UPSC Statistics 2023 — Paper II

(a) सांख्यिकी गुणवत्ता नियंत्रण (एस. क्यू. सी.) से आप क्या समझते हैं ? उद्योग में इसकी आवश्यकता एवं उपयोगिता पर संक्षेप में चर्चा कीजिए । गुणवत्ता में परिवर्तन के कारणों पर चर्चा कीजिए । (10 अंक) (b) विफलता दर Z(t) = t/(t+1) वाले किसी वस्तु (आइटम) पर विचार कीजिए । उत्तरजीविता फलन R(t) लिखिए और इस तरह विफलता तक माध्य काल (एम.टी.टी.एफ.) ज्ञात कीजिए । सप्रतिबन्ध उत्तरजीविता फलन एवं औसत अवशिष्ट जीवन (एम.आर.एल.) भी ज्ञात कीजिए । (10 अंक) (c) निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को ग्राफी विधि का उपयोग करके हल कीजिए : न्यूनतमीकरण 4x₁ + 5x₂ + 6x₃ निम्न प्रतिबन्धों के अन्तर्गत x₁ + x₂ ≥ 11 x₁ - x₂ ≤ 5 x₃ - x₁ - x₂ = 0 7x₁ + 12x₂ ≥ 35 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0 (10 अंक) (d) द्वि-व्यक्ति शून्य-योगी खेल में, सामान्य संकेतन में भुगतान आव्यूह लिखिए । द्वि-व्यक्ति शून्य-योगी खेल पर विचार करें जहाँ प्रत्येक खिलाड़ी एक साथ ही एक निष्पक्ष सिक्का उछालता है । खिलाड़ी B, A को 7 रुपये का भुगतान करता है यदि H, H घटित होता है या T, T घटित होता है अन्यथा खिलाड़ी A, B को 3 रुपये का भुगतान करता है । A का भुगतान आव्यूह लिखिए । खिलाड़ी A के लिए अधिकतम-न्यूनतम (मैक्स मिन) निकष की व्याख्या कीजिए और इस तरह पल्यायन बिन्दु को परिभाषित कीजिए । (10 अंक) (e) मान लीजिए कि समय t पर Xₜ एक पिस्सू की अवस्था है। संक्रमण आव्यूह P ज्ञात कीजिए। Pᵣ[X₂ = 3 | X₀ = 1] भी प्राप्त कीजिए। (10 अंक)

(a) दुष्पितानुपात के लिए नियंत्रण सांचित्र से आप क्या समझते हैं? इसके निर्माण की व्याख्या करें। सैद्धांतिक बंटन को बताइए जिस पर नियंत्रण सीमाएं आधारित होती हैं। (15 अंक) (b) प्रत्येक दिन उत्पादन प्रक्रिया से 50 वस्तुओं के प्रतिदर्श की जांच की गई। प्रत्येक प्रतिदर्श में दोषपूर्ण उत्पाद की संख्या निम्नांकित पाई गई: | दिन | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | | दोषपूर्ण की संख्या | 6 | 2 | 5 | 1 | 2 | 2 | 3 | 5 | 3 | 4 | 12 | 4 | | दिन | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | | दोषपूर्ण की संख्या | 4 | 1 | 3 | 5 | 4 | 1 | 4 | 3 | 5 | 4 | 2 | 3 | एक उपयुक्त नियंत्रण सांचित्र बनाइए और नियंत्रण के लिए जांच कीजिए। कौन सी नियंत्रण सीमाएं आप पर्वर्ती उपयोग के लिए सुझाएंगे? (15 अंक) (c) एक फैक्ट्री में 1000 बल्ब लगे हैं । व्यक्तिगत प्रतिस्थापन की लागत अमरीकी डालर $3 है जबकि समूह प्रतिस्थापन की लागत अमरीकी डालर $1 प्रति बल्ब है । निश्चित अंतराल पर सभी बल्बों को एक साथ बदलने का निर्णय