explain Single Sampling Plan with the help of an example. Also, write the importance of an Operating Characteristics Curve in a sampling plan. (10 marks)
Solve the above assignment problem.
Depot
I II III IV V
A 160 130 175 190 200
Town B 135 120 130 160 175
C 140 110 145 170 185
D 50 50 80 80 110
E 55 35 80 80 105
(10 marks)
Use algebraic method to solve the above game.
Player B
B₁ B₂ B₃ B₄
A₁ 0·25 0·20 0·14 0·30
Player A A₂ 0·27 0·16 0·12 0·14
A₃ 0·35 0·08 0·15 0·19
A₄ −0·02 0·08 0·13 0·00
(10 marks)
Consider the Markov Chain with transition probability matrix:
0 1 2
0 (0 1 0)
1 (½ 0 ½)
2 (0 1 0)
Show that the states are periodic and persistent non-null. (10 marks)
State the importance of the hazard function. If the hazard rate of a component is given by:
h(t) = { 0.015, t ≤ 200
{ 0.025, t > 200
then find an expression for the reliability function of the component. (10 marks)
हिंदी में पढ़ें
एक उदाहरण की सहायता से, एकल प्रतिचयन आयोजना की व्याख्या कीजिए। एक प्रतिचयन आयोजना में संकारक अभिलक्षण वक्र के महत्व को भी लिखिए। (10 अंक)
निम्नलिखित नियतन समस्या को हल कीजिए :
डिपो
I II III IV V
A 160 130 175 190 200
शहर B 135 120 130 160 175
C 140 110 145 170 185
D 50 50 80 80 110
E 55 35 80 80 105
(10 अंक)
बीजीय विधि का उपयोग करके निम्नलिखित खेल को हल कीजिए :
खिलाड़ी B
B₁ B₂ B₃ B₄
A₁ 0·25 0·20 0·14 0·30
खिलाड़ी A A₂ 0·27 0·16 0·12 0·14
A₃ 0·35 0·08 0·15 0·19
A₄ −0·02 0·08 0·13 0·00
(10 अंक)
संक्रमण प्रायिकता आव्यूह
0 1 2
0 (0 1 0)
1 (½ 0 ½)
2 (0 1 0)
के साथ एक मार्कोव श्रृंखला पर विचार कीजिए। दर्शाइए कि अवस्थाएँ आवर्ती और सततावृत अनिराकरणीय हैं। (10 अंक)
संकटप्रस्तता फलन के महत्व को बताइए। यदि किसी घटक की संकटप्रस्तता दर इस प्रकार दी गई है :
h(t) = { 0.015, t ≤ 200
{ 0.025, t > 200
तो घटक के विश्वसनीयता फलन के एक व्यंजक को प्राप्त कीजिए। (10 अंक)
Answer approach & key points
(1(a)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (1(b)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (1(c)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (1(d)) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (1(e)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivations, correct algebraic solutions, and clear interpretation of statistical concepts.
