Q1 50M Compulsory distinguish Statistical Quality Control and Operations Research
(a) Distinguish between process control and product control. Explain the various sources of variation encountered in a process control study. Suggest how they can be eliminated from the process. 10 marks
(b) The management of ABC company is considering the question of marketing a new product. The fixed cost required in the project is ₹ 4,000. Three factors are uncertain, viz., selling price, variable cost and annual sales volume. The product has life of only one year. The management has the data on three factors as under:
| Selling Price (₹) | Probability | Variable Cost (₹) | Probability | Sales Volume (units) | Probability |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 0·2 | 1 | 0·3 | 2000 | 0·3 |
| 4 | 0·5 | 2 | 0·6 | 3000 | 0·3 |
| 5 | 0·3 | 3 | 0·1 | 5000 | 0·4 |
Consider the sequence of thirty random numbers 81, 32, 60, 04, 46, 31, 67, 25, 24, 10, 40, 02, 39, 68, 08, 59, 66, 90, 12, 64, 79, 31, 86, 68, 82, 89, 25, 11, 98, 16 and using the sequence (first 3 random numbers for the first trial, etc.), simulate the average profit for the above project on the basis of 10 trials. 10 marks
(c) If N(t) is a Poisson process and s < t, find P(N(s) = k | N(t) = n) and comment. 10 marks
(d) What are the assumptions made in the theory of games? Describe the maximin principle and minimax principle. Explain the algebraic method for games without saddle point. 10 marks
(e) What are the importances of censoring in life-testing experiments? Discuss the estimation of parameters involved in exponential distribution with mean θ, using type-2 censored sample. 10 marks
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(a) प्रक्रम नियंत्रण और उत्पाद नियंत्रण में विभेदन कीजिए। एक प्रक्रम नियंत्रण अध्ययन में आने वाले परिवर्तन के विभिन्न स्रोतों की व्याख्या कीजिए। सुझाइए कि इनको प्रक्रम से कैसे विलुप्त किया जा सकता है। 10 अंक
(b) ABC कंपनी का प्रबंधन एक नये उत्पाद के विपणन के प्रश्न पर विचार कर रहा है। इस परियोजना में निश्चित लागत ₹ 4,000 की आवश्यकता है। तीन कारक अनिश्चित हैं, जैसे बिक्री मूल्य, परिवर्तनीय लागत और वार्षिक बिक्री मात्रा। इस उत्पाद का जीवन केवल एक वर्ष का है। प्रबंधन के पास तीन कारकों का डेटा निम्नलिखित है :
| बिक्री मूल्य (₹) | प्रायिकता | परिवर्तनीय लागत (₹) | प्रायिकता | बिक्री मात्रा (इकाइयाँ) | प्रायिकता |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 0·2 | 1 | 0·3 | 2000 | 0·3 |
| 4 | 0·5 | 2 | 0·6 | 3000 | 0·3 |
| 5 | 0·3 | 3 | 0·1 | 5000 | 0·4 |
तीस यादृच्छिक संख्याओं के अनुक्रम 81, 32, 60, 04, 46, 31, 67, 25, 24, 10, 40, 02, 39, 68, 08, 59, 66, 90, 12, 64, 79, 31, 86, 68, 82, 89, 25, 11, 98, 16 पर विचार कीजिए और इस अनुक्रम का प्रयोग करते हुए (पहले अभिप्रयोग के लिए पहली 3 यादृच्छिक संख्याएँ आदि) 10 अभिप्रयोगों के आधार पर उपरोक्त परियोजना के लिए औसत लाभ का अनुकरण (सिमुलेट) कीजिए। 10 अंक
(c) यदि N(t) एक प्वासों प्रक्रम है और s < t है, तो P(N(s) = k | N(t) = n) प्राप्त कीजिए और टिप्पणी दीजिए। 10 अंक
(d) खेलों के सिद्धांत में कौन-सी कल्पनाएँ की जाती हैं? मैक्सिमिन नियम और मिनिमैक्स नियम का वर्णन कीजिए। पल्याण बिंदु रहित खेलों के लिए बीजीय विधि को समझाइए। 10 अंक
(e) जीवन-परीक्षण प्रयोगों में खंड-वर्जन के क्या महत्व हैं? प्रकार-2 के खंड-वर्जित प्रतिदर्श का प्रयोग करके, चरघातांकी बंटन, जिसका माध्य θ है, के प्राचलों के आकलन का वर्णन कीजिए। 10 अंक
Answer approach & key points
(a) compare: paired headings or table > key differences > significance > conclusion | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (d) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance | (e) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close Full marks: All parts answered with correct derivations, clear tables, and precise definitions.
