Q1 50M Compulsory prove Probability distributions and statistical inference
(a) Let X and Y be independent random variables with exponential distribution having respective means 1/(λ₁) and 1/(λ₂), λ₁ > 0, λ₂ > 0. Find E [max (X, Y)]. (10 marks)
(b) Using Central Limit Theorem, show that
limₙ → ∞ e⁻ⁿ Σₖ₌₀ⁿ (n^k)/(k!) = 1/2 (10 marks)
(c) An unbiased six-sided die is thrown twice. Let X denote the smaller of the scores obtained. Then show that the probability mass function (p.m.f.) of X is given by :
p_X(x) = (13-2x)/36, x = 1, 2, ..., 6
= 0, otherwise. (10 marks)
(d) Let T₁ and T₂ be two unbiased estimators of θ with Var(T₁) = Var(T₂), then show that
Corr(T₁, T₂) ≥ 2e – 1,
where e is the efficiency of each estimator. (10 marks)
(e) An urn contains 5 marbles of which θ are white and the others black. In order to test null hypothesis H₀ : θ = 3 versus alternative hypothesis H₁ : θ = 4, two marbles are drawn at random. H₀ is rejected if both the marbles are white, otherwise H₀ is accepted.
Show that probability of type I error in case of without replacement and with replacement schemes, both are less than 0·40, but power of the test under with replacement is higher than that of under without replacement scheme. (10 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) मान लीजिए कि X और Y स्वतंत्र एवं चरघातांकी बंटित यादृच्छिक चर हैं जिनके माध्य क्रमशः 1/(λ₁) और 1/(λ₂) हैं, जहाँ λ₁ > 0, λ₂ > 0 है। E [max (X, Y)] ज्ञात कीजिए। (10 अंक)
(b) केन्द्रीय सीमा प्रमेय का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि
limₙ → ∞ e⁻ⁿ Σₖ₌₀ⁿ (n^k)/(k!) = 1/2 (10 अंक)
(c) छः फलकों वाले एक निष्पक्ष पाँसे को दो बार फेंका जाता है। मान लीजिए कि प्राप्त समंकों में छोटे समंक को X से निर्दिष्ट किया जाता है। तब दर्शाइए कि X का प्रायिकता द्रव्यमान फलन (पी.एम.एफ.) इस प्रकार दिया जाता है :
p_X(x) = (13-2x)/36, x = 1, 2, ..., 6
= 0, अन्यथा। (10 अंक)
(d) मान लीजिए θ के लिए T₁ और T₂ दो अनभिनत आकलक हैं जिनके प्रसरण Var(T₁) = Var(T₂) हैं, तब दर्शाइए कि
Corr(T₁, T₂) ≥ 2e – 1,
जहाँ e प्रत्येक आकलक की दक्षता है। (10 अंक)
(e) एक कलश में 5 मार्बल हैं जिनमें से θ सफेद हैं और बाकी काले हैं। निराकरणीय परिकल्पना H₀ : θ = 3 का वैकल्पिक परिकल्पना H₁ : θ = 4 के विरुद्ध परीक्षण करने के लिए दो मार्बल यादृच्छया लिए गए हैं। यदि दोनों मार्बल सफेद आते हैं तो H₀ को अस्वीकार किया जाता है, अन्यथा H₀ को स्वीकार किया जाता है।
दर्शाइए कि प्रथम प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता प्रतिस्थापन रहित तथा प्रतिस्थापन सहित दोनों योजनाओं में 0·40 से कम है, लेकिन परीक्षण की क्षमता प्रतिस्थापन सहित योजना में प्रतिस्थापन रहित योजना से अधिक है। (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (d) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivations with all steps shown, correct notation, and clear interpretation of results
- Distribution of the maximum by independence: P(M ≤ t) = (1 − e^(−λ₁t))(1 − e^(−λ₂t))
- Correct integration of the survival function (or joint density) to get E(M)
- Final result E[max(X, Y)] = 1/λ₁ + 1/λ₂ − 1/(λ₁ + λ₂)
- Identifies the sum of n independent Poisson(1) variables as Poisson(n), so the given sum equals P(Sₙ ≤ n)
- Standardises with E(Sₙ) = Var(Sₙ) = n and applies the CLT: (Sₙ − n)/√n → N(0, 1)
- Concludes P(Sₙ ≤ n) → Φ(0) = 1/2
- Defines X = min(U, V) over 36 equally likely outcomes
- Derives p_X(x) = (13 − 2x)/36 from P(X ≥ x) = ((7 − x)/6)² or by counting 2(6 − x) + 1 outcomes
- States p_X(x) = 0 otherwise and checks that 11, 9, 7, 5, 3, 1 (over 36) sum to 1
- Defines efficiency e = V₀/σ², where V₀ is the minimum (Cramér–Rao) variance of unbiased estimators
- Forms the unbiased estimator (T₁ + T₂)/2 and finds its variance σ²(1 + ρ)/2
- Uses Var((T₁ + T₂)/2) ≥ V₀ to obtain ρ ≥ 2e − 1
- Sets up H₀: 3 white, 2 black and H₁: 4 white, 1 black, with rejection when both marbles are white
- Without replacement: α = C(3,2)/C(5,2) = 0.30 and power = C(4,2)/C(5,2) = 0.60
- With replacement: α = (3/5)² = 0.36 and power = (4/5)² = 0.64, so both α < 0.40 and 0.64 > 0.60
Q2 50M construct Sequential probability ratio test and order statistics
(a) Let a random variable X have exponential distribution with mean 1/θ, θ > 0. To test H₀ : θ = 3 against H₁ : θ = 2, construct sequential probability ratio test. Show that probability of terminating the test at the first stage when null hypothesis is true is 1 – 8/27 ((A–B)/AB), where B and A, B < A, are stopping bounds. (20 marks)
(b) Each Sunday a fisherman visits one of three possible locations near his home : he goes to the sea with probability 1/2, to a river with probability 1/4, or to a lake with probability 1/4. If he goes to the sea there is an 80% chance that he will catch fish; corresponding figures for the river and the lake are 40% and 60% respectively.
