Q5 50M Compulsory solve Multivariate normal distribution and linear models
(a) (i) If **X** = (X₁ X₂ X₃)' is distributed as N₃ (μ, Σ), find the distribution of [(X₁ – X₂) (X₂ – X₃)]'. (5 marks)
(ii) Suppose that **X** = (X₁ X₂ X₃)' ~ N₃ (**0**, Σ), where Σ = [[1, ρ, 0],
[ρ, 1, ρ],
[0, ρ, 1]]. Is there a value of ρ for which (X₁ + X₂ + X₃) and (X₁ – X₂ – X₃) are independent ? (5 marks)
(b) Show that **X** = (X₁, X₂, ..., Xₚ)' has p-variate normal distribution if and only if every linear combination (l₁X₁ + l₂X₂ + ... + lₚXₚ) of **X** follows a univariate normal distribution. (10 marks)
(c) Let x₁, x₂, ..., xₙ be n given observations, and suppose that Yᵢ = β₀ + β₁xᵢ + eᵢ; i = 1, 2, ..., n, where β₀, β₁ are unknown parameters and eᵢ are mutually independent normal random variables with E(eᵢ) = 0 and V(eᵢ) = σ², i = 1, 2, ..., n. Also, σ² is assumed to be unknown. Test the null hypothesis H₀ : β₀ = β₁ = 0. (10 marks)
(d) Complete the following analysis of variance table of a design and examine whether there is a significant difference between the treatments at 5% level of significance:
| Source of Variation | Degrees of Freedom | Sum of Squares | Mean Sum of Squares | Variance Ratio |
|---------------------|-------------------|----------------|---------------------|----------------|
| Blocks | — | 21 | 4·2 | — |
| Treatments | — | — | 5·0 | — |
| Error | 15 | 12 | — | |
| Total | — | — | | |
Given that F_·05(3, 15) = 8·70, F_·05(5, 15) = 4·62 (10 marks)
(e) Define regression estimator used for the estimation of population mean. Obtain its bias and Mean Square Error (MSE) to the first order of approximation. (10 marks)
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(a) (i) यदि **X** = (X₁ X₂ X₃)' का बंटन N₃ (μ, Σ) है, तब [(X₁ – X₂) (X₂ – X₃)]' का बंटन ज्ञात कीजिए । (5 अंक)
(ii) माना कि **X** = (X₁ X₂ X₃)' ~ N₃ (**0**, Σ) है, जहाँ Σ = [[1, ρ, 0],
[ρ, 1, ρ],
[0, ρ, 1]] है । क्या ρ का ऐसा कोई मान है जिसके लिए (X₁ + X₂ + X₃) एवं (X₁ – X₂ – X₃) स्वतंत्र हैं ? (5 अंक)
(b) दिखाइए कि **X** = (X₁, X₂, ..., Xₚ)' का बंटन p-चरिय प्रसामान्य बंटन है, यदि और केवल यदि **X** के प्रत्येक रैखीय युग्म (l₁X₁ + l₂X₂ + ... + lₚXₚ) का बंटन एकचरिय (एकविचर) प्रसामान्य बंटन है । (10 अंक)
(c) माना x₁, x₂, ..., xₙ दिए हुए n प्रेक्षण हैं तथा Yᵢ = β₀ + β₁xᵢ + eᵢ; i = 1, 2, ..., n, जहाँ β₀, β₁ अज्ञात प्राचल हैं तथा सभी eᵢ E(eᵢ) = 0 एवं V(eᵢ) = σ², i = 1, 2, ..., n के साथ परस्पर स्वतंत्र प्रसामान्य यादृच्छिक चर हैं । σ² को अज्ञात माना गया है । निराकरणीय परिकल्पना H₀ : β₀ = β₁ = 0 का परीक्षण कीजिए । (10 अंक)
(d) एक अभिकल्पना की निम्नलिखित प्रसरण विश्लेषण सारणी को पूर्ण कीजिए एवं 5% सार्थकता स्तर पर बताइए कि क्या व्यवहारों के मध्य सार्थक अंतर है :
| विचरण स्रोत | स्वतंत्र कोटि | वर्गों का योग | माध्य वर्गों का योग | प्रसरण अनुपात |
|------------|-------------|-------------|------------------|-------------|
| खंड | — | 21 | 4·2 | — |
| व्यवहार | — | — | 5·0 | — |
| त्रुटि | 15 | 12 | — | |
| योग | — | — | | |
दिया गया है F_·05(3, 15) = 8·70, F_·05(5, 15) = 4·62 (10 अंक)
(e) समष्टि माध्य के आकलन के लिए प्रयुक्त समाश्रयण आकलक को परिभाषित कीजिए । इसकी अभिनति (बायस) एवं माध्य वर्ग त्रुटि (एम.एस.ई.) को प्रथम सन्निकटन क्रम तक प्राप्त कीजिए । (10 अंक)
Answer approach & key points
Framework: UPSC Statistics Paper 1. (a(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (a(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: All parts fully answered with correct derivations, clear notation, and proper interpretation.