- Process control (control charts, during production, preventive) versus product control (acceptance sampling of finished lots, accept or reject)
- Chance causes versus assignable causes, with the usual sources: men, machines, materials, methods, measurement, environment
- Elimination: detect assignable causes from control-chart signals and correct them at source; chance causes are reduced only by redesigning the process
- Random-number intervals from cumulative probabilities: price 00–19, 20–69, 70–99; cost 00–29, 30–89, 90–99; volume 00–29, 30–59, 60–99
- Profit = (price − variable cost) × volume − 4000 worked out for each of the 10 trials
- Total 21000 and simulated average profit ₹2100
- Conditional probability written with the independent increments N(s) and N(t) − N(s)
- Result C(n, k)(s/t)^k(1 − s/t)^(n−k) for k = 0, 1, …, n
- Comment: the law is Binomial(n, s/t) and does not depend on λ
- Assumptions: rational players, finite strategies, known payoffs, simultaneous choices without collusion, zero-sum
- Maximin (largest row minimum) and minimax (smallest column maximum), with maximin ≤ minimax
- Algebraic method: equal expected payoff against each column, p = (a₂₂ − a₂₁)/D, q = (a₂₂ − a₁₂)/D, V = (a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁)/D
- Importance of censoring: saves time and cost, copes with withdrawn items, uses the survival times of unfailed items
- Type-II censoring (stop at the r-th failure) and likelihood with T = Σx(i) + (n − r)x(r)
- MLE θ̂ = T/r with 2T/θ ~ χ²(2r), unbiased, variance θ²/r
Q2 50M solve Statistical Quality Control and Reliability Theory
(a) Samples of size n = 5 units are taken from a process every hour. The x̄ and R̄ values for a particular quality characteristic are determined. After 25 samples have been collected, we obtain x̄̄ = 20 and R̄ = 4·56.
(i) What are the three-sigma control limits for x̄ and R?
(ii) Estimate the process standard deviation if both the charts exhibit control.
(iii) Assume that the process output is normally distributed. If the specifications are 19 ± 5, what are your conclusions regarding the process capability?
(iv) If the process mean shifts to 24, what is the probability of not detecting this shift on the first subsequent sample?
(d₂ = 2·326, D₁ = 0, D₂ = 4·918, D₃ = 0, D₄ = 2·114, A = 1·342, A₂ = 0·577, A₃ = 1·427, C₄ = 0·940, B₃ = 0, B₄ = 2·089)
15 marks
(b) Define a Weibull distribution with scale parameter α and shape parameter β. Obtain the hazard function and reliability function of the model. Show also that the distribution satisfies increasing, constant and decreasing failure rate based on suitable choice of the shape parameter.
15 marks
(c) A company uses the following acceptance-sampling procedure—A sample equal to 10% of the lot is taken. If 2% or less of the items in the sample are defective, the lot is accepted, otherwise it is rejected. If the submitted lot varies in size from 5000 units to 10000 units, what can you say about the protection by this plan? If 0·05 is the LTPD, does this scheme offer reasonable protection to the consumer?
20 marks
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(a) एक प्रक्रम से प्रत्येक घंटे आमाप n = 5 यूनिटों के प्रतिदर्श लिये जाते हैं। किसी विशेष गुणता-अभिलक्षण के लिए x̄ और R̄ के मानों को निकाला जाता है। 25 प्रतिदर्शों को एकत्रित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं x̄̄ = 20 और R̄ = 4·56।
(i) x̄ और R के लिए तीन-सिग्मा नियंत्रण सीमाएँ क्या हैं?