लिया गया और इसके अतिरिक्त बीच में फ्यूज होने वाले अलग-अलग बल्बों को बदलने के लिए भी निर्णय लिया गया । इष्टतम प्रतिस्थापन नीति निर्धारित कीजिए । विफलता प्रायिकता नीचे दी गई है : | सप्ताह | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |--------|-----|------|------|------|------| | विफलता प्रायिकता(p) | 0·10 | 0·25 | 0·50 | 0·70 | 1·00 | (20 अंक)

(a) द्विप्रावस्था विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए : अधिकतमीकरण Z = 3x₁ - x₂ निम्न प्रतिबंधों के अंतर्गत 2x₁ + x₂ ≥ 2, x₁ + 3x₂ ≤ 2, x₂ ≤ 4, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 (b)(i) निम्नलिखित नियतन समस्या को हल कीजिए । प्रकोष्ठ मान मशीनों I, II, III और IV को कार्य A, B, C और D सौंपने की लागतों को दर्शाता है । लागत आव्यूह (पंक्तियाँ: कार्य; स्तंभ: मशीनें I, II, III, IV): A: 10, 12, 19, 11 B: 5, 10, 7, 8 C: 12, 14, 13, 11 D: 8, 15, 11, 9 (b)(ii) दी गई आद्य समस्या के लिए द्वैति लिखिए : अधिकतमीकरण Z = 6x₁ - 5x₂ + 7x₃ + x₄ निम्न प्रतिबंधों के अंतर्गत 2x₁ + 4x₂ - x₃ + x₄ ≤ 4, x₁ - x₂ + 6x₃ + 7x₄ ≥ 5, 2x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 5x₄ = 6, x₁ + 8x₂ + x₃ = 7; x₁ और x₄ अप्रतिबंधित, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0 (c) तालिका नियंत्रण में मूलभूत आर्थिक आदेश मात्रा (ई.ओ.क्यू.) मॉडल क्या है और इसमें ली गई अभिधारणा को बताइए । एक कंपनी का अनुमान है कि वह अपने उत्पादों की 12000 इकाइयाँ आगामी वर्ष में बेचेगी । आदेश लागत 100 रुपये प्रति आदेश है और प्रति वर्ष ले जाने की लागत खरीद मूल्य का 20 प्रतिशत प्रति इकाई है । खरीद मूल्य 50 रुपये प्रति इकाई है । ज्ञात कीजिए (i) आर्थिक आदेश मात्रा (ई.ओ.क्यू.) (ii) प्रति वर्ष आदेशों (ऑर्डरों) की संख्या (iii) क्रमिक आदेशों के बीच का समय ।

(a) एक कंपनी अनाज से भरे ट्रकों को 3 भूमिगत कक्षों (सिलोस) से 4 फैक्ट्रियों (मिल्स) को जहाजों से भेजती है। आपूर्ति (भरे ट्रकों में) और मांग (भी भरे ट्रकों में), विभिन्न मांगों पर इकाई परिवहन लागत प्रति भरा ट्रक के साथ, निम्नलिखित सारणी में संक्षेप में दिये गये हैं : इकाई लागत (पंक्तियाँ: सिलोस; स्तंभ: मिल्स D, E, F, G) और उपलब्धता: A: 11, 13, 17, 14; उपलब्ध 250 B: 16, 18, 14, 10; उपलब्ध 300 C: 21, 24, 13, 10; उपलब्ध 400 आवश्यकताएँ: D 200, E 225, F 275, G 250 उद्देश्य यह है कि न्यूनतम लागत शिपिंग अनुसूची भूमिगत कक्षों (सिलोस) और फैक्ट्रियों (मिल्स) के बीच में ज्ञात कीजिए। कोई भी विधि का उपयोग करें। प्रारंभिक आधारी सुसंगत हल प्राप्त