Definition of the plan with N, n, c and the accept/reject rule
A worked example with Pa(p)
Importance of the OC curve: discrimination, producer's and consumer's risks, comparing plans
Row and column reduction
Covering lines and adjustment by 15
Assignment A–V, B–III, C–II, D–I, E–IV with cost 570
No saddle point and reduction by dominance to a 2×2 game
Equalising equations giving p = 7/13 and q = 1/13
Value 47/325 and optimal strategies
Period 2 argument from bipartite structure
Irreducibility and finite chain implying persistence
Stationary distribution (1/4, 1/2, 1/4) implying non-null
Hazard h(t) = f(t)/R(t) as instantaneous failure rate and its role in describing ageing
R(t) = exp(−∫h) with the piecewise integration
R(t) = e^(−0.015t) for t ≤ 200 and e^(2 − 0.025t) for t > 200
50MsolveReliability, control charts, acceptance sampling
A manufacturer finds that on the average, a television set is used 1.8 hours per day. A one year warranty is offered on the picture tube having a mean time to failure (MTTF) of 2000 hours. If the distribution of time to failure is exponential, then determine the percentage of tubes failing during the warranty period. (15 marks)
The number of defects on 20 items were recorded as given above:
| Item No. | No. of defects | Item No. | No. of defects |
|----------|----------------|----------|----------------|
| 1 | 2 | 11 | 6 |
| 2 | 0 | 12 | 0 |
| 3 | 4 | 13 | 2 |
| 4 | 1 | 14 | 1 |
| 5 | 0 | 15 | 0 |
| 6 | 8 | 16 | 3 |
| 7 | 0 | 17 | 2 |
| 8 | 1 | 18 | 1 |
| 9 | 2 | 19 | 0 |
| 10 | 0 | 20 | 2 |
Use a suitable control chart to identify whether the process is in control or not? (15 marks)
Explain the concepts of producer's and consumer's risks. It has been decided to sample 100 items at random from each large batch. We reject the batch if more than 2 defectives are found. If the acceptable quality level is 1% and the unacceptable quality level is 5%, then find the producer's and consumer's risks. (20 marks)
हिंदी में पढ़ें
एक निर्माता को यह पता चलता है कि औसतन एक टेलीविजन सेट का उपयोग प्रतिदिन 1.8 घंटे होता है। पिक्चर ट्यूब पर, जिसका विफलता तक माध्य काल (एम टी टी एफ) 2000 घंटे है, एक वर्ष की वारंटी की पेशकश की जाती है। यदि विफलता तक के काल का बंटन चरघातांकी है, तो वारंटी अवधि के दौरान विफल हुई ट्यूबों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए। (15 अंक)
20 मदों पर दोषों की संख्या दर्ज की गई, जो नीचे दी गई है :
| मद संख्या | दोषों की संख्या | मद संख्या | दोषों की संख्या |
|-----------|----------------|-----------|----------------|
| 1 | 2 | 11 | 6 |
| 2 | 0 | 12 | 0 |
| 3 | 4 | 13 | 2 |
| 4 | 1 | 14 | 1 |
| 5 | 0 | 15 | 0 |
| 6 | 8 | 16 | 3 |
| 7 | 0 | 17 | 2 |
| 8 | 1 | 18 | 1 |
| 9 | 2 | 19 | 0 |
| 10 | 0 | 20 | 2 |
एक उपयुक्त नियंत्रण सांचित्र का उपयोग कीजिए और यह पहचानिये कि क्या प्रक्रम नियंत्रण में है या नहीं ? (15 अंक)
उत्पादक और उपभोक्ता के जोखिमों की संकल्पनाओं को समझाइए। प्रत्येक बड़े बैच से 100 मदों का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श निकालने का निर्णय लिया गया है। हम बैच को अस्वीकार करते हैं यदि 2 से अधिक दोषपूर्ण पाये जाते हैं। यदि स्वीकार्य गुणता स्तर 1% है और अस्वीकार्य गुणता स्तर 5% है तो उत्पादक और उपभोक्ता के जोखिमों को प्राप्त कीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Statistics, Paper 2. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) analyse: intro > causes > effects > stakeholders/linkages > way forward | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Rigorous application of formulas with clear interpretation and correct control chart selection.
