All 8 questions from UPSC Civil Services Mains Statistics
2024 Paper II (400 marks total). Every stem reproduced in full,
with directive-word analysis, marks, word limits, and answer-approach pointers.
8Questions
400Total marks
2024Year
Paper IIPaper
Topics covered
Reliability, CUSUM charts, Sampling inspection, Linear programming, Monte Carlo (1)Control charts, Weibull distribution, Simplex method (1)Linear programming, Markov chains, reliability theory (1)Queueing theory, inventory management, statistical quality control (1)Indian Statistical System, AR(1) model, SLSE, Demography, Intelligence tests (1)OLS and GLS estimators, Index Number Tests, Population projection (1)Identification problem and econometric models (1)Item difficulty scaling and fertility measures (1)
A
Q1
50MCompulsorydescribeReliability, CUSUM charts, Sampling inspection, Linear programming, Monte Carlo
(a) Consider a system consisting of three identical units connected in parallel. The unit reliability factor is 0·90. If the unit failures are independent of one another, and if the successful operation of the system depends on the satisfactory performance of any one unit, determine the system's reliability. 10 marks
(b) Describe the procedure and some of the applications of Cumulative Sum (CUSUM) chart for monitoring process mean. 10 marks
(c) Explain the following terms as used in sampling inspection plans : 5+5=10 marks
(i) Producer's risk
(ii) Average Outgoing Quality Limit
(d) A Linear Programming Problem (LPP) in standard form is as given below :
Optimize Z = CᵀX
subject to AX = B
with X ≥ 0
Write down the Dual Simplex form and its iterative procedure. 10 marks
(e) What is Monte Carlo Simulation ? State the uses and applications of Monte Carlo Simulation. 10 marks
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(a) एक प्रणाली पर विचार कीजिए जिसमें तीन समान इकाइयाँ हों जो समानान्तर में जुड़ी हों। इकाई विश्वसनीयता कारक 0·90 है। यदि इकाई विफलताएँ एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, और यदि प्रणाली का सफल संचालन किसी एक इकाई के संतोषजनक प्रदर्शन पर निर्भर करता है, तो प्रणाली की विश्वसनीयता ज्ञात कीजिए। 10 अंक
(b) प्रक्रम माध्य की निगरानी के लिए संचयी योगफल (सी यू एस यू एम) चार्ट की कार्यविधि और उसके कुछ अनुप्रयोगों का वर्णन कीजिए। 10 अंक
(c) प्रतिचयन निरीक्षण आयोजनाओं में उपयोग होने वाले निम्नलिखित पदों की व्याख्या कीजिए : 5+5=10 अंक
(i) उत्पादक का जोखिम
(ii) औसत निर्गमी गुणता सीमा
(d) मानक रूप में एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या (एल पी पी) नीचे दी गई है :
इष्टतमीकरण (ऑप्टिमाइज़) कीजिए Z = CᵀX
निम्न प्रतिबन्ध के अन्तर्गत AX = B
साथ में X ≥ 0
द्वैत एकल रूप और इसकी पुनरावृत्त प्रक्रिया को लिखिए। 10 अंक
(e) मोंटे कार्लो अनुकरण क्या है ? मोंटे कार्लो अनुकरण के उपयोगों तथा अनुप्रयोगों को बताइए। 10 अंक
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance | (c(i)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c(ii)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (d) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (e) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: All parts show correct method, clear notation, and contextual interpretation.
(a) Obtain the control limits for X̄-chart and R-chart and describe the significance of joint study of these charts. 20 marks
(b) Find the reliability and hazard functions of Weibull distribution with scale parameter θ and shape parameter β, and interpret the findings. 10 marks
(c) Use simplex method to solve the following LPP :
Maximize z = 5x₁ + 2x₂
subject to
6x₁ + x₂ ≥ 6
4x₁ + 3x₂ ≥ 12
x₁ + 2x₂ ≥ 4
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0
20 marks
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(a) X̄-चार्ट तथा R-चार्ट के लिए नियंत्रण सीमाएँ प्राप्त कीजिए और इन चार्टों के साम्मिलित अध्ययन के महत्व का वर्णन कीजिए। 20 अंक
(b) वेबुल बंटन, जिसका मापक्रम प्राचल θ और आकृति प्राचल β है, के लिए विश्वसनीयता एवं संकटप्रस्त (हेजर्ड) फलनों को प्राप्त कीजिए, तथा निष्कर्षों की व्याख्या कीजिए। 10 अंक
(c) एकदा विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या (एल पी पी) को हल कीजिए :
अधिकतमीकरण कीजिए z = 5x₁ + 2x₂
निम्न प्रतिबंधों के अंतर्गत
6x₁ + x₂ ≥ 6
4x₁ + 3x₂ ≥ 12
x₁ + 2x₂ ≥ 4
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0
20 अंक
Answer approach & key points
Framework: Statistics, Paper 2. (a) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivation, correct notation, and clear interpretation of statistical concepts.