- Y=AX with A=[[1,-1,0],[0,1,-1]]
- N2(A mu, A Sigma A')
- Mean, variances and covariance entries
- Jointly normal so independent iff covariance zero
- Cov = -1-2 rho
- rho = -1/2, valid since det = 1/2 > 0
- Necessity by linear transformation
- Characteristic function of t'X equals that of X at t
- Matching with Np(mu,Sigma) and uniqueness theorem
- Full-model least squares and SSE with n-2 df
- Restricted SSE = sum Y^2 with 2 restrictions
- F statistic and F(2,n-2) rejection region
- Block df 5, 6 blocks; error MSS 0.8
- Treatment df 3, SS 15; total df 23, SS 48
- F treatments 6.25, blocks 5.25
- Compare with given 8.70: not significant
- Definition ybar + b(Xbar - xbar)
- Bias = -Cov(b, xbar) to first order, order 1/n
- MSE = (1-f)/n (mu02 + beta^2 mu20 - 2 beta mu11)
- MSE = (1-f) mu02 (1-rho^2)/n
Q6 50M solve Multivariate analysis and principal components
(a) Let **X** = (X₁ X₂ X₃)' be distributed as N₃ (μ, Σ), where μ = (2 −1 3)' and Σ = [[4, 1, 0],
[1, 2, 1],
[0, 1, 3]]. Find (i) the conditional distribution of (X₁ X₂)' given X₃ = 2. (ii) partial correlation coefficient ρ₁₂.₃ and multiple correlation coefficient R₁.₂₃ (8+7 marks)
(b) (i) Describe the complete analysis of two-way classified data with multiple (but equal) observations per cell, clearly stating the assumptions used. Also state two examples where such type of analysis is used. (ii) Let three mutually independent variables Y₁, Y₂ and Y₃ having common variance σ² and E(Y₁) = β₁ + β₂, E(Y₂) = β₁ + β₃, E(Y₃) = β₁ + β₂ be given. Show that the linear parametric function p₁β₁ + p₂β₂ + p₃β₃ is estimable if and only if p₁ = p₂ + p₃, clearly stating the assumptions used, if any. (5 marks)
(c) (i) State briefly three reasons why an analyst may wish to perform a principal component analysis. (6 marks) (ii) Define canonical correlations and give two examples of their application. Describe the procedure of working out canonical correlations and canonical variates. (9 marks)
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(a) माना **X** = (X₁ X₂ X₃)' का बंटन N₃ (μ, Σ) है, जहाँ μ = (2 −1 3)' एवं Σ = [[4, 1, 0],
[1, 2, 1],
[0, 1, 3]] । ज्ञात कीजिए (i) (X₁ X₂)' का प्रतिबंधित बंटन जबकि X₃ = 2 दिया है । (ii) आंशिक सहसंबंध गुणांक ρ₁₂.₃ एवं बहु सहसंबंध गुणांक R₁.₂₃ (8+7 अंक)
(b) (i) प्रति कोष्ठ संख्या में बराबर बहु आंकड़े (आब्जर्वेशन्स) रखने वाले द्वि-विध (टू-वे) वर्गीकृत आंकड़ों के सम्पूर्ण विश्लेषण का विवरण, उपयोग में ली गई मान्यताओं का स्पष्ट उल्लेख करते हुए दीजिए । ऐसे दो उदाहरण भी दीजिए जहाँ इस प्रकार के विश्लेषण का उपयोग होता है । (ii) माना कि तीन परस्पर स्वतंत्र चर Y₁, Y₂ और Y₃ जिनका प्रसरण σ² समान है तथा E(Y₁) = β₁ + β₂, E(Y₂) = β₁ + β₃, E(Y₃) = β₁ + β₂ दिए गए हैं । दिखाइए कि रैखीय प्राचलिक फलन p₁β₁ + p₂β₂ + p₃β₃ प्राक्कलनीय है, यदि एवं केवल यदि p₁ = p₂ + p₃ है । साथ ही यदि कोई मान्यताएं प्रयुक्त होती हैं, तो उनका भी स्पष्ट उल्लेख कीजिए । (5 अंक)
(c) (i) संक्षिप्त में तीन कारण लिखिए जिनके कारण विश्लेषक प्रमुख घटक विश्लेषण का प्रयोग करने की इच्छा कर सकता है। (6 अंक) (ii) विहित सहसंबंधों को परिभाषित कीजिए, तथा इनके अनुप्रयोग के दो उदाहरण दीजिए। विहित सहसंबंधों एवं विहित चरों को ज्ञात करने की विधि का वर्णन कीजिए। (9 अंक)
Answer approach & key points
Framework: null. (a(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (a(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(i)) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance | (b(ii)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c(i)) highlight: name the salient points > one line of substance each > close | (c(ii)) define: precise definition > the distinguishing feature > one example Full marks: Rigorous derivations, correct matrix algebra, clear assumptions, and precise definitions.