(a) Explain M|G|1 queuing system. Obtain Pollaczek-kinchine formula. (15 marks)
(b) Use MODI method to solve the above transportation problem:
Store
I II III IV
A 4 6 8 13
B 13 11 10 8
C 14 4 10 13
D 9 11 13 8
Supply
50
70
30
50
Demand 25 35 105 20 (15 marks)
(c) Use two-phase method to solve:
Maximize z = 2x₁ + x₂ + x₃
subject to the constraints 4x₁ + 6x₂ + 3x₃ ≤ 8
3x₁ - 6x₂ - 4x₃ ≤ 1
2x₁ + 3x₂ - 5x₃ ≥ 4
and x₁, x₂, x₃ ≥ 0. (20 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) पंक्ति प्रणाली M|G|1 की व्याख्या कीजिए । पोलेकजेक-किंचिन सूत्र को प्राप्त कीजिए । (15 अंक)
(b) निम्नलिखित परिवहन समस्या का MODI विधि का उपयोग करके हल निकालिए :
भंडार
I II III IV
A 4 6 8 13
B 13 11 10 8
C 14 4 10 13
D 9 11 13 8
पूर्ति
50
70
30
50
मांग 25 35 105 20 (15 अंक)
(c) द्विप्रावस्था विधि का उपयोग करके हल कीजिए :
अधिकतमीकरण z = 2x₁ + x₂ + x₃
निम्न प्रतिबंधों के अंतर्गत 4x₁ + 6x₂ + 3x₃ ≤ 8
3x₁ - 6x₂ - 4x₃ ≤ 1
2x₁ + 3x₂ - 5x₃ ≥ 4
और x₁, x₂, x₃ ≥ 0. (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Operations Research (Queuing Theory, Transportation, Linear Programming). (a) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Flawless derivations and calculations with clear, logical steps and correct final answers.
M|G|1 defined (Poisson arrivals, general service, one server, traffic intensity below 1)
Embedded Markov chain at departure epochs
Final L and L_q formulas
Balancing with a dummy store of demand 15
Valid initial basic feasible solution
Optimal cost Rs 1465
Slack, surplus and artificial variables with Phase I objective
(a) Solve the following linear programming problem:
Maximize z = 3x₁ + 5x₂
subject to the constraints 3x₁ + 2x₂ ≤ 18
x₁ ≤ 4
x₂ ≤ 6
and x₁, x₂ ≥ 0.
Discuss the change in Cⱼ on the optimality of the optimal basic feasible solution. (15 marks)
(b) A manufacturer has to supply his customers with 600 units of his product per year. Shortages are not allowed and storage amounts to 60 paise per unit per year. The set up cost per run is Rs. 80. Find (i) economic order quantity (ii) optimum period of supply per optimum order and (iii) increase in the total cost associated with ordering 20 per cent more and 40% less. (15 marks)
(c) A machine is set to deliver the packets of a given weight. Ten samples of size 5 each were examined and the following results were obtained:
| Sample No. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mean | 43 | 49 | 37 | 44 | 45 | 37 | 51 | 46 | 43 | 47 |
| Range | 5 | 6 | 5 | 7 | 7 | 4 | 8 | 6 | 4 | 6 |
Use mean and range charts to check whether process is under control. (Given for n = 5, d₂ = 2·326 and d₃ = 0·864) (20 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए :
अधिकतमीकरण z = 3x₁ + 5x₂
निम्न प्रतिबंधों के अंतर्गत 3x₁ + 2x₂ ≤ 18
x₁ ≤ 4
x₂ ≤ 6
और x₁, x₂ ≥ 0.
इष्टतम आधारी सुसंगत हल के इष्टतमत्व पर Cⱼ में परिवर्तन का वर्णन कीजिए । (15 अंक)
(b) एक निर्माता को अपने ग्राहकों को प्रति वर्ष अपने उत्पाद की 600 इकाइयों की आपूर्ति करनी पड़ती है। अपयाप्तता की अनुमति नहीं है और गोदाम-भाड़ा 60 पैसे प्रति इकाई प्रति वर्ष है। झोंका लागत प्रति दौर 80 रुपये है। प्राप्त कीजिए (i) आर्थिक आदेश मात्रा (इकोनोमिक ऑर्डर क्वांटिटी) (ii) प्रति इष्टतम आदेश की आपूर्ति की इष्टतम अवधि और (iii) 20 प्रतिशत अधिक और 40% कम आदेश करने से संबंधित कुल लागत में वृद्धि। (15 अंक)
(c) एक मशीन को दिये गये वजन के पैकेट देने के लिए सेट किया गया है। प्रत्येक आमाप 5 के दस प्रतिदर्शों की जाँच की गई और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए :
| प्रतिदर्श संख्या | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| माध्य | 43 | 49 | 37 | 44 | 45 | 37 | 51 | 46 | 43 | 47 |
| परिसर | 5 | 6 | 5 | 7 | 7 | 4 | 8 | 6 | 4 | 6 |
माध्य और परिसर सांचित्रों का उपयोग करके जाँच कीजिए कि क्या प्रक्रम नियंत्रण में है ?