(i) Find the probability that, on a given Sunday, he catches fish.
(ii) If, on a particular Sunday, he comes home without catching anything, determine the most likely place that he has been to. (5+10=15 marks)
(c) Let X₁ < X₂ < X₃ be the order statistics from uniform population having probability density function
f(x; θ) = 1/θ, 0 < x < θ.
Show that 4X₁ is an unbiased estimator of θ. (15 marks)
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(a) मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर X का बंटन चरघातांकी है जिसका माध्य 1/θ, θ > 0 है। H₀ : θ = 3 का H₁ : θ = 2 के विरुद्ध परीक्षण करने के लिए अनुक्रमिक प्रायिकता अनुपात परीक्षण की रचना कीजिए। यदि निराकरणीय परिकल्पना सत्य है, तो दर्शाइए कि प्रथम चरण में परीक्षण निरस्त होने की प्रायिकता 1 – 8/27 ((A–B)/AB) है, जहाँ B और A, B < A, समाप्ति सीमाएँ हैं। (20 अंक)
(b) प्रत्येक रविवार को एक मछुआरा अपने घर के पास तीन संभावित स्थानों में से किसी एक स्थान पर जाता है : वह प्रायिकता 1/2 के साथ समुद्र को, प्रायिकता 1/4 के साथ एक नदी को, या प्रायिकता 1/4 के साथ एक सरोवर को जाता है। यदि वह समुद्र को जाता है, तो उसके मछली पकड़ने का संयोग 80% है; अनुरूपी संख्याएँ नदी और सरोवर के लिए क्रमशः 40% और 60% हैं।
(i) दिए गए एक रविवार के दिन वह मछली पकड़े, इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि किसी दिए गए रविवार के दिन वह बिना मछली पकड़े घर वापस आता है, तो वह जहाँ से वापस आया, उस अधिकतम संभावित स्थान का निर्धारण कीजिए। (5+10=15 अंक)
(c) मान लीजिए कि एकसमान समष्टि जिसका प्रायिकता घनत्व फलन
f(x; θ) = 1/θ, 0 < x < θ
है, से X₁ < X₂ < X₃ क्रम प्रतिदर्शज लिए गए हैं। दर्शाइए कि 4X₁, θ का एक अनभिनत आकलक है। (15 अंक)
Answer approach & key points
Framework: SPRT (Sequential Probability Ratio Test). (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Complete derivations with correct notation, clear interpretation, and proper statistical reasoning throughout.
- Likelihood ratio λₙ = (2/3)ⁿ e^(Σxᵢ) and the rule: continue while B < λₙ < A, reject H₀ at λₙ ≥ A, accept H₀ at λₙ ≤ B
- First-stage stopping events X ≥ ln(3A/2) and X ≤ ln(3B/2), using P(X ≥ c) = e^(−3c) under H₀
- Result 1 − (8/27)(1/B³ − 1/A³), reconciled with the printed form by reading A, B as the cubes of the bounds
- Partition of the Sunday into sea, river and lake with probabilities 1/2, 1/4, 1/4
- Total probability: (1/2)(0.8) + (1/4)(0.4) + (1/4)(0.6)
- P(F) = 0.65 = 13/20
- P(no fish) = 1 − 0.65 = 0.35 used as the denominator in Bayes' theorem
- Posterior probabilities: sea 2/7, river 3/7, lake 2/7
- Conclusion: the river is the most likely place, with posterior probability 3/7
- Distribution of the minimum: P(X₁ > x) = (1 − x/θ)³ and density (3/θ)(1 − x/θ)²
- E(X₁) = ∫₀^θ x f₁(x) dx = θ/4 with the substitution y = x/θ
- E(4X₁) = θ for all θ > 0, hence unbiased
Q3 50M solve Probability, statistics, and random variables
(a) (i) How large a sample must be taken in order that the probability will be at least 0.90 that the sample mean will be within 0.4-neighbourhood of the population mean, provided the population standard deviation is 2?