- Partition and conditional mean (2,-4/3)'
- Conditional covariance [[4,1],[1,5/3]]
- N2 statement
- rho12.3 = 1/sqrt(4*5/3) = sqrt(3/20)
- R1.23^2 = 3/20 via Sigma23 inverse
- Both about 0.387; equal because sigma13=0
- Model with interaction and constraints; assumptions of independence, normality, equal variance
- SS and df for A, B, AB, error
- F-tests starting with interaction
- Two applied examples
- Design matrix with rows (1,1,0),(1,0,1),(1,1,0)
- Estimable iff p in row space
- p=(a+c,a,c) gives p1=p2+p3
- Converse construction and assumptions
- Dimension reduction
- Remedy for multicollinearity
- Visualisation or noise reduction
- Definition of maximum correlation between a'X and b'Y with later pairs uncorrelated
- Eigenvalues of Sxx^-1 Sxy Syy^-1 Syx give squared correlations
- Eigenvector a with normalisation; b proportional to Syy^-1 Syx a
- Two applications
Q7 50M discuss Sampling methods and stratified random sampling
(a) Discuss the difference between sampling for variables and sampling for attributes with examples. For a qualitative characteristic, find an unbiased estimator of population proportion along with its variance when sample is drawn by simple random sampling without replacement. Also obtain an unbiased estimator of this variance. 20
(b) The table given below gives the population and sample sizes, stratum means and variance of a stratified random sample of size 50. Symbols used have their usual meanings.
| Stratum Number | Nᵢ | nᵢ | ȳᵢ | sᵢ² |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 30 | 5 | 35 | 36 |
| 2 | 50 | 10 | 40 | 49 |
| 3 | 60 | 15 | 40 | 81 |
| 4 | 60 | 20 | 55 | 144 |
Verify that the existing allocation is optimum for given 4 strata. Also calculate the estimate of population variance under this allocation. 15
(c) Differentiate between Simple Random Sampling and Probability Proportional to Size Sampling. How will you draw a PPS sample of size n from a population of size N (n < N) by (i) Cumulative Total Method and (ii) Lahri's Method ? Explain. 15
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(a) चरों के प्रतिचयन एवं गुणात्मक चरों के प्रतिचयन में अंतर का उदाहरणों सहित वर्णन कीजिए। एक गुणात्मक अभिलक्षण के लिए समष्टि अनुपात का अनभिनत आकलक तथा इस आकलक का प्रसरण ज्ञात कीजिए जबकि प्रतिचयन प्रतिस्थापन रहित सरल यादृच्छिक विधि द्वारा किया गया है। इस प्रसरण का अनभिनत आकलक भी निकालिए। 20
(b) नीचे दी गई सारणी में 50 आकार के स्तरीकृत यादृच्छिक प्रतिदर्श के स्तरों का माध्य एवं प्रसरण तथा स्तरों की समष्टि का आकार तथा स्तरों से चयनित प्रतिदर्शी आकारों को दिया गया है। चिह्नों को उनके सामान्य अर्थों में प्रयुक्त किया गया है।
| स्तर संख्या | Nᵢ | nᵢ | ȳᵢ | sᵢ² |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 1 | 30 | 5 | 35 | 36 |
| 2 | 50 | 10 | 40 | 49 |
| 3 | 60 | 15 | 40 | 81 |
| 4 | 60 | 20 | 55 | 144 |
प्रमाणित कीजिए कि दिए गए 4 स्तरों के लिए मौजूदा आवंटन इष्टतम है। समष्टि प्रसरण का इस आवंटन के सापेक्ष आकलक भी ज्ञात कीजिए। 15
(c) सरल यादृच्छिक प्रतिचयन तथा आकार अनुपातिक प्रायिकता प्रतिचयन में विभेद कीजिए । एक n आकार के आकार अनुपातिक प्रायिकता प्रतिदर्श को आप (i) संचयी योग विधि तथा (ii) लाहिरी विधि द्वारा N (n < N) आकार की समष्टि से कैसे चुनेंगे ? स्पष्ट कीजिए । 15
Answer approach & key points