(ii) यदि दोनों संचित्र (चार्ट) नियंत्रण प्रदर्शित करते हैं, तो प्रक्रम मानक विचलन का आकलन कीजिए।
(iii) मान लीजिए कि प्रक्रम उत्पादन प्रसामान्यतः बंटित है। यदि विनिर्देश 19 ± 5 हैं, तो प्रक्रम सामर्थ्य के बारे में आपके निष्कर्ष क्या हैं?
(iv) यदि प्रक्रम माध्य 24 पर स्थानांतरित हो जाता है, तो प्रथम परवर्ती प्रतिदर्श पर इस स्थानांतरण को न पहचान पाने की प्रायिकता क्या है?
(d₂ = 2·326, D₁ = 0, D₂ = 4·918, D₃ = 0, D₄ = 2·114, A = 1·342, A₂ = 0·577, A₃ = 1·427, C₄ = 0·940, B₃ = 0, B₄ = 2·089)
15 अंक
(b) एक वेबुल बंटन को परिभाषित कीजिए जिसका मापक्रम प्राचल α और आकृति प्राचल β है। मॉडल का संकटप्रसूता फलन और विश्वसनीयता फलन प्राप्त कीजिए। यह भी दर्शाइए कि आकृति प्राचल के उपयुक्त विकल्प के आधार पर, बंटन वर्धमान, स्थिर और ह्रासमान विफलता दर को संतुष्ट करता है।
15 अंक
(c) एक कंपनी निम्नलिखित स्वीकरण-प्रतिचयन कार्यविधि का प्रयोग करती है—एक प्रतिदर्श लिया गया है प्रचय के 10% के बराबर। यदि प्रतिदर्श में 2% या उससे कम मद दोषपूर्ण है, तो प्रचय स्वीकार किया जाता है, अन्यथा यह अस्वीकार कर दिया जाता है। यदि जमा किया गया प्रचय 5000 इकाइयों से 10000 इकाइयों के आमाप में बदलता है, तो आप इस आयोजना द्वारा सुरक्षा के बारे में क्या कह सकते हैं? यदि एल० टी० पी० डी० 0·05 है, तो क्या यह योजना उपभोक्ता को उचित सुरक्षा प्रदान करती है?
20 अंक
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) evaluate: criteria > evidence > balanced judgment Full marks: Complete derivations with clear interpretation and correct application of all constants and formulas.
- x̄ limits 17.369 and 22.631 (A₂R̄ = 2.631) and R limits 0 and 9.640
- σ̂ = R̄/d₂ = 1.960, Cp = 0.850 and Cpk = 0.680, with the conclusion that the process is not capable (about 2.2% outside specifications)
- β = P(17.369 < x̄ < 22.631 | μ = 24) ≈ 0.059, using standard error 0.877
- Density f(x) = (β/α)(x/α)^(β−1)exp[−(x/α)^β] and F(x) = 1 − exp[−(x/α)^β]
- R(x) = exp[−(x/α)^β] and h(x) = (β/α)(x/α)^(β−1)
- Sign of h′(x) = β(β − 1)x^(β−2)/α^β: decreasing for β < 1, constant (1/α) for β = 1, increasing for β > 1
- Plan translated into n = 0.10N and c = 0.002N: (500, 10) for N = 5000 and (1000, 20) for N = 10000
- Pa(p) computed (hypergeometric or a close approximation), for example 0.583 and 0.559 at p = 0.02
- Pa(0.05) ≈ 0.0003 or less, so the consumer is well protected at LTPD; protection differs with lot size
Q3 50M solve Manpower planning, queuing theory and inventory management
(a) It is planned to raise a research team to a strength of 50 chemists, which is to be maintained. The wastage of recruits depends on their length of service which is as follows:
Year : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Total percentage who have left by the end of year : 5 36 55 63 68 73 79 87 97 100
What is the required number of recruitments per year necessary to maintain the required strength? There are 8 senior posts for which the length of service is the main criterion. What is the average length of service after which the next entrant expects promotion to one of these posts? (20 marks)
(b) Explain the structure of a queuing system. Explain M/M/1 queuing system and obtain steady-state solution. Also calculate busy period distribution. (15 marks)
