All 8 questions from UPSC Civil Services Mains Civil Engineering
2022 Paper I (400 marks total). Every stem reproduced in full,
with directive-word analysis, marks, word limits, and answer-approach pointers.
8Questions
400Total marks
2022Year
Paper IPaper
Topics covered
Structural analysis and design problems (1)Truss analysis, column design and shaft design (1)Structural analysis and design (1)Steel and concrete structural design (1)Fluid mechanics, soil mechanics, open channel flow, dimensional analysis, foundation engineering (1)Boundary layer theory, soil mechanics stress distribution, pump and pipe system (1)Soil mechanics and fluid mechanics (1)Soil mechanics and hydraulic structures (1)
A
Q1
50MCompulsorysolveStructural analysis and design problems
(a) A rod shown in the figure below is subjected to a force of 95 kN. Determine the diameter d of the portion ②, if the stress there is not to exceed 115 N/mm². Also, determine the axial deformation of the rod. Use E = 205 GPa : (10 marks)
(b) A reinforced concrete beam of 250 mm × 500 mm is reinforced with 3 nos. 16 mm dia bars as tension reinforcement. The nominal cover to the reinforcement is 30 mm and diameter of stirrups is 8 mm. Calculate the moment of resistance of the beam. Use M20 and Fe500. Adopt limit state method of design. (10 marks)
(c) A three-hinged parabolic arch of uniform cross-section has a span of 60 m and a central rise of 10 m. It is subjected to a UDL of intensity 15 kN/m covering the whole span. Show that the bending moment is zero at any cross-section of the arch. (10 marks)
(d) Use Castigliano's theorems and determine the vertical displacement of point C of the beam shown in the figure below. Take E = 210 GPa and I = 150×10⁶ mm⁴ : (10 marks)
(e) A vertical member of a truss consisting of an angle section ISA 75×75×8 of E250 grade is welded to a 10 mm thick gusset plate. The factored tensile and compressive forces in the member are 100 kN and 90 kN respectively. Design the weld connection (shop weld) having weld size of 4 mm; only two sides of the angle are welded. Cᵧ = Cᵤ = 21·4 mm for ISA 75×75×8. (10 marks)
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(a) नीचे चित्र में दर्शाई गई एक छड़ पर 95 kN का एक बल लगा है। भाग ② का व्यास d ज्ञात कीजिए, यदि इसमें प्रतिबल 115 N/mm² से अधिक नहीं हो। छड़ का अक्षीय विरूपण भी ज्ञात कीजिए। E = 205 GPa का उपयोग कीजिए : (10 अंक)
(b) एक 250 mm × 500 mm की प्रबलित कंक्रीट धरन को तनन प्रबलन के लिए 16 mm व्यास वाली तीन छड़ों द्वारा प्रबलित किया गया है। प्रबलन का अभिहित आवरण 30 mm है एवं वलयकों का व्यास 8 mm है। धरन के प्रतिरोध-आघूर्ण की गणना कीजिए। M20 एवं Fe500 का उपयोग कीजिए। अभिकल्पना की सीमांत अवस्था विधि का उपयोग कीजिए। (10 अंक)
(c) एकसमान अनुप्रस्थ परिच्छेद वाली एक त्रि-कब्जीय परवलयिक डाट की विस्तृति 60 m एवं मध्य उत्थान 10 m है। इसकी पूरी विस्तृति पर 15 kN/m तीव्रता का एकसमान वितरित भार लगा है। दर्शाइए कि डाट के किसी भी अनुप्रस्थ परिच्छेद पर बंकन आघूर्ण शून्य है। (10 अंक)
(d) कास्टिग्लियानो के प्रमेयों का उपयोग करके नीचे चित्र में दर्शाई गई धरन के बिंदु C पर उद्वधर विस्थापन को निर्धारित कीजिए। E = 210 GPa एवं I = 150×10⁶ mm⁴ लीजिए : (10 अंक)
(e) E250 ग्रेड के एक कोण परिच्छेद ISA 75×75×8 से बना एक कैंची का उद्वधर अवयव 10 mm मोटी गसेट प्लेट से वेल्डित है। अवयव में गुणित तनन एवं संपीडन बल क्रमशः: 100 kN एवं 90 kN हैं। 4 mm वेल्ड आमाप के वेल्ड जोड़ (कार्यशाला वेल्ड) की अभिकल्पना कीजिए; कोण को केवल दो तरफ से वेल्ड किया गया है। ISA 75×75×8 के लिए Cᵧ = Cᵤ = 21·4 mm. (10 अंक)
Answer approach & key points
Solve all five sub-parts systematically, allocating approximately 20% time to each since marks are equal. Begin with stating given data and required unknowns for each part, show complete derivations with formulae, perform calculations with proper units, and conclude with final answers. For parts (a), (b), (d), and (e), ensure IS code references (IS 456:2000, IS 800:2007) where applicable. For part (c), provide the mathematical proof of zero bending moment condition.