Formulas for UCL/LCL of X-bar chart (UCL = X̄ + A2R̄)
Formulas for UCL/LCL of R-chart (UCL = D4R̄, LCL = D3R̄)
Explanation of why both charts are needed (mean vs variability)
50MexplainLinear programming, Markov chains, reliability theory
(a) With respect to a given Linear Programming Problem (LPP), explain the following concepts : 15 marks
(i) Extreme Point Solutions
(ii) Duality Theorem
(iii) Complementary Slackness Principle
(b) Define a Transition Probability Matrix (TPM). When is it said to be Regular and Ergodic ? Check whether the following TPM is Regular or Ergodic. Hence or otherwise obtain the limlimitsₙ → ∞ Pⁿ, where P = 0.88 & 0.12
0.15 & 0.85 . 15 marks
(c) The reliability function R(t) of a cutting assembly is given by :
R(t) = (1-t/(t₀))², & 0 ≤ t ≤ t₀
0 & , t ≥ t₀
(i) Determine the failure rate.
(ii) Does the failure rate increase or decrease with time ?
(iii) Determine the mean time to failure. 8+4+8=20 marks
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(a) एक दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या (एल पी पी) के संदर्भ में, निम्नलिखित संकल्पनाओं की व्याख्या कीजिए : 15 अंक
(i) चरम बिन्दु समाधान
(ii) द्वैत प्रमेय
(iii) पूरक शिथिलता सिद्धांत
(b) संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स (टी पी एम) को परिभाषित कीजिए। इसे कब नियमित और अभ्यतिग्राय (एर्गोडिक) कहते हैं ? परीक्षण कीजिए कि क्या निम्नलिखित संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स (टी पी एम) नियमित है या अभ्यतिग्राय (एर्गोडिक) है। इस प्रकार या अन्य प्रकार से limlimitsₙ → ∞ Pⁿ को प्राप्त कीजिए, जहाँ P = 0.88 & 0.12
0.15 & 0.85 है। 15 अंक
(c) एक कतन समुच्चय (कटिंग असेंबली) का विश्वसनीयता फलन R(t) दिया गया है :
R(t) = (1-t/(t₀))², & 0 ≤ t ≤ t₀
0 & , t ≥ t₀
(i) विफलता दर निर्धारित कीजिए।
(ii) क्या विफलता दर समय के साथ बढ़ती या घटती है ?
(iii) विफलता का औसत समय निर्धारित कीजिए। 8+4+8=20 अंक
Answer approach & key points
(a) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b) define: precise definition > the distinguishing feature > one example | (c(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c(ii)) comment: context > arguments both sides > judgment > close | (c(iii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All parts fully answered with correct derivations, clear definitions, and proper interpretation.