कीजिए। (b)(i) मान लीजिए कि एक निश्चित प्रक्रिया द्वारा निर्मित एक इलेक्ट्रिक गैजेट का जीवनकाल (घंटों में) प्रसामान्यतः बंटित है, जिसके प्राचल μ = 160 घंटे और σ कोई एक मान है। σ का अधिकतम स्वीकार्य मान क्या होगा यदि गैजेट के जीवनकाल X के 120 घंटे और 200 घंटे के बीच होने की प्रायिकता 0.80 है ? (प्रसामान्य बंटन सारणी पृष्ठ के अंत में दी गई है) (b)(ii) मान लीजिए X कंक्रीट की संपीडक शक्ति है जो लघुगणकीय प्रसामान्यतः बंटित है जिसके प्राचल μY = 3 MPa और σY = 0.2 MPa है जबकि Y = logeX है। क्षमता (शक्ति) 10 MPa से कम हो या इसके बराबर हो की प्रायिकता क्या है ? (प्रसामान्य बंटन के लिये सारणी आखरी पृष्ठ में दी है) (c) एक डिपार्टमेंटल स्टोर तीन चेकआउट काउंटरों के साथ संचालित होता है। ग्राहकों की संख्या के आधार पर संचालन में काउंटरों की संख्या निर्धारित करने के लिए, प्रबंधक निम्नलिखित अनुसूची का उपयोग करता है : | भंडार में ग्राहकों की संख्या | संचालन में ग्राहकों की संख्या | |---|---| | 1 से 3 | 1 | | 4 से 6 | 2 | | 6 से अधिक | 3 | प्वासों बंटन के अनुसार ग्राहक काउंटर पर पहुंचते हैं जिसका माध्य दर 10 ग्राहक प्रति घंटा है। औसत चेकआउट समय प्रति ग्राहक एक चरघातीय बंटन है जिसका माध्य 12 मिनट है। चेक आउट क्षेत्र में n ग्राहकों की स्थायी अवस्था प्रायिकता pn ज्ञात कीजिए।

(a) सूचकांकों के निर्माण में लिए जाने वाले महत्वपूर्ण बिन्दुओं को बताइए और चर्चा कीजिए। (10 अंक) (b) अपनी बिक्री के एक अध्ययन में, दिल्ली की एक मोटर कम्पनी ने निम्नलिखित न्यूनतम वर्ग समीकरण प्राप्त किया: y = 1500 + 300x; x = 1, 2, 3, ... जहाँ उत्पत्ति 2000 है, x इकाईयाँ (=1 वर्ष) और y = वार्षिक बेची गई इकाईयों की कुल संख्या है। कम्पनी के पास एक वर्ष में केवल 4500 इकाईयों का उत्पादन करने की भौतिक सुविधाएँ हैं और उसका विश्वास है कि ऐसा मानना उचित है कि कम से कम अगले दशक के लिए यह प्रवृत्ति पहले की तरह जारी रहेगी। (i) बेची गई इकाईयों की संख्या की वार्षिक औसत वृद्धि क्या है? (ii) कम्पनी की अपेक्षित बिक्री किस वर्ष में इसकी वर्तमान भौतिक क्षमता के बराबर हो जायेगी? (iii) वर्ष 2020 के लिए बिक्री की संख्या का अनुमान लगाएँ। (iv) दिए गए रेखिक प्रवृत्ति समीकरण की प्रवणता (स्लोप) क्या है? (v) कम्पनी की वर्तमान भौतिक क्षमता की कितनी अधिकता इस अनुमानित वर्ष 2020 में है? (10 अंक) (c) परीक्षणों की विश्वसनीयता और वैधता से आप क्या समझते हैं? एक परीक्षण की विश्वसनीयता और वैधता के बीच क्या अंतर है? यदि एक परीक्षण की विश्वसनीयता को, परीक्षण को लंबा करके, 0.80 से 0.90 तक बढ़ाया गया, तो इस परीक्षण के लिए वैधता गुणांक 0.60 से बढ़कर कितने मान तक जाना प्रत्याशित होगा? (10 अंक) (d) जनसंख्या वृद्धि दर समय t पर है r(t) = 0.01 + 0.0001 t² यदि समय t = 0 पर कुल जनसंख्या 1,000,000 है, तो समय t = 30 पर जनसंख्या क्या होगी? (10 अंक) (e) दोनों में से कौन-सा उपाय सुझाएँ: रोगता घटना दर (एम.