Framework: UPSC Statistics Paper 1. (a) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: All derivations complete, calculations accurate, methods clearly explained with correct notation
- Distinction with examples: quantitative versus qualitative
- p=n'/n unbiased for P
- V(p)=(N-n)PQ/((N-1)n)
- v(p)=(N-n)pq/(N(n-1))
- Neyman allocation n_i proportional to N_i S_i: 180,350,540,720
- Optimum sizes round to 5,10,15,20
- ybar_st = 43.75
- Estimated variance 1.1765
- Equal probability versus probability proportional to size X_i/X
- Cumulative totals, random number 1..X, select by C(i-1)<R<=C(i)
- Lahiri: i from 1..N, j from 1..M, accept if j<=X_i
- Repetition allowed (with replacement)
Q8 50M differentiate Experimental design and statistical models
(a) Differentiate between randomised block design and balanced incomplete block design. In usual notations, for a balanced incomplete block design, prove that (i) bk = vr (ii) λ(v – 1) = r(k – 1) and (iii) b ≥ v. 20
(b) Explain the concept of confounding in design of experiment. In an experiment with three factors A, B and C, each at two levels, three replicates are divided in two blocks, each of four units. How will you confound ABC in the first, AC in the second and BC in the third replication ? 15
(c) Differentiate among fixed, random and mixed effect models with examples. How are the three basic principles of design fulfilled in randomised block design ? Explain. 15
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(a) यादृच्छिक खंड अभिकल्पना तथा संतुलित अपूर्ण खंडक अभिकल्पना में अंतर बताइए । सामान्य प्रयुक्त संकेताक्षरों में सिद्ध कीजिए कि संतुलित अपूर्ण खंडक अभिकल्पना में (i) bk = vr (ii) λ(v – 1) = r(k – 1) तथा (iii) b ≥ v. 20
(b) प्रयोगात्मक अभिकल्पना में संकरण के सिद्धांत की व्याख्या कीजिए । किसी प्रयोग में जिसमें तीन उपादान A, B तथा C जिनमें प्रत्येक दो स्तरों पर हैं, तीन पुनरावृत्त चार इकाइयों के दो खंडों में विभाजित हैं । आप ABC को पहले, AC को दूसरे तथा BC को तीसरे पुनरावृत्त में किस प्रकार संकरित करेंगे ? 15
(c) नियत, यादृच्छिक एवं मिश्रित प्रभाव मॉडलों में उदाहरणों सहित विभेद कीजिए । यादृच्छिक खण्डक अभिकल्पना में अभिकल्पना के तीन मूलभूत सिद्धान्तों का समावेश कैसे होता है ? स्पष्ट कीजिए । 15
Answer approach & key points
Framework: Design of Experiments (DOE) & Statistical Models. (a) compare: paired headings or table > key differences > significance > conclusion | (b) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c) compare: paired headings or table > key differences > significance > conclusion Full marks: Rigorous proofs for (a); precise block construction for (b); clear model distinctions for (c).
- Complete versus incomplete blocks with k<v, r and lambda properties
- bk=vr by counting units
- lambda(v-1)=r(k-1) by counting pairs for one treatment
- Fisher: NN'=(r-lambda)I+lambda J, nonsingular, rank v <= b
- Concept of aliasing an effect with blocks; complete versus partial confounding
- Rep 1 ABC: {a,b,c,abc} and {(1),ab,ac,bc}
- Rep 2 AC: {(1),b,ac,abc} and {a,c,ab,bc}
- Rep 3 BC: {(1),a,bc,abc} and {b,c,ab,ac}
- Fixed versus random versus mixed with inference scope
- Examples for each
- Replication, randomisation and local control in RBD with explanation