Part (a): Apply stress formula σ = P/A to find diameter d = √(4P/πσ), then use δ = PL/AE for axial deformation with consistent units (mm, N, MPa)
Part (b): Calculate effective depth d = 500 - 30 - 8 - 16/2 = 454 mm; determine xu,max = 0.46d for Fe500; check section type and compute Mu using IS 456:2000 Clause 38.1
Part (c): Derive horizontal thrust H = wL²/8h = 675 kN; show that moment at any section Mx = VAx - wx²/2 - Hy = 0 for parabolic arch under UDL
Part (d): Apply Castigliano's second theorem ∂U/∂P = δ; set up strain energy integral U = ∫(M²/2EI)dx; differentiate under integral sign for vertical displacement at C
Part (e): Design fillet weld for combined tension and compression; calculate throat thickness t = 0.7×4 = 2.8 mm; determine required weld length considering eccentricity and IS 800:2007 provisions for shop welds
50MsolveTruss analysis, column design and shaft design
(a) Determine the forces in all the members of a pin-jointed truss shown in the figure below, with a vertical force of 20 kN and a horizontal force of 10 kN acting at C : (15 marks)
(b) A 3 m high square column is effectively held in position but not restrained against rotation at both ends. The size of the column is restricted to 400 mm. Design and detail the column to carry a factored axial load of 2000 kN. Use M25 grade of concrete and Fe500 grade of steel. Use limit state method. (20 marks)
(c) A solid circular shaft is subjected to a bending moment of 10×10³ N-m and a twisting moment of 13 kN-m. In a simple uniaxial tensile test of the same material, it gave the following data: σᵧ = 300 N/mm², E = 200×10³ N/mm², Factor of safety (FOS) = 3, ν = 0·25. Determine the least diameter required using the following: (i) Maximum principal stress theory (ii) Maximum shear stress theory (15 marks)
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(a) नीचे चित्र में दर्शाई गई पिन जोड़ वाली एक कैंची, जिसमें C पर 20 kN का एक उद्वधर बल और 10 kN का एक क्षैतिज बल लगा है, के सभी अवयवों में बलों को निर्धारित कीजिए : (15 अंक)
(b) एक 3 m ऊँचा वर्गाकार स्तम्भ दोनों सिरों पर स्थिति में प्रभावी रूप से आबद्ध परन्तु घूर्णन के प्रति आबद्ध नहीं है। स्तम्भ का आमाप 400 mm तक सीमित है। एक 2000 kN के गुणित अक्षीय भार को वहन करने के लिए स्तम्भ का अभिकल्पन कीजिए एवं विवरण दीजिए। M25 ग्रेड कंक्रीट और Fe500 ग्रेड इस्पात का उपयोग कीजिए। सीमित अवस्था विधि का उपयोग कीजिए। (20 अंक)
(c) एक ठोस वृत्ताकार शाफ्ट पर 10×10³ N-m का बंकन आघूर्ण और 13 kN-m का ऐंठन आघूर्ण लगा है। इसी पदार्थ पर किए गए एक साधारण एक-अक्षीय तनन परीक्षण से निम्नलिखित आँकड़े प्राप्त हुए: σᵧ = 300 N/mm², E = 200×10³ N/mm², सुरक्षा गुणक (FOS) = 3, ν = 0·25। निम्नलिखित का उपयोग करते हुए आवश्यक न्यूनतम व्यास का निर्धारण कीजिए: (i) अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धान्त (ii) अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धान्त (15 अंक)
Answer approach & key points
Solve all three sub-parts systematically, allocating approximately 30% time to part (a) truss analysis, 40% to part (b) column design (highest marks), and 30% to part (c) shaft design. Begin with clear free body diagrams for each part, show complete calculations with IS code references where applicable, and conclude with practical design implications for the column and shaft.
Part (a): Correct identification of zero-force members, application of method of joints or method of sections to determine forces in all truss members with proper sign convention (tension positive, compression negative)
Part (b): Calculation of effective length (L_eff = 3.0 m for pinned-pinned condition), determination of minimum eccentricity as per IS 456, design of column section using interaction formula or SP-16 design charts, and detailing of longitudinal and transverse reinforcement
Part (c): Conversion of bending and twisting moments to equivalent stresses, calculation of principal stresses and maximum shear stress, application of both failure theories with proper FOS consideration
Correct application of limit state method principles for column design including material safety factors (γ_m = 1.5 for concrete, 1.15 for steel)
Proper unit conversions throughout (kN to N, m to mm) and final presentation of results with appropriate significant figures
IS 456:2000 compliance for column design including minimum and maximum reinforcement percentages, spacing requirements, and cover specifications
(a) (i) A simple girder of 20 m span is traversed by a moving uniformly distributed load of 6 m long with an intensity of 2 kN/m, from left to right. Determine the maximum bending moment and shear force at 4 m distant section from the left support. Also, determine the absolute maximum bending moment that may occur anywhere in the girder. (10 marks)
(ii) Determine the maximum force that can be developed in member BC of the bridge truss shown in the figure below due to a moving load of 80×10³ N and a moving uniformly distributed load of 8·50 kN/m. The loading is applied at the top chord. (10 marks)
(b) A laced column of height 8 m is made of 2 nos. ISMC 350 placed back-to-back. The column is restrained against translation and free against rotation at both ends in both directions. Find the distance between them to carry maximum axial compressive load and calculate the factored load-carrying capacity of the column using limit state method. The properties of ISMC 350 are A = 5440 mm², I_zz = 10000 cm⁴, I_yy = 434 cm⁴, C_y = 24.4 mm.