Define Extreme Point Solutions as vertices of feasible region
State Duality Theorem linking primal and dual optimal values
State Complementary Slackness Principle conditions for optimality
Provide a small example or context for each concept
Define TPM with row-stochastic property
Define Regular (some power has all positive entries)
50MsolveQueueing theory, inventory management, statistical quality control
(a) A manually handled toll-booth has two tellers, who are each capable of handling an average of 60 vehicles per hour, with the actual service times exponentially distributed. Vehicles arrive at the booth according to a Poisson process, at an average rate of 100 per hour. Determine the following : 15 marks
(i) The probability that there are more than three vehicles in the booth at the same time
(ii) The probability that a given teller is idle
(iii) The probability that a vehicle spends more than 3 minutes in the booth
(b) PQR Electronics produces 300 transistors per day, which go into the inventory. It supplies 150 transistors per day to XYZ Radios. The annual demand is 37,500 units. The inventory holding cost is 0·25 per transistor per year and the setup cost per production run is 200. Find the following : 15 marks
(i) Economic Order Quantity (EOQ)
(ii) Production run length
(iii) Number of production runs per year
(iv) Maximum Inventory Level
(c) (i) Explain the terms 'chance causes' and 'assignable causes' of variation in quality control. Also provide some principal advantages of statistical quality control. 10 marks
(ii) Describe the procedure of obtaining OC curve for single sampling plan. 10 marks
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(a) एक हस्तेन संभालने वाले टोल बूथ के पास दो टेलर हैं, जो प्रत्येक औसतन 60 वाहनों को प्रति घंटे की दर से संभालने के लिए सक्षम हैं, इनकी वास्तविक सेवा का समय चरघातांकीय बंटित है। वाहन बूथ पर प्वासों प्रक्रम के अनुसार औसतन 100 प्रति घंटे की दर से पहुँचते हैं। निम्नलिखित को निर्धारित कीजिए (ज्ञात कीजिए) : 15 अंक
(i) एक ही समय पर बूथ में तीन से अधिक वाहनों के होने की प्रायिकता
(ii) एक दिया गया टेलर खाली है, इसकी प्रायिकता
(iii) एक वाहन बूथ में 3 मिनट से अधिक बिताता है, इसकी प्रायिकता
(b) PQR इलेक्ट्रॉनिक्स प्रतिदिन 300 ट्रांजिस्टरों का उत्पादन करता है, जो तालिका (इन्वेंटरी) में चले जाते हैं। यह 150 ट्रांजिस्टर प्रतिदिन XYZ रेडियोज को आपूर्ति करता है। वार्षिक मांग 37,500 यूनिट्स है। तालिका धारण लागत 0·25 प्रति ट्रांजिस्टर प्रति वर्ष है और व्यवस्था लागत प्रति प्रोडक्शन रन 200 है। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए : 15 अंक
(i) आर्थिक आदेश मात्रा (ई ओ क्यू)
(ii) प्रोडक्शन रन की लंबाई
(iii) प्रति वर्ष प्रोडक्शन रनों की संख्या
(iv) अधिकतम तालिका (इन्वेंटरी) स्तर
(c) (i) गुणवत्ता नियंत्रण में विचरण के पदों 'संयोग हेतु' और 'निर्देश्य कारणों' की व्याख्या कीजिए। सांख्यिकीय गुणवत्ता नियंत्रण के कुछ मुख्य लाभों को भी बताइए। 10 अंक
(ii) एकल प्रतिचयन आयोजना के लिए संकारक अभिलक्षण (OC) वक्र को प्राप्त करने की प्रक्रिया का वर्णन कीजिए। 10 अंक
Answer approach & key points
Framework: M/M/c Queueing Model; Production-Inventory (EOQ) Model; Statistical Quality Control (SQC). (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c(i)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c(ii)) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance Full marks: Flawless application of M/M/c and EOQ formulas with correct units; precise SQC definitions and clear OC curve procedure.
Identify M/M/2 model with λ=100, μ=60, c=2
Calculate traffic intensity ρ = λ/(cμ) = 5/6
Derive P0 using M/M/c steady-state formula
Apply geometric series for P(N>3) and exponential for P(W>3)
Identify Production Inventory Model (finite production rate)
(a) Discuss the Indian Statistical System. State some important organisations and explain the main working of the National Statistical Organisation (NSO). 10 marks
(b) Consider AR(1) model with non-zero mean 74·3293 and φ = 0·5705. If the last observed value is 67, then obtain the forecasting 1 time unit into the future yields. What is the forecasted value of 5 time units into the future ? 10 marks
(c) Discuss the concept of structure and model for Simultaneous Linear Statistical Equations (SLSE) model. The application of least squares method for estimating the parameters in SLSE model is inappropriate. Explain. 10 marks
(d) (i) Determine the average age at death of those who die between ages x and x + n.