(n = 5 के लिए दिया है, d₂ = 2·326 और d₃ = 0·864) (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Operations Research / Management Science. (a) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) examine: intro > how/why with reasoning > evidence > conclusion Full marks: Flawless calculations, clear sensitivity analysis, and precise control chart interpretation.
50MCompulsoryexplainEconometrics and vital statistics
(a) Explain Zellner's seemingly unrelated regression model and the feasible generalized least squares method of estimating the model. (10 marks)
(b) Explain the functions of N.S.S.O. (10 marks)
(c) Obtain the generalized least squares estimators in the two-variable model Yᵢ = β₁ + β₂Xᵢ + uᵢ assuming the heteroscedastic variances are known and obtain their variances. (10 marks)
(d) Why is it considered desirable to convert gross scores to some standard scores? Define 'standard scores' and 'normalised scores' and describe how they are derived. (10 marks)
(e) Fill in blanks which are marked with a query in the above skeleton life table and explain the meaning of the symbols at the heads of the columns. (10 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) जेलनर के प्रतीयमानतः असंबंधित समाश्रयण निदर्श की व्याख्या कीजिए और निदर्श का आकलन करने के लिए सुसंगत व्यापकीकृत न्यूनतम वर्ग विधि को समझाइए। (10 अंक)
(b) राष्ट्रीय प्रतिदर्श सर्वेक्षण संगठन (एन.एस.एस.ओ.) के प्रकार्यों को समझाइए। (10 अंक)
(c) यह मानते हुए कि विषम विचलिता प्रसरण ज्ञात है, द्विचर निदर्श Yᵢ = β₁ + β₂Xᵢ + uᵢ में व्यापकीकृत न्यूनतम वर्ग आकलकों को प्राप्त कीजिए और उनके प्रसरणों को प्राप्त कीजिए। (10 अंक)
(d) सकल समकों को किन्हीं मानक समकों में रूपांतरित करने को क्यों वांछनीय माना जाता है? 'मानक समकों' और 'प्रसामान्यीकृत समकों' को परिभाषित कीजिए और इन्हें कैसे व्युत्पन्न किया जाता है, इसका वर्णन कीजिए। (10 अंक)
(e) रिक्त स्थानों को भरें, जो निम्नलिखित कंकाल बय-सारणी में एक क्वेरी के साथ चिह्नित हैं और कॉलम के प्रमुखों पर प्रतीकों का अर्थ समझाइए। (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (d) define: precise definition > the distinguishing feature > one example | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All parts complete with correct derivations, formulas, and interpretations; no arithmetic errors; clear notation.
Equations linked through contemporaneous disturbance correlation Σ ⊗ I
OLS inefficient; FGLS two-step estimation of Σ
Cases of no efficiency gain (diagonal Σ, identical regressors)
Design and conduct of large-scale sample surveys
Methodology, sampling frames and quality control
Data dissemination for policy use
Weights w = 1/sigma squared and weighted least squares
Estimators of beta 1 and beta 2
Variances and covariance from (X′WX)⁻¹
Comparability across tests and groups
Standard score as linear transformation (z, T)
Normalised score derived via percentile ranks and normal table
(a) Explain Box-Jenkins methodology to build ARIMA models. (15 marks)
(b) Prepare the cost of living index for 2006 on the basis of 2005 from the above data by (i) aggregative method and (ii) method of weighted relatives and comment. (15 marks)
(c) Explain price statistics relating to 'Price Quotations'. Elucidate publications of data concerning foreign trade of India. (20 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) अरीमा (ARIMA) निदर्शों को बनाने के लिए बाक्स-जेनकिंस विधि तंत्र की व्याख्या कीजिए। (15 अंक)
(b) निम्नलिखित आंकड़ों से 2005 के आधार पर 2006 के लिए निर्वाह-सूचकांक तैयार कीजिए (i) सामुदायिक विधि द्वारा और (ii) भारित अनुपातों की विधि द्वारा, और अपनी टिप्पणी दीजिए। (15 अंक)
(c) 'मूल्य कोटेशनों' से संबंधित मूल्य आंकड़े बताइए। भारत के विदेशी व्यापार के विषय में आंकड़ों के प्रकाशनों को स्पष्ट कीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Box-Jenkins Methodology. (a) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Precise methodology steps, error-free index calculations, and specific trade publication names.