Given:
| KL/r | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
|------|----|----|----|----|----|----|----|----|-----|
| f_cd (MPa) | 224 | 221 | 198 | 183 | 168 | 152 | 136 | 121 | 107 |
| KL/r | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 | 180 |
|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| f_cd (MPa) | 95 | 84 | 74 | 66 | 59 | 53 | 48 | 44 | (15 marks)
(c) A post-tensioned simply supported beam of 300 mm wide × 600 mm depth spans over 10 m and carries a live load of 7 kN/m. The total area of cables is 500 mm² and located at 100 mm from the soffit of the beam. The initial prestress in the cables is 1400 MPa. Compute the net initial and final concrete stresses in the extreme top and bottom fibres at midspan of the beam. Assume loss of prestress = 15%. (15 marks)
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(a) (i) एक 2 kN/m तीव्रता का 6 m लम्बा एकसमान विस्तृत चल भार 20 m की विस्तृति वाले एक साधारण गर्डर पर बायीं से दायीं ओर चलता है। बायीं आलम्ब से 4 m दूर परिच्छेद पर अधिकतम बंकन आघूर्ण और अपरूपण बल निर्धारित कीजिए। गर्डर में कहीं भी उत्पन्न होने वाले निरपेक्ष अधिकतम बंकन आघूर्ण को भी निर्धारित कीजिए। (10 अंक)
(ii) एक 80×10³ N के चल भार और 8·50 kN/m के एकसमान वितरित चल भार के कारण नीचे चित्र में दर्शाई गई पुल ट्रस के अवयव BC में उत्पन्न होने वाले अधिकतम बल को निर्धारित कीजिए। भार उपरीजीवा पर लगे हैं। (10 अंक)
(b) एक 8 m ऊँचा बंधित स्तंभ सहपृष्ठ स्थिति में रखे दो ISMC 350 से बना है। स्तंभ दोनों सिरों पर दोनों दिशाओं में स्थिति में आबद्ध और घूर्णन के प्रति मुक्त है। सीमान्त अवस्था विधि का उपयोग करते हुए अधिकतम अक्षीय संपीडन भार वहन करने के लिए इनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए और स्तंभ की गुणित भार वहन क्षमता की गणना कीजिए। ISMC 350 के गुणधर्म हैं—A = 5440 mm², I_zz = 10000 cm⁴, I_yy = 434 cm⁴, C_y = 24·4 mm।
प्रदत :
| KL/r | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
|------|----|----|----|----|----|----|----|----|-----|
| f_cd (MPa) | 224 | 221 | 198 | 183 | 168 | 152 | 136 | 121 | 107 |
| KL/r | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 | 180 |
|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| f_cd (MPa) | 95 | 84 | 74 | 66 | 59 | 53 | 48 | 44 | (15 अंक)
(c) एक 300 mm चौड़ी × 600 mm गहरी पश्च-तानित शुद्धालम्बित धरन की विस्तृति 10 m है और 7 kN/m का चल भार वहन करती है। केबिलों का कुल क्षेत्रफल 500 mm² है और धरन के अधःस्तल से 100 mm पर स्थित है। केबिल में आरंभिक पूर्व-प्रतिबल 1400 MPa है। धरन की विस्तृति के मध्य में ऊपरी-छोर तंतु और अधो-छोर तंतु में शुद्ध आरंभिक और अंतिम कंक्रीट प्रतिबलों की गणना कीजिए। पूर्व-प्रतिबल में ह्रास = 15% मान लीजिए। (15 अंक)
Answer approach & key points
Solve all four sub-parts systematically, allocating time proportionally to marks: ~20 minutes for (a)(i) moving load on girder, ~20 minutes for (a)(ii) truss influence lines, ~30 minutes for (b) laced column design, and ~30 minutes for (c) prestressed concrete stress calculations. Begin each part with clear identification of the method (influence line diagrams for moving loads, IS 800 provisions for steel columns, IS 1343 for prestressed concrete), show complete derivations with formulae, and conclude with boxed final answers.
For (a)(i): Correct influence line ordinates at 4m section (0.8 and 0.2), maximum BM when load head is at 8.8m from left support giving BM_max = 38.4 kNm, maximum SF when load head at 4m or tail at 4m giving SF_max = ±4.8 kN, and absolute maximum BM at midspan = 50 kNm
For (a)(ii): Proper influence line construction for member BC (zero ordinate at A, maximum at panel point), correct loading positions for maximum force, and final answer incorporating both concentrated and distributed load effects
For (b): Correct effective length factor (K=0.65 for fixed-rotation, free-translation ends), optimal spacing calculation using I_yy = 2[I_YY + A(d/2 + C_y)²] with I_zz = I_yy condition, resulting spacing ≈ 180-190 mm, slenderness ratio calculation, interpolation for f_cd, and factored load capacity
For (c): Correct section properties (Z_top = Z_bottom = 9×10⁶ mm³), prestressing force P = 700 kN after losses, eccentricity e = 200 mm, stress calculations at transfer and service conditions with proper sign convention
Proper use of influence line diagrams with clear sketches showing load positions for critical effects in all moving load problems
Application of relevant IS codes: IS 800-2007 for steel column design and IS 1343-1980 for prestressed concrete
Clear statement of assumptions and boundary conditions for each structural system
(a) Find the maximum load P, which the bracket as shown can transmit. The bolt strength of 20 mm dia and 8·8 grade is assumed to be 82 kN, considering shear and bearing under limit state method. (15 marks)
(b) A continuous beam ABC has span AB = 6 m and BC = 6 m and carries a uniformly distributed load of 25 kN/m covering both the spans AB and BC. Supports A and C are simple supports. If the load factor is 1·75 and the shape factor is 1·144 for the I-section, determine the section modulus required. Use the yield stress for the material as 245 MPa. (15 marks)
(c) Design the vertical stem of a reinforced concrete retaining wall as shown below. The angle of repose of the earth is 30° and its density is 18 kN/m³. Use M25 grade of concrete and Fe500 grade of steel. The wall is safe against stability. Detail the reinforcement in the stem only.