(ii) Examine whether the weak law of large numbers holds for the sequence {Xk} of independent random variables defined as follows:
P(Xk = -1 - 1/k) = 1/2 {1 - (1 - 1/k²)^(1/2)},
P(Xk = 1 + 1/k) = 1/2 {1 + (1 - 1/k²)^(1/2)}. (8+7=15 marks)
(b) Theoretical probabilities in the four cells of a multinomial distribution are (2+θ)/4, (1-θ)/4, (1-θ)/4 and θ/4, whereas the observed frequencies are 108, 27, 30 and 8 respectively, then estimate θ by maximum likelihood method. Also, obtain the standard error of the estimate. (20 marks)
(c) If X is a random variable with characteristic function
φ(t) = {1 - |t|, |t| ≤ 1
0, otherwise,
then obtain the corresponding probability density function. (15 marks)
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(a) (i) एक प्रतिदर्श कितना बड़ा लेना चाहिए ताकि इस बात की प्रायिकता कम-से-कम 0.90 होगी कि प्रतिदर्श माध्य समष्टि माध्य के 0.4 - सामीप्य के दायरे में होगा, बशर्ते कि समष्टि मानक विचलन 2 है?
(ii) परीक्षण कीजिए कि क्या बृहत् संख्याओं का दुर्बल नियम निम्न परिभाषित स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अनुक्रम {Xk} के लिए लागू होता है:
P(Xk = -1 - 1/k) = 1/2 {1 - (1 - 1/k²)^(1/2)},
P(Xk = 1 + 1/k) = 1/2 {1 + (1 - 1/k²)^(1/2)}. (8+7=15 अंक)
(b) एक बहुपद बंटन में चार कोष्ठकों की सैद्धांतिक प्रायिकताएँ (2+θ)/4, (1-θ)/4, (1-θ)/4 और θ/4 हैं, जबकि प्रेक्षित बारंबारताएँ क्रमश: 108, 27, 30 और 8 हैं, तब θ का आकलन अधिकतम सम्भावित विधि से कीजिए। आकलन की मानक त्रुटि भी निकालिए। (20 अंक)
(c) यदि X एक यादृच्छिक चर है जिसका अभिलक्षण फलन
φ(t) = {1 - |t|, |t| ≤ 1
0, अन्यथा,
है, तब संगत प्रायिकता घनत्व फलन को प्राप्त कीजिए। (15 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous derivations with all steps shown and correct final values.
- (i) Chebyshev's inequality: P(|X̄ − μ| < 0.4) ≥ 1 − 25/n, so n ≥ 250
- (ii) E(Xₖ) = (1 + 1/k)√(1 − 1/k²) and Var(Xₖ) = (k + 1)²/k⁴ from the two-point distribution
- (ii) Var(Sₙ) bounded (≤ 4π²/6), so Var(Sₙ)/n² → 0 and the weak law holds
- Log-likelihood 108 ln(2 + θ) + 57 ln(1 − θ) + 8 ln θ (cells 2 and 3 combined) and the score equation
- Quadratic 173θ² + 14θ − 16 = 0 with admissible root θ̂ = (3√313 − 7)/173 ≈ 0.2663
- Fisher information I(θ̂) ≈ 299.4 and SE = 1/√I ≈ 0.0578
- Inversion formula f(x) = (1/2π) ∫ e^(−itx) φ(t) dt over (−1, 1)
- Reduction to (1/π) ∫₀¹ (1 − t) cos(tx) dt and correct evaluation by parts
- f(x) = (1 − cos x)/(πx²) for x ≠ 0 and f(0) = 1/(2π)
Q4 50M discuss Statistical estimation and hypothesis testing
(a) Consider Poisson distribution
P_θ(X = j) = e^(−θ) θ^j / j! = pⱼ, j = 0, 1, 2, ....