50MderiveDemography, psychometrics, and life table analysis
(a) If c(x, t) denote observed proportion of females in the age group (x, x+t) and f(x, t) is the observed proportion of females giving birth to female children in the age group (x, x+t) at time t. Let us assume that X is uniformly distributed in (α, β). Then show that
B̂_f(t)=[r̂_c,f|t σ̂_c σ̂_f (β-α) + ([T̂_f(t)]²)/((β-α)) 1/(Ĝ_f(t))],
where T̂_f(t) is the estimated total fertility.
B̂_f(t) is the estimated female birthrate at time t.
Ĝ_f(t) is the estimated General Fertility rate.
r̂_c,f|t represents product moment correlation coefficient between c and f given t.
σ̂_c, σ̂_f are observed standard deviations of c and f respectively.
(15 marks)
(b) What do you mean by Intelligence Quotient (I.Q.) ? Describe the procedure and test of measuring I.Q. How does an aptitude test differ from an Intelligence Test ?
The reliability coefficient of a test of 60 items is 0·65. How much the test should be lengthened to raise the self correlation to 0·95 ? What effect will the doubling and tripling the test's length have upon the reliability coefficients ? What is the reliability of a test having 135 comparable items ?
(15 marks)
(c) Define instantaneous force of mortality (μₓ).
Show that qₓ = (1/lₓ) ∫₀¹ μₓ₊ₜ lₓ₊ₜ dx
where qₓ is the probability of dying within one year following the attainment of age x.
Also prove that μₓ = (1/eₓ⁰) [1 + (deₓ⁰/dx)]
where eₓ⁰ is the complete expectation of life.
(20 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) यदि c(x, t) आयु वर्ग (x, x+t) में महिलाओं का प्रेक्षित अनुपात है और f(x, t) आयु वर्ग (x, x+t) में उन महिलाओं का प्रेक्षित अनुपात है जो महिला बच्चों को जन्म देती हैं, समय t पर। हम यह मान लेते हैं कि X, (α, β) में एकसमान बंटित है। तब दर्शाइए कि
B̂_f(t)=[r̂_c,f|t σ̂_c σ̂_f (β-α) + ([T̂_f(t)]²)/((β-α)) 1/(Ĝ_f(t))],
जहाँ T̂_f(t) आकलित कुल उर्वरता है।
B̂_f(t) समय t पर आकलित महिला जन्म दर है।
Ĝ_f(t) आकलित सामान्य प्रजनन दर है।
r̂_c,f|t निरूपित करता है c और f के बीच गुणन-आश्रित संबंध गुणांक को जब कि t दिया हुआ है।
σ̂_c, σ̂_f क्रमशः: c और f के प्रेक्षित मानक विचलन हैं।
(15 अंक)
(b) बौद्धिक स्तर (आई. क्यू.) से आप क्या समझते हैं ? आई. क्यू. को मापने की विधि और परीक्षण का वर्णन कीजिए। एक उपयुक्ता (एप्टीट्यूड) परीक्षण, एक बौद्धिक परीक्षण से किस प्रकार भिन्न है ?
60 मदों के एक परीक्षण का विश्वसनीयता गुणांक 0.65 है। परीक्षण को कितना लम्बा किया जाना चाहिए ताकि स्व-सहसंबंध (सेल्फ कोरिलेशन) बढ़ कर 0.95 हो जाए ? परीक्षण की लम्बाई को दो गुना और तीन गुना करने पर विश्वसनीयता गुणांकों पर क्या प्रभाव पड़ेगा ? 135 तुलनीय मदों वाले एक परीक्षण की विश्वसनीयता क्या है ?