Given:
| M_u/bd² | 1·5 | 1·6 | 1·7 | 1·8 | 1·9 | 2·0 | 2·1 | 2·2 | 2·3 | 2·4 | 2·5 |
|---------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| p_t | 0·373 | 0·40 | 0·427 | 0·455 | 0·484 | 0·512 | 0·541 | 0·571 | 0·601 | 0·631 | 0·662 |
Assume nominal cover to reinforcement as 50 mm. Curtailment of bars is not required.
Given:
| τ_c (MPa) | 0·36 | 0·49 | 0·57 | 0·64 | 0·70 | 0·74 | 0·78 | 0·82 | 0·85 | 0·88 |
|-----------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| p_t | 0·25 | 0·5 | 0·75 | 1·0 | 1·25 | 1·5 | 1·75 | 2·0 | 2·25 | 2·5 | (20 marks)
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(a) अधिकतम भार P ज्ञात कीजिए, जिसे दर्शाया गया ब्रैकेट प्रेषित कर सकता है। सीमांत अवस्था विधि में अपरूपण और धारण के लिए 20 mm व्यास वाले तथा 8·8 ग्रेड के बोल्ट की सामर्थ्य को 82 kN माना गया है। (15 अंक)
(b) एक सतत धरन ABC, विस्तृति AB = 6 m और BC = 6 m, AB तथा BC दोनों की पूरी विस्तृति पर 25 kN/m का एकसमान वितरित भार वहन करती है। आलम्ब A और C शुद्ध आलम्ब हैं। यदि I-परिच्छेद के लिए भार गुणक 1·75 और आकार गुणक 1·144 है, तो आवश्यक परिच्छेद मापांक निर्धारित कीजिए। पदार्थ के लिए प्रारंभ प्रतिबल 245 MPa का उपयोग कीजिए। (15 अंक)
(c) दर्शाए अनुसार प्रबलित कंक्रीट की प्रतिधारक भित्ति के उद्व पट्ट का अभिकल्प कीजिए। मृदा का विश्राम-कोण 30° और इसका घनत्व 18 kN/m³ है। M25 ग्रेड कंक्रीट और Fe500 ग्रेड इस्पात का उपयोग कीजिए। भित्ति स्थायित्व के विरुद्ध सुरक्षित है। प्रबलन का विवरण केवल उद्व पट्ट के लिए दीजिए।
प्रदत :
| M_u/bd² | 1.5 | 1.6 | 1.7 | 1.8 | 1.9 | 2.0 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 2.4 | 2.5 |
|---------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| p_t | 0.373 | 0.40 | 0.427 | 0.455 | 0.484 | 0.512 | 0.541 | 0.571 | 0.601 | 0.631 | 0.662 |
प्रबलन का अभीष्ट आवरण 50 mm मान लीजिए। छड़ों के छिन्नीकरण की आवश्यकता नहीं है।
प्रदत :
| τ_c (MPa) | 0.36 | 0.49 | 0.57 | 0.64 | 0.70 | 0.74 | 0.78 | 0.82 | 0.85 | 0.88 |
|-----------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| p_t | 0.25 | 0.5 | 0.75 | 1.0 | 1.25 | 1.5 | 1.75 | 2.0 | 2.25 | 2.5 | (20 अंक)
Answer approach & key points
Solve all three sub-parts systematically, allocating approximately 30% time to part (a) bolted bracket analysis, 30% to part (b) plastic moment capacity of continuous beam, and 40% to part (c) complete RC retaining wall stem design including reinforcement detailing. Begin each part with clear identification of given data, apply relevant IS codes (IS 800:2007 for steel, IS 456:2000 for concrete), show all formulae with substitutions, and conclude with final answers in proper units. For part (c), include a neat sketch showing bar curtailment and spacing.