Let fⱼ be the frequency for X = j and E(fⱼ) = mⱼ = npⱼ. Discuss how you obtain minimum chi-square estimate for θ. Does minimum chi-square method necessarily yield a sufficient statistic even if it exists ? (20 marks)
(b) (i) Let the joint probability density function of X and Y be
f(x, y) = C . exp {−(4x² + 9y² − xy)},
where C is a constant. Find E(X), V(X), E(Y), V(Y) and the correlation coefficient between X and Y. (10 marks)
(ii) If X₁, X₂, ..., X₆ are independent random variables such that
P(Xᵢ = -1) = P(Xᵢ = 1) = 1/2, i = 1, 2, ..., 6,
then obtain the value of
P[Σᵢ₌₁⁶ Xᵢ = 4]. (5 marks)
(c) The following data present the time (in minutes), that a commuter had to wait to catch a bus to reach his destination :
Days 1 to 10, time in minutes: 23, 25, 12, 07, 17, 16, 13, 26, 27, 12
Days 11 to 20, time in minutes: 14, 14, 16, 19, 23, 24, 12, 18, 11, 08
Use the sign-test at 0·05 level of significance to test the claim of the bus operators that commuters do not have to wait for more than 15 minutes before the bus is made available to them.
[Given Z₍₀.₀₂₅₎ = 1·96, Z₍₀.₀₅₎ = 1·645] (15 marks)
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(a) प्वासों बंटन
P_θ(X = j) = e^(−θ) θ^j / j! = pⱼ, j = 0, 1, 2, ....
पर विचार कीजिए । मान लीजिए कि X = j की बारम्बारता fⱼ है तथा E(fⱼ) = mⱼ = npⱼ है । आप θ का न्यूनतम काई-वर्ग आकल कैसे प्राप्त करेंगे, इसकी विवेचना कीजिए । यदि पर्याप्त प्रतिदर्शज का अस्तित्व भी है तो क्या न्यूनतम काई-वर्ग विधि पर्याप्त प्रतिदर्शज अवश्य देगा ? (20 अंक)
(b) (i) मान लीजिए कि X तथा Y का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन
f(x, y) = C . exp {−(4x² + 9y² − xy)},
है, जहाँ C एक अचर है । E(X), V(X), E(Y), V(Y) और X और Y के बीच सहसंबंध गुणांक को ज्ञात कीजिए । (10 अंक)
(ii) यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X₁, X₂, ..., X₆ इस प्रकार हैं कि
P(Xᵢ = -1) = P(Xᵢ = 1) = 1/2, i = 1, 2, ..., 6 हैं, तब
P[Σᵢ₌₁⁶ Xᵢ = 4]
का मान प्राप्त कीजिए । (5 अंक)
(c) निम्नलिखित आँकड़े एक यात्री को उसके गंतव्य तक पहुँचने के लिए बस को पकड़ने के लिए किए गए प्रतीक्षा समय (मिनटों में) को दर्शाते हैं :
दिन 1 से 10, समय (मिनटों में): 23, 25, 12, 07, 17, 16, 13, 26, 27, 12
दिन 11 से 20, समय (मिनटों में): 14, 14, 16, 19, 23, 24, 12, 18, 11, 08
साइन-परीक्षण का 0·05 सार्थकता स्तर पर उपयोग करते हुए बस संचालकों के द्वारा दावा कि यात्रियों को बस को पकड़ने के लिए 15 मिनट से अधिक प्रतीक्षा नहीं करनी पड़ती, का परीक्षण कीजिए। [दिया गया है Z₍₀.₀₂₅₎ = 1·96, Z₍₀.₀₅₎ = 1·645] (15 अंक)
Answer approach & key points
(a) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close | (b(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivations, correct calculations, and clear interpretations for all parts.
- Minimises Q(θ) = Σ(fⱼ − mⱼ)²/mⱼ = Σ fⱼ²/mⱼ − n and obtains Σ fⱼ²(j − θ)/mⱼ(θ) = 0 using ∂mⱼ/∂θ = mⱼ(j − θ)/θ
- States that the equation is implicit in θ and solved numerically (start from x̄), with small cells pooled
- Answers that the method does not necessarily give a sufficient statistic: T = Σ j fⱼ is sufficient, θ̃ is not a function of T, supported by an example
- Recognises the bivariate normal form with zero means (no linear terms)
- Writes the exponent as ½ zᵀΛz with Λ = [[8, −1], [−1, 18]] (or matches the standard form) and inverts to the covariance matrix (1/143)[[18, 1], [1, 8]]
- V(X) = 18/143, V(Y) = 8/143 and ρ = 1/12
- Defines N as the number of +1 values, N ~ Binomial(6, 1/2), and ΣXᵢ = 2N − 6
- ΣXᵢ = 4 gives N = 5
- P = C(6,5)/2⁶ = 3/32
- Hypotheses H₀: median ≤ 15 against H₁: median > 15 (one-sided)
- Signs: 11 plus and 9 minus, no ties, so n = 20
- Z = (11 − 10)/√5 = 0.447 (0.224 with continuity correction) against Z₀.₀₅ = 1.645; H₀ not rejected, claim stands