आई.आर.) और रोगता व्यापकता दर (एम.पी.आर.), दवा की मात्रा तय करने के लिए, इसका उपयोग किया जाना चाहिए जो एक मलेरिया प्रभावित क्षेत्र में भेजी जाएगी। एक उदाहरण उद्धृत करें जहाँ अन्य दर उपयोगी हो सकता है। (10 अंक)

(a) न्यूनतम वर्ग के सिद्धांत को समझाइये । काल श्रेणी विश्लेषण में इसका उपयोग प्रवृत्ति समंजन में कैसे किया जाता है ? वक्र y=ab^tc^t² के लिए प्रवृत्ति के समंजन को समझाइए । 15 (b) अनुपन्न काल श्रेणी को परिभाषित कीजिए । एक दी हुई काल श्रेणी की स्थावरता की जाँच (परीक्षण) कैसे करेंगे ? अनुपन्न काल श्रेणी के महत्व को लिखिए । निम्नलिखित काल श्रेणियों की स्थावरता की जाँच कीजिए । (i) Yₜ = Yₜ₋₁ + Uₜ (ii) Yₜ = δ + Yₜ₋₁ + Uₜ (iii) Yₜ = δ Yₜ₋₁ + Uₜ ; -1 ≤ δ ≤ 1 15 (c) विषम विचलितता (हैट्रोसिडास्टिसिटी) की उपस्थिति का पता लगाने की विभिन्न विधियों को बताइए । विषम विचलितता की उपस्थिति पता लगाने के लिए गोल्डफेल्ड-क्वांड्ट (Goldfeld-Quandt) के परीक्षण को संक्षेप में समझाइए । इस परीक्षण को लागू करने के लिए आवश्यक अभिधारणा भी लिखें । उपभोग व्यय पर डेटा के लिए, जो 30 परिवारों के क्रॉस-सेक्शन की आय से संबंधित है, बीच में 4 अवलोकनों को हटाने के बाद, प्रथम 13 प्रेक्षणों और अंतिम 13 प्रेक्षणों के आधार पर साधारण न्यूनतम वर्ग (ओ.एल.एस.) समाश्रयण और उनके संबद्ध वर्गों का अवशिष्ट योग निम्नांकित है : पहले 13 प्रेक्षणों के आधार पर समाश्रयण : Ŷᵢ = 3.4094 + 0.6968 Xᵢ (r² = 0.8887, RSS₁ = 377.17, df = स्वतंत्रकोटि = 11) पिछले (या बाद के) 13 प्रेक्षणों के आधार पर समाश्रयण : Ŷᵢ = -28.0272 + 0.7941 Xᵢ (r² = 0.7681, RSS₂ = 1536.8, स्वतंत्रकोटि (df) = 11) उपरोक्त दिये गये परिणामों के लिए विषम विचलितता की उपस्थिति की जाँच करें और अपना निष्कर्ष लिखें । (F_(11, 11, 5%) = 2.82, F_(11, 11, 1%) = 4.46, F_(13, 13, 5%) = 2.53, F_(13, 13, 1%) = 3.82) 20

7.(a) lₓ के लिए एक उपयुक्त फलनिक रूप से शुरू करके निम्नलिखित सूत्र को व्युत्पन्न कीजिए (i) Lₓ = (lₓ + lₓ₊₁)/2 और (ii) Lₓ = (lₓ – lₓ₊₁)/(log lₓ – log lₓ₊₁) = – dx/log pₓ (iii) e°ₓ = 1/2 + Σᵢ₌₁^∞ (i dₓ₊ᵢ)/lₓ जहाँ lₓ = जत्था (कोहोर्ट) के सदस्य जो आयु x तक जीवित हैं Lₓ = जितने वर्ष जीवित रहे, सकल में l₀ व्यक्तियों के जत्थों द्वारा आयु x और आयु (x+1) के बीच dₓ = व्यक्तियों की संख्या जिनकी मृत्यु आयु x और (x+1) के बीच में होती है = lₓ - lₓ₊₁ pₓ = आयु x के एक व्यक्ति के आयु (x+1) तक जीवित रहने की प्रायिकता है eₓ⁰ = आयु x पर जीवन की प्रत्याशा 7.