Part (a): Identify bolt group centroid, calculate eccentricity, determine critical bolt under combined direct shear and torsional shear, resolve shear components, check resultant against bolt strength of 82 kN to find maximum load P
Part (b): Calculate collapse load factor × working load, determine plastic moment capacity using shape factor and yield stress, apply virtual work or static method for continuous beam collapse mechanism, equate internal and external work to find required section modulus
Part (c): Compute active earth pressure coefficient Ka for φ=30°, determine lateral pressure distribution and maximum moment at base of stem, calculate effective depth using cover, find Mu/bd² and interpolate pt from table, calculate steel area and provide distribution steel, check shear stress against permissible τc
Correct application of limit state design principles per IS 800:2007 for steel connections and IS 456:2000 for RC design
Proper interpretation of given design tables for percentage steel (pt) and permissible shear stress (τc) through linear interpolation where needed
Complete reinforcement detailing for stem showing main steel on tension face, distribution steel, and development length considerations
50MCompulsoryproveFluid mechanics, soil mechanics, open channel flow, dimensional analysis, foundation engineering
(a) Prove that the power transmission through nozzle is maximum when d/D = √(D/8fl). Neglect the minor losses. (10 marks)
(b) Soil from a particular site yields a maximum dry unit weight of 18 kN/m³ at an optimum moisture content of 16% during a standard Proctor test. If the value of G is 2·65, what is the degree of saturation? What is the maximum dry unit weight, it can be further compacted to? Take the unit weight of water as 9·81 kN/m³. (10 marks)
(c) Draw the possible gradually varied flow profiles for critical slope. Indicate very clearly the boundary conditions. (10 marks)
(d) In a fluid machine, the torque T of the impeller is known to depend on the diameter D and speed N of the impeller, the density ρ and dynamic viscosity μ of the fluid. Obtain the relationship in a dimensionless form using Buckingham method. Specify the use of non-dimension numbers in design problems. (10 marks)
(e) A 2 m × 2 m square footing is founded at a depth of 0·8 m in a homogeneous bed of sand having a unit weight of 19 kN/m³ and an angle of shearing resistance of 38°. Assuming the water table to be at a great depth, compute the safe load that can be carried by the footing. Use Terzaghi's theory and assume a factor of safety of 3. For φ = 38°, take Nq = 65 and Nγ = 80. (10 marks)
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(a) सिद्ध कीजिए कि नोजल से शक्ति प्रेषण अधिकतम होगा, जबकि d/D = √(D/8fl). लघु हानों की उपेक्षा कीजिए। (10 अंक)
(b) एक विशेष स्थान की मृदा, मानक प्रॉक्टर परीक्षण में, 16% की इष्टतम नमी मात्रा पर अधिकतम शुष्क एकक भार 18 kN/m³ दर्शाती है। यदि G का मान 2·65 है, तो संतृप्ति मात्रा क्या है? इसे किस अधिकतम शुष्क एकक भार तक संहत किया जा सकता है? जल का एकक भार 9·81 kN/m³ लीजिए। (10 अंक)
(c) क्रांतिक प्रवणता के लिए सम्भव क्रमशः परिवर्ती प्रवाह परिछेदिका (प्रोफाइल) आरेखित कीजिए। परिसीमा प्रतिबन्धों को स्पष्ट रूप से दर्शाइए। (10 अंक)
(d) एक तरल मशीन में इम्पेलर का बल-आघूर्ण T, इम्पेलर के व्यास D और चाल N पर एवं तरल के घनत्व ρ और गतिक श्यानता μ पर निर्भर करता है। बकिंघम विधि का उपयोग करते हुए सम्बन्ध को अविमीय प्ररूप में प्राप्त कीजिए। अभिकल्पन प्रश्नों में अविमीय अंकों के उपयोग का उल्लेख कीजिए। (10 अंक)
(e) एक 2 m × 2 m के वर्गाकार पाद 19 kN/m³ के एकक भार और 38° के अपकर्षण प्रतिरोध कोण वाली रेत की समांगी परत में 0·8 m की गहराई पर आधारित है। भूमजल स्तर को अधिक गहराई पर मानते हुए पाद द्वारा वहन किए जाने वाले सुरक्षित भार की गणना कीजिए। तेरज़ाघी सिद्धांत का उपयोग कीजिए और सुरक्षा गुणक 3 मान लीजिए। φ = 38° के लिए Nq = 65 और Nγ = 80 लीजिए। (10 अंक)
Answer approach & key points
This multi-part question requires proving a nozzle efficiency condition in (a), solving soil compaction calculations in (b), drawing GVF profiles in (c), deriving dimensionless parameters in (d), and computing bearing capacity in (e). Allocate approximately 20% time to each part given equal 10-mark weighting. Begin with clear statements of given data, show complete derivations for (a) and (d), present neat diagrams for (c), and demonstrate all calculation steps for (b) and (e) with proper units and FOS application.