(c) A company that operates for 50 weeks in a year is concerned about its stocks of copper cable. This costs ₹ 240 a metre and there is a demand for 8000 metres a week. Each replenishment costs ₹ 1,050 for administration and ₹ 1,650 for delivery, while holding costs are estimated at 25 percent of value held a year. Assuming that no shortages are allowed, what is the optimal inventory policy for the company? How would this analysis differ if the company wants to maximize its profits rather than minimize cost? What is the gross profit if the company sells the cable for ₹ 360 a metre? (15 marks)
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(a) एक अनुसंधान दल को 50 केमिस्टों की तादाद तक बढ़ाने की योजना है, जिसे बनाये रखना है। रंगरूटों की बर्बादी उनकी सेवा की लंबाई पर निर्भर करती है जो इस प्रकार है :
वर्ष : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
कुल प्रतिशत जो वर्ष के अंत तक छोड़ गये : 5 36 55 63 68 73 79 87 97 100
भर्ती की आवश्यक संख्या क्या है, जबकि आवश्यक तादाद बनाये रखने के लिए प्रतिवर्ष भर्ती जरूरी है? 8 वरिष्ठ पद हैं जिनके लिए सेवा की लंबाई मुख्य मानदंड है। सेवा की औसत लंबाई क्या है जिसके बाद अगला प्रवेशकर्ता इन पदों में से एक पर पदोन्नति की उम्मीद करता है? (20 अंक)
(b) एक पंक्ति प्रणाली की संरचना को समझाइए। M/M/1 पंक्ति प्रणाली की व्याख्या कीजिए और इसके स्थायी-अवस्था हल को निकालिए। व्यस्त अवधि बंटन की गणना भी कीजिए। (15 अंक)
(c) एक कंपनी जो एक वर्ष में 50 सप्ताह तक काम करती है, वह अपने कॉपर केबल के स्टॉक के बारे में चिंतित है। इसकी लागत ₹ 240 प्रति मीटर है और सप्ताह में 8000 मीटर की माँग है। प्रत्येक पुनःपूर्ति की लागत प्रशासन के लिए ₹ 1,050 और डिलीवरी के लिए ₹ 1,650 है, जबकि होल्डिंग लागत एक वर्ष में धारित मूल्य का 25 प्रतिशत अनुमानित है। यह मानते हुए कि कोई कमी की अनुमति नहीं है, कंपनी के लिए इष्टतम सूची नीति क्या है? यह विश्लेषण कैसे भिन्न होगा यदि कंपनी लागत को कम करने के बजाय अपने लाभ को अधिकतम करना चाहती है? यदि कंपनी ₹ 360 प्रति मीटर के लिए केबल बेचती है, तो सकल लाभ क्या है? (15 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Operations Research / Management Science. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivation, correct units, clear interpretation of results in context.
- Proportions present in years 1 to 10: 1, 0.95, 0.64, 0.45, 0.37, 0.32, 0.27, 0.21, 0.13, 0.03, with sum 4.37
- Recruits per year R = 50/4.37 = 11.44 (about 11 to 12)
- Staff by year of service (11.44, 10.87, 7.32, …, 0.34) and the 8 senior posts located at about 6 years of service (7.32 with 7th year or more against 10.98 with 6th year or more)
- Structure: input source, queue (capacity, discipline), service mechanism, departure; Kendall's notation
- M/M/1 balance equations and pₙ = (1 − ρ)ρⁿ with ρ = λ/μ < 1, and L, Lq, W, Wq
- Busy period: B*(s) from λB*² − (λ + μ + s)B* + μ = 0, mean 1/(μ − λ) and the Bessel-function density
- D = 400,000 m a year, A = ₹2,700 per replenishment and h = ₹60 per metre a year
- Q* = √(2AD/h) = 6,000 m, 66.7 orders a year, cycle 0.75 week, ordering plus holding cost ₹360,000 a year
- Gross profit = 144,000,000 − 96,360,000 = ₹47,640,000
Q4 50M solve Linear programming, crew scheduling and sequential sampling
(a) Use penalty method to solve the following linear programming problem :
Maximize Z = x₁ + 2x₂ + 3x₃ - x₄
subject to the constraints
x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 15
2x₁ + x₂ + 5x₃ = 20
x₁ + 2x₂ + x₃ + x₄ = 10