(ii) If l(x) = 100√(100 – x) find μ(84) exactly using appropriate method. 10 marks
(e) What are intelligence tests and how are they used in measuring intelligence ? Define the terms mental age and IQ in this connection. 10 marks
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(a) भारतीय सांख्यिकीय पद्धति पर चर्चा कीजिए । कुछ महत्वपूर्ण संस्थाएँ बताइए तथा राष्ट्रीय सांख्यिकीय संगठन (एन एस ओ) के प्रमुख प्रकार्यों को समझाइए । 10
(b) एक AR(1) मॉडल पर विचार कीजिए जिसका शून्येतर माध्य 74·3293 और φ = 0·5705 है । यदि अंतिम प्रेक्षित मान 67 है, तो भविष्य उपज में 1 समय इकाई पूर्वानुमान प्राप्त कीजिए । भविष्य में 5 समय इकाइयों का पूर्वानुमानित मान क्या है ? 10
(c) युगपत रैखिक सांख्यिकीय समीकरण (एस एल एस ई) मॉडल के लिए संरचना तथा मॉडल की संकल्पना की चर्चा कीजिए । एस एल एस ई मॉडल में प्राचलों का आकलन करने के लिए न्यूनतम वर्ग विधि का अनुप्रयोग अनुचित है । समझाइए । 10
(d) (i) जिनकी मृत्यु, आयु x और x + n के बीच होती है, उनकी मृत्यु के समय औसत आयु ज्ञात कीजिए ।
(ii) यदि l(x) = 100√(100 – x) है, तो उपयुक्त विधि का उपयोग करके μ(84) का यथार्थ मान ज्ञात कीजिए । 10
(e) बुद्धि परीक्षण क्या हैं और बुद्धि को मापने में ये कैसे उपयोग किए जाते हैं ? इस संबंध में मानसिक आयु तथा बौद्धिक स्तर (आई क्यू) पदों को परिभाषित कीजिए । 10
Answer approach & key points
(a) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close | (d(i)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (d(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) define: precise definition > the distinguishing feature > one example Full marks: Comprehensive, accurate, and well-structured answers with clear derivations and interpretations.
50MderiveOLS and GLS estimators, Index Number Tests, Population projection
(a) For the linear model Y = Xβ + u, obtain the expressions for Ordinary Least Squares (OLS) and Generalised Least Squares (GLS) estimators of the parameters. Discuss their properties and compare them. 20 marks
(b) Explain Time Reversal Test, Factor Reversal Test and Circular Test in the Index Number Theory.
Using the following data, verify whether the Laspeyres' formula satisfies Time Reversal Test. 15 marks
(c) Distinguish between population estimates and population projections. Briefly describe the component method of population projection. 15 marks
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(a) रैखिक मॉडल Y = Xβ + u के लिए, प्राचलों के साधारण न्यूनतम वर्ग (OLS) तथा व्यापकीकृत न्यूनतम वर्ग (GLS) आकलकों के व्यंजक प्राप्त कीजिए। उनके गुणों की विवेचना कीजिए और उनकी तुलना कीजिए। 20
(b) सूचकांक सिद्धांत में समय उत्क्रमता परीक्षण, उपादान (तत्व) उत्क्रमता परीक्षण तथा चक्रीय परीक्षण की व्याख्या कीजिए।
निम्नलिखित आँकड़ों का उपयोग करके जाँच कीजिए कि क्या लासपेयर्स का सूत्र समय उत्क्रमता परीक्षण को संतुष्ट करता है। 15
(c) जनसंख्या आकलन और जनसंख्या पूर्वानुमान के बीच अंतर स्पष्ट कीजिए। जनसंख्या पूर्वानुमान के लिए घटक विधि का संक्षेप में वर्णन कीजिए। 15
Answer approach & key points
Framework: UPSC Statistics Paper 2. (a) compare: paired headings or table > key differences > significance > conclusion | (b) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c) compare: paired headings or table > key differences > significance > conclusion Full marks: Rigorous derivations, correct calculations, clear distinctions, and proper interpretation of results.