For (a): Derive power transmission equation P = ρgQ(H - hf), express hf = 4fLV²/2gD, substitute V = Q/(πD²/4), differentiate dP/dd = 0 to obtain d/D = √(D/8fL)
For (b): Calculate void ratio e = (Gγw/γd) - 1 = 0.441, then degree of saturation S = wG/e = 96.1%; for maximum possible γd at S=100%, use γd(max) = Gγw/(1+wG) = 19.35 kN/m³
For (c): Draw C1, C2, and C3 profiles on critical slope (yc = yn), showing C1 above normal depth, C2 between critical and normal, C3 below critical depth with proper boundary condition annotations
For (d): Apply Buckingham π-theorem with 6 variables and 3 fundamental dimensions to obtain power coefficient P/ρN³D⁵ = f(ρND²/μ) or torque coefficient T/ρN²D⁵ = φ(Re); explain use of power coefficient for pump similarity and Reynolds number for viscous scale effects
50MsolveBoundary layer theory, soil mechanics stress distribution, pump and pipe system
(a) The velocity profile in a laminar boundary layer on a flat plate is modelled by the cubic expression
μ/μ₁ = a₀ + a₁y + a₂y² + a₃y³
μ = velocity at a distance y from the surface of the plate
μ₁ = main stream velocity
Evaluate all the constants in terms of boundary layer thickness. Draw the velocity distribution and stress distribution curves. Indicate the application and significance of boundary layer. If the plate is moving with a velocity of 2 m/s in positive x-direction, what will be the velocity distribution curve? (15 marks)
(b) Plot the variations of (i) total pressure, (ii) neutral stress and (iii) effective stress for a fine sand deposit, having a porosity of 40% and specific gravity of 2.7, extending to a depth of 10 m below the ground surface. The groundwater table is 5 m below the ground surface and the sand is saturated by capillary water up to a height of 1 m above the water table. The degree of saturation of the first 4 m of moist soil below the ground surface is 10%. Take the unit weight of water as 10 kN/m³. (20 marks)
(c) Reservoir A (elevation 65 m) is filling reservoir B (elevation 110 m) and reservoir C (elevation 90 m) by a pump and pipe system. The discharge to reservoir C is 0.10 m³/s. If the efficiency of the pump is 0.70, calculate the required power of the pump. The physical characteristics of the pipe system are given in the figure below. Neglect the minor losses. Draw the HGL and EGL : (10 marks)
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(a) एक चपटी प्लेट पर स्तरीय परिसीमा परत में वेग परिछेदिका (प्रोफाइल) को निम्न घनीय व्यंजक द्वारा निर्देशित किया गया है :
μ/μ₁ = a₀ + a₁y + a₂y² + a₃y³
μ = प्लेट की सतह से y दूरी पर वेग
μ₁ = मुख्य धारा वेग
सभी नियतांकों का मान परिसीमा परत की मोटाई के रूप में ज्ञात कीजिए। वेग वितरण और प्रतिबल वितरण वक्रों को आरेखित कीजिए। परिसीमा परत का उपयोग और महत्व बताइए। यदि प्लेट 2 m/s के वेग से धनात्मक x-दिशा में चल रही है, तो वेग वितरण वक्र क्या होगा? (15 अंक)
(b) धरातल से 10 m तक की गहराई वाले एक महीन रेत के निक्षेप, जिसकी संरचना 40% और जिसका विशिष्ट घनत्व 2.7 है, के लिए (i) कुल दाब, (ii) उदासीन प्रतिबल तथा (iii) प्रभावी प्रतिबल के परिवर्तन को आरेखित कीजिए। भूमजल स्तर धरातल से 5 m नीचे है और रेत केशिकीय जल द्वारा भूमजल स्तर से 1 m ऊपर तक संतृप्त है। धरातल की नीचे की प्रथम 4 m की नम मृदा की संतृप्ति मात्रा 10% है। जल का एकक भार 10 kN/m³ लीजिए। (20 अंक)
(c) एक पंप और पाइप तंत्र द्वारा जलाशय A (ऊँचाई 65 m), जलाशय B (ऊँचाई 110 m) और जलाशय C (ऊँचाई 90 m) को भर रहा है। जलाशय C में निस्सरण 0.10 m³/s है। यदि पंप की दक्षता 0.70 है, तो पंप की आवश्यक शक्ति की गणना कीजिए। पाइप तंत्र के भौतिक अभिलक्षण नीचे चित्र में दिए गए हैं। लघु हानियों की उपेक्षा कीजिए। एच० जी० एल० और ई० जी० एल० को आरेखित कीजिए : (10 अंक)
Answer approach & key points
Begin with a brief introduction acknowledging the three distinct domains: fluid mechanics boundary layer theory, geotechnical stress distribution, and hydraulic machinery with pipe networks. Allocate approximately 33% effort to part (a) due to its conceptual depth and drawing requirements, 44% to part (b) as it carries the highest marks with detailed plotting, and 23% to part (c) focusing on energy equation application and HGL/EGL construction. Present each part sequentially with clear sub-headings, showing all derivations and calculations before concluding with integrated insights on civil engineering applications.