x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0
(20 marks)
(b) An airline that operates seven days a week has the time-table shown below. Crew must have a minimum layover of 5 hours between flights. Obtain the pairing of flights that minimizes layover time away from home. For any given pairing, crew will be based at the city that results in the smaller layover :
Delhi-Jaipur
Flight No. | Departure | Arrival
1 | 7:00 AM | 8:00 AM
2 | 8:00 AM | 9:00 AM
3 | 1:30 PM | 2:30 PM
4 | 6:30 PM | 7:30 PM
Jaipur-Delhi
Flight No. | Departure | Arrival
101 | 8:00 AM | 9:15 AM
102 | 8:30 AM | 9:45 AM
103 | 12 Noon | 1:15 PM
104 | 5:30 PM | 6:45 PM
For each pair, also mention the city where the crew should be based. (15 marks)
(c) What are sequential sampling plans? Suggest a sequential sampling plan for which p₁ = 0·01, α = 0·05, p₂ = 0·06 and β = 0·10. (15 marks)
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(a) निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल दण्ड विधि का प्रयोग करके निकालिए :
अधिकतमीकरण Z = x₁ + 2x₂ + 3x₃ - x₄
निम्न प्रतिबंधों के अंतर्गत
x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 15
2x₁ + x₂ + 5x₃ = 20
x₁ + 2x₂ + x₃ + x₄ = 10
x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0
(20 अंक)
(b) एक एयरलाइन जो सप्ताह में सातों दिन परिचालन करती है, उसकी समय-सारणी नीचे दर्शाई गई है। चालक-दल को उड़ानों के बीच कम-से-कम 5 घंटे का विश्रामकाल लेना चाहिए। उन उड़ानों की जोड़ी प्राप्त कीजिए जिनमें घर से दूर विश्रामकाल का समय न्यूनतम हो। किसी भी दी गई जोड़ी के लिए चालक-दल उस शहर पर आधारित होगा जहाँ विश्रामकाल कम होगा :
दिल्ली-जयपुर
उड़ान सं० | प्रस्थान | आगमन
1 | 7:00 AM | 8:00 AM
2 | 8:00 AM | 9:00 AM
3 | 1:30 PM | 2:30 PM
4 | 6:30 PM | 7:30 PM
जयपुर-दिल्ली
उड़ान सं० | प्रस्थान | आगमन
101 | 8:00 AM | 9:15 AM
102 | 8:30 AM | 9:45 AM
103 | 12 मध्याह्न | 1:15 PM
104 | 5:30 PM | 6:45 PM
प्रत्येक जोड़ी के लिए उस शहर का भी उल्लेख कीजिए जहाँ चालक-दल को आधारित होना चाहिए। (15 अंक)
(c) अनुक्रमिक प्रतिचयन आयोजनाएं क्या हैं? एक अनुक्रमिक प्रतिचयन आयोजना सुझाइए, जिसके लिए p₁ = 0·01, α = 0·05, p₂ = 0·06 और β = 0·10 हो। (15 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Complete, error-free working with clear interpretation and correct notation.
- Artificial variables A₁ and A₂ with penalty −M added to constraints 1 and 2, with x₄ as the starting basic variable in constraint 3
- Correct simplex iterations: x₃ enters and A₂ leaves; x₂ enters and A₁ leaves; x₁ enters and x₄ leaves
- Optimal solution x₁ = x₂ = x₃ = 5/2, x₄ = 0 and maximum Z = 15
- Layover rule with 24 hours added when the gap is under 5 hours, and the smaller of the Delhi-based and Jaipur-based values taken for each pair
- Cost matrix of minimum layovers (row 1: 21.75, 21.25, 17.75, 9.5; row 2: 22.75, 22.25, 18.75, 8.5; row 3: 17.5, 18, 21.5, 18.75; row 4: 9.25, 8.75, 5.25, 22)
- Optimal pairing 1–103, 2–104, 3–101, 4–102 with total 52.5 hours and the base city of each pair
- Sequential plan explained: items inspected one at a time, cumulative defectives compared with acceptance and rejection lines, random sample size, Wald's SPRT
- Constants h₁ = 1.221, h₂ = 1.568 and s = 0.0281 from k = 0.8007 (common logarithms)
- Plan: accept if dₙ ≤ −1.221 + 0.0281n, reject if dₙ ≥ 1.568 + 0.0281n, otherwise continue sampling