Derive OLS estimator β̂ = (X'X)⁻¹X'Y
Derive GLS estimator β̂ = (X'Ω⁻¹X)⁻¹X'Ω⁻¹Y
State Gauss-Markov theorem for OLS (BLUE under homoscedasticity)
Compare efficiency of OLS vs GLS under heteroscedasticity
Define Time Reversal Test (P₀₁ × P₁₀ = 1)
Define Factor Reversal Test (P₀₁ × Q₀₁ = V₀₁)
Calculate Laspeyres' index for 1979-1980 and 1980-1979
50MexplainIdentification problem and econometric models
(a) Explain the problem of identification with a suitable example. Also discuss the conditions of identification. Check the identifiability of each equation of the following structural model :
y₁ = 3y₂ – 2x₁ + x₂ + u₁
y₂ = y₃ + x₂ + u₂
y₃ = y₁ – y₂ – 2x₃ + u₃ 15
(b) Explain why mortality situations at two places cannot be compared on the basis of crude death rates. Describe the construction of standardised death rates for this purpose. What is a comparative mortality index and how is it used ? 20
(c) (i) Define reliability of a test. What is the effect of test length on the reliability of a test ? 5
(ii) Give different methods for estimating the reliability of a psychological test. 10
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(a) एक उपयुक्त उदाहरण के साथ अभिनिर्धारण की समस्या को समझाइए। अभिनिर्धारण की शर्तों की भी चर्चा कीजिए । निम्नलिखित संरचनात्मक मॉडल के प्रत्येक समीकरण की अभिज्ञेयता (अभिनिर्धारणीयता) की जाँच कीजिए :
y₁ = 3y₂ – 2x₁ + x₂ + u₁
y₂ = y₃ + x₂ + u₂
y₃ = y₁ – y₂ – 2x₃ + u₃ 15
(b) स्पष्ट कीजिए कि दो स्थानों पर मृत्यु दर की स्थिति की तुलना अशोधित मृत्यु दरों के आधार पर क्यों नहीं की जा सकती । इस उद्देश्य के लिए, मानकीकृत मृत्यु दरों के निर्माण का वर्णन कीजिए । तुलनात्मक मृत्यु दर सूचकांक क्या है और इसका उपयोग कैसे किया जाता है ? 20
(c) (i) एक परीक्षण की विश्वसनीयता को परिभाषित कीजिए । एक परीक्षण की विश्वसनीयता पर परीक्षण की लंबाई का क्या प्रभाव होता है ? 5
(ii) एक मनोवैज्ञानिक परीक्षण की विश्वसनीयता के आकलन के लिए विभिन्न विधियों को बताइए । 10
Answer approach & key points
Framework: Simultaneous Equation Models (SEM) Identification; Demographic Standardization; Psychometric Reliability. (a) explain: definition of identification problem > order and rank conditions > application to given model | (b) explain: limitations of crude rates > construction of standardised rates > comparative mortality index | (c) explain: definition of reliability > effect of test length > estimation methods Full marks: Rigorous application of SEM conditions; clear distinction of standardization methods; precise psychometric definitions.
Order Condition: G - Gi > Mi - 1
Rank Condition: Rank of excluded exogenous variables
Direct Standardization: (Σ expected deaths) / (Σ standard population)
50MsolveItem difficulty scaling and fertility measures
(a) Four items are to be constructed so that they are equispaced on the difficulty scale. If the easiest item is passed by 85% of the group and the most difficult by 25%, find the percentage of individuals in the group passing the other two items.
(Standard Normal tables are provided) 15
(b) Define Crude Birth Rate, General Fertility Rate and Age-specific Fertility Rate and indicate why each is considered an improvement on the preceding measure of fertility.
Define Total Fertility Rate and its utility. 15
(c) (i) Discuss the problem of autocorrelation. What are the consequences of OLS estimators in estimating the parameters in the presence of autocorrelation ?
(ii) Explain the Durbin-Watson test for testing the autocorrelation. 10+10=20
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(a) चार मदों का निर्माण किया जाना है ताकि वे कठिनाई पैमाने पर समान दूरी पर हों । यदि सबसे सरल मद समूह के 85% द्वारा पास किया जाता है तथा सबसे कठिन 25% द्वारा, तो समूह में अन्य दो मदों को पास करने वाले व्यक्तियों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।
(मानक प्रसामान्य सारणी दी गई है) 15
(b) अशोधित जन्म दर, सामान्य प्रजनन दर और वय-विशिष्ट प्रजनन दर को परिभाषित कीजिए तथा बताइए कि प्रत्येक को प्रजनन के पूर्ववर्ती माप पर सुधार क्यों माना जाता है।
संपूर्ण प्रजनन दर को परिभाषित कीजिए तथा इसकी उपयोगिता बताइए। 15
(c) (i) स्वसहसंबंध की समस्या की चर्चा कीजिए। स्वसहसंबंध की उपस्थिति में प्राचलों के आकलन में ओ एल एस आकलकों के क्या परिणाम होते हैं ?
(ii) स्वसहसंबंध के परीक्षण के लिए डर्बिन-वॉटसन परीक्षण की व्याख्या कीजिए। 10+10=20
Answer approach & key points
Framework: UPSC Statistics Paper 2. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) define: precise definition > the distinguishing feature > one example | (c(i)) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close | (c(ii)) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Precise definitions, correct calculations, clear logical flow, and accurate statistical terminology.
State assumption of Normal distribution for ability
Convert 85% and 25% pass rates to Z-scores
Calculate Z-scores for equispaced intermediate items
Convert intermediate Z-scores back to pass percentages
Define Crude Birth Rate (CBR) and its limitations
Define General Fertility Rate (GFR) and its improvement over CBR
Define Age-specific Fertility Rate (ASFR) and its improvement over GFR