For (a): Apply boundary conditions (no-slip at y=0, u=u₁ at y=δ, du/dy=0 at y=δ, and d²u/dy²=0 at y=0 for cubic profile) to determine constants a₀=0, a₁=3/(2δ), a₂=0, a₃=-1/(2δ³), yielding u/u₁ = (3/2)(y/δ) - (1/2)(y/δ)³
For (a): Sketch velocity profile showing S-shape with inflection point and shear stress distribution linearly decreasing from maximum at wall to zero at δ; for moving plate, superpose plate velocity on relative velocity profile
For (b): Calculate unit weights: γ moist = 18.9 kN/m³ (0-4m), γ sat = 19.8 kN/m³ (4-5m), γ sat = 19.8 kN/m³ below GWT; account for capillary saturation zone with negative pore pressure
For (b): Plot total stress increasing linearly from 0 to 189 kPa at 10m; neutral stress zero to -10 kPa (capillary), then 0 to 50 kPa; effective stress showing discontinuity handling at interfaces with proper capillary tension effects
For (c): Apply energy equation between A and B (pumped system) and A to C (gravity-assisted), determine flow to B using continuity, compute total dynamic head, and calculate pump power P = ρgQH/η ≈ 85-90 kW
For (c): Draw HGL and EGL showing: EGL starting at A, jumping at pump, gradual slope in pipes, drops at junction; HGL parallel below by velocity head, with proper elevation references to reservoirs B and C
(a) (i) Distinguish between discharge velocity and seepage velocity in the case of flow of water through soils. 5
(ii) A soil sample 90 mm high and 6000 mm² in cross-section was subjected to a falling head permeability test. The head fell from 500 mm to 300 mm in 1500 seconds. The permeability of the soil was 2.4×10⁻³ mm/s. Determine the diameter of the standpipe. 10
(b) Two parallel plates are moving in opposite direction with velocities 1 m/s and 2 m/s respectively. For the given coordinate system (shown below), draw the velocity and shear stress profile for positive and negative pressure gradient after obtaining the profile equations : 20
(c) Laboratory results of a soil have shown that its unconfined compressive strength is 120 kN/m². In a triaxial compression test, a specimen of the soil when subjected to a confining pressure of 40 kN/m² failed at an additional stress of 160 kN/m². Estimate the shearing strength of the same soil along a horizontal plane at a depth of 4 m at the site. The groundwater table is at a depth of 2·5 m from the ground level. Take the dry unit weight of the soil as 17 kN/m³ and specific gravity as 2·7. Also, assume the unit weight of water as 10 kN/m³. 15
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(a) (i) मृदा में जल के प्रवाह के लिए निस्सरण वेग और रिसन वेग में अंतर बताइए।
(ii) 90 mm ऊँचाई और 6000 mm² अनुप्रस्थ परिच्छेद वाले एक मृदा प्रतिदर्श पर पतन दाबोच्चता पारगम्यतामापी परीक्षण किया गया। 1500 सेकंड में दाबोच्चता का पतन 500 mm से 300 mm हुआ। मृदा की पारगम्यता 2.4×10⁻³ mm/s थी। स्टैंडपाइप के व्यास को निर्धारित कीजिए।
(b) दो समानांतर प्लेट विपरीत दिशा में क्रमशः 1 m/s और 2 m/s के वेग से चल रही हैं। परिच्छेदिका (प्रोफाइल) समीकरण प्राप्त करने के पश्चात्, धनात्मक और ऋणात्मक दाब प्रवणता के लिए, दी गई निर्देशांक पद्धति (नीचे दर्शाई गई) के लिए, वेग और अपरूपण प्रतिबल परिच्छेदिका (प्रोफाइल) अंकित कीजिए :
(c) प्रयोगशाला परिणाम दर्शाते हैं कि एक मृदा की अपरिबद्ध संपीडन सामर्थ्य 120 kN/m² है। एक त्रि-अक्षीय संपीडन परीक्षण में, एक मृदा प्रतिदर्श जिस पर 40 kN/m² का परिरोधी दाब लगा था, वह 160 kN/m² के अतिरिक्त प्रतिबल पर विफल हो गया। स्थल की 4 m गहराई पर क्षैतिज तल पर इसी मृदा की अपरूपण सामर्थ्य का आकलन कीजिए। भूमजल स्तर, धरातल से 2·5 m नीचे है। मृदा का शुष्क एकक भार 17 kN/m³ और विशिष्ट घनत्व 2·7 लीजिए। जल का एकक भार 10 kN/m³ मान लीजिए।
Answer approach & key points
Begin with clear definitions distinguishing discharge and seepage velocity for part (a)(i), then solve the falling head permeability problem showing all substitutions. For part (b), derive the general Couette-Poiseuille flow equation first, then plot velocity and shear stress profiles for both pressure gradient cases with proper boundary conditions. Conclude with part (c) by determining soil parameters from given test data, calculating effective stress at 4m depth, and applying Mohr-Coulomb failure criterion. Allocate time proportionally: ~15% for (a)(i), ~20% for (a)(ii), ~40% for (b), and ~25% for (c).
Part (a)(i): Clear distinction between discharge velocity (v = Q/A, Darcy's velocity) and seepage velocity (vs = v/n, actual pore velocity) with v = n×vs relationship and physical interpretation through void ratio/porosity
Part (a)(ii): Correct application of falling head permeability formula k = (aL/At)ln(h1/h2), proper unit consistency, and solving for standpipe diameter d = √(4a/π) yielding approximately 7.6 mm
Part (b): Derivation of velocity profile u(y) = -(1/2μ)(dp/dx)(Hy-y²) + (U2-U1)(y/H) + U1 with U1 = -1 m/s, U2 = 2 m/s, H = gap height; shear stress τ = μ(du/dy); profiles for dp/dx > 0 (adverse) and dp/dx < 0 (favorable) showing possible flow reversal
Part (c): Determination of cohesion c = 60 kN/m² and friction angle φ = 30° from unconfined (qu = 2c) and triaxial tests; calculation of total stress, pore pressure (u = 15 kN/m²), and effective stress σ' = 53 kN/m² at 4m depth; final shear strength τf = c + σ'tanφ