(15 अंक)
(c) तत्क्षण मरता की तीव्रता (μₓ) को परिभाषित कीजिए ।
दर्शाइए कि qₓ = (1/lₓ) ∫₀¹ μₓ₊ₜ lₓ₊ₜ dx
जहाँ qₓ आयु x प्राप्त करने के उपरान्त एक वर्ष के भीतर मरने की प्रायिकता है ।
यह भी सिद्ध कीजिए कि μₓ = (1/eₓ⁰) [1 + (deₓ⁰/dx)]
जहाँ eₓ⁰ जीवन की पूर्ण प्रत्याशा है ।
(20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: UPSC Statistics Paper 2. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous derivations with all assumptions stated and correct notation throughout.
B = (β − α)E(cf) with E(cf) = Cov + E(c)E(f)
T and G used to express E(f) and E(c)
Final identity obtained
IQ definition and test procedure
Aptitude versus intelligence test
Length 614 items and reliabilities 0.788, 0.848 and 0.807
Definition of the force of mortality as minus dl/dx over l
(a) What is autocorrelation ? What are its consequences ? Explain the Goldfeld-Quandt test and Glesjer test for heteroscedasticity.
(20 marks)
(b) Check the identifiability of the following two-equation system :
β₁₁y₁ₜ + β₁₂y₂ₜ + γ₁₁x₁ₜ + γ₁₂x₂ₜ = u₁ₜ
β₂₁y₁ₜ + β₂₂y₂ₜ + γ₂₁x₁ₜ + γ₂₂x₂ₜ = u₂ₜ
Given the restrictions (i) γ₁₂ = 0, γ₂₁ = 0 and (ii) γ₁₁ = 0, γ₁₂ = 0
(15 marks)
(c) Describe Leslie matrix and describe Leslie Matrix Technique for the population projection.
(15 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) स्वसहसंबंध क्या है ? इसके परिणाम क्या हैं ? विषम विचलितता (हेटेरोस्किडास्टिसिटी) के लिए गोल्डफेल्ड-क्वांट (Goldfeld-Quandt) परीक्षण और ग्लेसजर (Glesjer) परीक्षण को समझाइए ।
(20 अंक)
(b) निम्नलिखित द्वि-समीकरण प्रणाली की अभिज्ञेयता (आइडेंटिफायबिलिटी) की जाँच कीजिए :
β₁₁y₁ₜ + β₁₂y₂ₜ + γ₁₁x₁ₜ + γ₁₂x₂ₜ = u₁ₜ
β₂₁y₁ₜ + β₂₂y₂ₜ + γ₂₁x₁ₜ + γ₂₂x₂ₜ = u₂ₜ
दिये गये प्रतिबंध हैं (i) γ₁₂ = 0, γ₂₁ = 0 और (ii) γ₁₁ = 0, γ₁₂ = 0
(15 अंक)
(c) लेस्ली (Leslie) आव्यूह का वर्णन कीजिए और समष्टि प्रक्षेपण के लिए लेस्ली आव्यूह तकनीक का वर्णन कीजिए ।
(15 अंक)
Answer approach & key points
Framework: UPSC Statistics Paper 2. (a) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b) examine: intro > how/why with reasoning > evidence > conclusion | (c) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance Full marks: Precise definitions, correct application of conditions, clear matrix structure, and logical flow.
Definition of autocorrelation and its consequences (unbiased but inefficient, biased standard errors)
Goldfeld–Quandt: ordering, omitting middle observations, F ratio of residual variances
Glejser: regression of absolute residuals on the regressor
Order and rank conditions stated with M = 2 and K = 2
Case (i): both equations exactly identified
Case (ii): equation 1 over-identified, equation 2 not identified
Structure: fertility in first row, survival on the sub-diagonal
Projection n(t+1) = L n(t) and repeated multiplication