(b) (i) 400 विद्यार्थियों ने एक परीक्षा दी है। औसत 60 है और मानक विचलन 12 है। Z-समंक और मानक समंकों को प्राप्त कीजिए जो कि यथाप्रास समंकों के तुल्य हैं। यथाप्रास समंक नीचे दिये गये हैं। | यथाप्रास समंक | 84 | 78 | 72 | 66 | 60 | 54 | 48 | 42 | 36 | (ii) दस समंकों 1, 2, ..., 10 को मानक समंकों में बदलो जिनका माध्य 50 और मानक विचलन 10 है। 7.(c) वय-सारणी में lₓ = (100-x)/190 के साथ, 5 ≤ x ≤ 100, ज्ञात कीजिए (i) प्रायिकता कि एक बच्चा जो आयु 5 पर पहुँच गया है, वह आयु 60 तक जीवित रहेगा। (ii) प्रायिकता कि एक व्यक्ति जिसकी आयु 30 वर्ष है वह आयु 80 तक जीवित रहेगा। (iii) प्रायिकता कि एक व्यक्ति जिसकी आयु 40 वर्ष है, वह 5 वर्ष के अन्दर मर जायेगा। (iv) आयु 40 पर जीवन की प्रत्याशा। (v) प्रायिकता कि 30 वर्ष की आयु वाले तीन व्यक्तियों में से कमसे कम एक आयु 80 तक जीवित रहे।

8.(a) कृषि आँकड़ों के संग्रह की विधि की व्याख्या कीजिए। (i) आँकड़ों के संग्रह के लिए राजकीय प्रकाशनों का वर्णन कीजिए। (ii) कृषि उत्पादन से संबंधित विभिन्न राजकीय एजेंसियों द्वारा एकत्र किये गये आँकड़ों का वर्णन कीजिए। 8.(b) सामान्य प्रजनन दर (जी.एफ.आर.) और संपूर्ण प्रजनन दर (टी.एफ.आर.) में अंतर स्पष्ट करें । टी.एफ.आर. = 3.29 से क्या समझते हैं ? संपूर्ण प्रजनन दर (टी.एफ.आर.) के गुणों और अवगुणों के बारे में समझाइए । सकल जनन दर (जी.आर.आर.) और संपूर्ण प्रजनन दर (टी.एफ.आर.) के बीच में संबंध निकालें । जी.आर.आर.(GRR) की व्याख्या कीजिए जब GRR(जी.आर.आर.) >1, <1 या =1 हो । 8.(c) दी गई युगपत् समीकरणों की प्रणाली की अभिज्ञेयता की जाँच करने के लिए क्रम और कोटि प्रतिबंधों को बताइए । निम्नलिखित विस्तारित किनेसियन मॉडल, जो कि आय निर्धारण के लिए है, पर विचार कीजिए : उपभोग फलन : Cₜ = β₁ + β₂ Yₜ - β₃ Tₜ + U₁ₜ निवेश फलन : Iₜ = α₀ + α₁ Yₜ₋₁ + U₂ₜ कर लगना या कर-निर्धारण फलन : Tₜ = γ₀ + γ₁ Yₜ + U₃ₜ आय पहचान : Yₜ = Cₜ + Iₜ + Gₜ जहाँ C = उपभोग व्यय Y = आय I = निवेश T = कर G = सरकार व्यय और U's = त्रुटि (डिस्टर्बेंस टर्म्स) मॉडल में अंतर्जात चर (endogenous variables) C, I, T और Y हैं और पूर्वनिर्धारित चर (predetermined variable) G और Yₜ₋₁ हैं । क्रम शर्त लागू करके प्रणाली में प्रत्येक समीकरण की अभिज्ञेयता (आइडेंटिफाइबिलिटी) की जाँच करें, और समग्र रूप से प्रणाली की जाँच करें । अपना निष्कर्ष लिखें ।