Part (c) continued: Proper unit weight calculations using γsat = (G+e)γw/(1+e) with e determined from γd = Gγw/(1+e), ensuring submerged unit weight γ' = γsat - γw for stress below water table
50McalculateSoil mechanics and hydraulic structures
(a) A vertical cut, 4·5 m deep, is to be made in a c-φ soil having cohesion = 19·1 kN/m², angle of internal friction = 16° and unit weight = 18·5 kN/m³. Compute the following :
(i) The active earth pressure at the top and bottom of the cut
(ii) The depth up to which the tension cracks develop
(iii) The maximum depth of excavation that can be left unsupported
15
(b) A vertical sluice gate with an opening of 0·60 m produces a downstream jet with a depth of 0·40 m when installed in a long rectangular channel, 5·0 m wide, conveying a steady discharge of 20 m³/s. It is observed that the flow, downstream of the gate eventually returns to a uniform depth of 2·5 m. Indicate whether jump will occur or not. Justify the answer. Calculate the following :
(i) Energy head loss
(ii) Upstream depth
(iii) Force on the gate
Briefly explain the applications of hydraulic jump. Can we apply critical energy concept in case of hydraulic jump? Justify your answer. 20
(c) The following data was obtained from a plate load test carried out on a 60 cm square test plate at a depth of 2 m below the ground surface on a sandy soil with water table at a great depth :
| Load intensity (kN/m²) | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
|------------------------|---|----|-----|-----|-----|-----|-----|
| Settlement (mm) | 0 | 2·0| 4·0 | 7·5 | 11·0| 16·3| 23·5|
Determine the settlement of a 3 m × 3 m square footing founded at a depth of 2 m below the ground surface, carrying a load of 1100 kN, and compare this settlement with the permissible settlement specified by the Indian Standards. 15
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(a) एक c-φ मृदा, जिसका संसजन = 19·1 kN/m², आंतरिक घर्षण कोण = 16° और एकक भार = 18·5 kN/m³ है, में 4·5 m गहरी एक उद्वाधर काट बनाई जानी है। निम्नलिखित की गणना कीजिए :
(i) काट के शीर्ष और अधोतल पर सक्रिय मृदा दाब
(ii) गहराई, जहाँ तक तनन दरार उत्पन्न होंगी
(iii) खनन की अधिकतम गहराई, जिसे अनालंबित छोड़ा जा सके
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(b) एक 0·60 m की विवर वाले उद्वाधर स्लूस गेट को जब एक 5·0 m चौड़ी और 20 m³/s का अपरिवर्ती निस्सरण प्रवाहित करने वाली लंबी आयताकार वाहिका में लगाया जाता है, तो वह 0·40 m गहराई का अनुप्रवाह जेट उत्पन्न करता है। यह देखा गया कि गेट के अनुप्रवाह में प्रवाह अंततः 2·5 m की एकसमान गहराई पर लौट आता है। ज्ञात कीजिए कि जलोच्छाल होगा या नहीं। उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए। निम्नलिखित की गणना कीजिए :
(i) ऊर्जा दाबोच्चता ह्रास
(ii) प्रतिप्रवाह गहराई
(iii) गेट पर बल
जलोच्छाल के अनुप्रयोगों को संक्षेप में समझाइए। क्या जलोच्छाल के लिए कांतिक ऊर्जा संकल्पना का उपयोग किया जा सकता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।
20
(c) एक रेतीली मृदा में, जिसमें भौमजल स्तर अधिक गहराई पर है, धरातल से 2 m नीचे 60 cm की एक वर्गाकार परीक्षण प्लेट पर किए गए प्लेट भार परीक्षण से निम्नलिखित आंकड़े प्राप्त हुए :
भार तीव्रता (kN/m²) | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300
निपदन (mm) | 0 | 2·0 | 4·0 | 7·5 | 11·0 | 16·3 | 23·5
धरातल के नीचे 2 m गहराई पर आधारित एक 3 m × 3 m वर्गाकार पाद, जो 1100 kN का भार वहन करता है, का निपदन निर्धारित कीजिए और इस निपदन की तुलना भारतीय मानकों द्वारा विहित अनुज्ञेय निपदन से कीजिए।
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Answer approach & key points
Begin with a brief introduction stating the governing theories (Rankine's earth pressure, momentum principles for hydraulic jump, and Terzaghi's consolidation for settlement). Allocate approximately 30% time to part (a) on active earth pressure and tension cracks, 40% to part (b) on hydraulic jump analysis and sluice gate forces, and 30% to part (c) on plate load test interpretation using IS 1888 provisions. Present all derivations systematically with clear sub-headings for each sub-part, and conclude with practical implications for Indian field conditions.
Part (a): Correct application of Rankine's active earth pressure theory for c-φ soil with tension crack depth z₀ = 2c/(γ√Ka) and critical unsupported depth Hc = 4c/(γ√Ka)
Part (a): Calculation of Ka = tan²(45°-φ/2) = tan²(37°) = 0.568, active pressure at top = -2c√Ka (negative indicates tension), at bottom = γHKa - 2c√Ka
Part (b): Application of momentum equation and specific energy principles to determine conjugate depths, verification of jump occurrence using Froude number (Fr₁ > 1 and sequent depth y₂ > y₁)
Part (b): Calculation of energy loss ΔE = (y₂-y₁)³/(4y₁y₂), upstream depth from energy equation, and gate force using momentum flux difference with hydrostatic pressure terms
Part (b): Explanation of hydraulic jump applications (energy dissipation at dam toe, mixing in water treatment, aeration) and critical analysis of why critical energy concept cannot be applied (energy loss violates constant specific energy assumption)
Part (c): Application of IS 1888:1982 for plate load test interpretation, use of pressure-settlement curve to determine modulus of subgrade reaction, and extrapolation to prototype footing using influence factor method or Schmertmann's correction for sand