Q5 50M Compulsory derive Linear regression, multivariate normal distribution, sampling design
(a) How will you justify the usage of the principle of least squares in estimating the parameters of a linear regression model? With usual notations, for the regression model y = Xβ + ε, show that the least square estimator of β is β̂ = (X'X)⁻¹X'y (10 marks)
(b) (i) If X̃ is distributed as N₃(μ̃, Σ), find the distribution of [X₁ - X₂; X₂ - X₃]. (5 marks)
(ii) If X₁, X₂ and X₃ are three variables, obtain the expression for the partial correlation coefficient between X₁ and X₂ eliminating the effect of X₃, ρ₁₂·₃, in terms of simple correlation coefficients. (5 marks)
(c) X₁ and X₂ are independent data sets of order (n₁ × p) and (n₂ × p) respectively from Nₚ(μ̃, Σ). Show that (n₁n₂D²)/n is distributed as T²(p, n-2), where n = n₁ + n₂, and T² and D² represent the Hotelling's T² and Mahalanobis D² respectively. (10 marks)
(d) For the population U = {a, b, c, d, e}, consider the following sampling design: P({a, b, d}) = 1/6, P({a, b, e}) = 1/6, P({a, d, e}) = 1/6, P({b, c, d}) = 1/6, P({b, c, e}) = 1/6, P({c, d, e}) = 1/6. Calculate the first-order and second-order inclusion probabilities. Hence show that it is a matter of a stratified design. Identify the strata with their units. (10 marks)
(e) Let the incidence matrix of a design be N = [[1, 1, 1, 0], [1, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 1], [0, 1, 1, 1]]. Show that— (i) the design is connected balanced; (ii) its efficiency factor is E = 8/9. (6+4=10 marks)
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(a) आप एक रैखिक समाश्रयन निदर्श के प्राचलों को आकलित करने में न्यूनतम वर्गों के सिद्धान्त के उपयोग को कैसे उचित ठहरायेंगे? सामान्य संकेतनों के साथ दर्शाइए कि समाश्रयन निदर्श y = Xβ + ε के लिए β का न्यूनतम वर्ग आकलक β̂ = (X'X)⁻¹X'y है। (10 अंक)
(b) (i) यदि X̃, N₃(μ̃, Σ) के रूप में बंटित है, तो [X₁ - X₂; X₂ - X₃] का बंटन प्राप्त कीजिए। (5 अंक)
(ii) यदि X₁, X₂ और X₃ तीन चर हैं, तो X₃ के प्रभाव को समाप्त करते हुए X₁ और X₂ के बीच आंशिक सहसंबंध गुणांक, ρ₁₂·₃, के लिए व्यंजक, सरल सहसंबंध गुणांकों के रूप में, प्राप्त कीजिए। (5 अंक)
(c) X₁ और X₂, Nₚ(μ̃, Σ) से क्रमशः (n₁ × p) और (n₂ × p) कोटि के स्वतंत्र आंकड़ों के समुच्चय हैं। दर्शाइए कि (n₁n₂D²)/n का बंटन T²(p, n-2) के रूप में हुआ है, जहाँ n = n₁ + n₂ है और T² तथा D² क्रमशः हॉटेलिंग T² तथा महालनोबिस D² को निरूपित करते हैं। (10 अंक)
(d) समष्टि U = {a, b, c, d, e} के लिए निम्नलिखित प्रतिचयन अभिकल्पना पर विचार कीजिए: P({a, b, d}) = 1/6, P({a, b, e}) = 1/6, P({a, d, e}) = 1/6, P({b, c, d}) = 1/6, P({b, c, e}) = 1/6, P({c, d, e}) = 1/6। प्रथम कोटि तथा द्वितीय कोटि की अंतर्वेश प्रायिकताओं की गणना कीजिए। अतः दर्शाइए कि यह एक स्तरित अभिकल्पना का मामला है। स्तरों को उनकी इकाइयों के साथ चिह्नित कीजिए। (10 अंक)
(e) मान लीजिए कि एक अभिकल्पना का आपतन आव्यूह N = [[1, 1, 1, 0], [1, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 1], [0, 1, 1, 1]] है। दर्शाइए कि— (i) अभिकल्पना संबद्ध संतुलित है; (ii) इसकी दक्षता कारक E = 8/9 है। (6+4=10 अंक)
Answer approach & key points
(a) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(ii)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous derivations with all steps shown, correct notation, and clear interpretation of results.
- Justification: minimises the residual sum of squares, needs no distributional assumption, geometric projection interpretation
- Gauss–Markov: under E(ε)=0, Var(ε)=σ²I the LS estimator is BLUE; MLE under normality
- Expands (y−Xβ)′(y−Xβ) and differentiates to get the normal equations X′Xβ=X′y
- β̂=(X′X)⁻¹X′y with full column rank and the positive-definite second derivative
- Writes Y=AX with A=[[1,−1,0],[0,1,−1]]
- Uses the linear-transformation property: Y ~ N₂(Aμ, AΣA′)
- Mean vector (μ₁−μ₂, μ₂−μ₃)′
- Covariance entries σ₁₁+σ₂₂−2σ₁₂, σ₂₂+σ₃₃−2σ₂₃ and σ₁₂−σ₁₃−σ₂₂+σ₂₃
- Defines ρ₁₂·₃ as the correlation of residuals of X₁ and X₂ after regression on X₃
- Residual covariance σ₁₂−σ₁₃σ₂₃/σ₃₃ and variances σ₁₁(1−ρ₁₃²), σ₂₂(1−ρ₂₃²)
- Scales by √(σ₁₁σ₂₂) to express in correlations
- ρ₁₂·₃=(ρ₁₂−ρ₁₃ρ₂₃)/√[(1−ρ₁₃²)(1−ρ₂₃²)]
- x̄₁−x̄₂ ~ N_p(0, Σ n/(n₁n₂))
- Pooled A=(n₁−1)S₁+(n₂−1)S₂ ~ W_p(Σ, n−2), independent of x̄₁−x̄₂
- Standardises y=√(n₁n₂/n)(x̄₁−x̄₂) ~ N_p(0,Σ)
- Writes n₁n₂D²/n=(n−2)y′A⁻¹y and invokes the Hotelling T² definition
- π(a)=π(c)=1/2 and π(b)=π(d)=π(e)=2/3
- π(ac)=0 and all other πᵢⱼ=1/3
- Recognises strata U₁={a,c} (one unit drawn) and U₂={b,d,e} (two units drawn)
- Shows SRSWOR within strata reproduces the six samples, each with probability (1/2)(1/3)=1/6
- Row and column sums give r=3 and k=3
- Every pair of treatments occurs together λ=2 times (NN′=I+2J)
- C=rI−NN′/k=(8/3)I−(2/3)J
- Rank C=v−1=3, so all treatment contrasts are estimable: connected and balanced
- States E=λv/(rk) for a BIBD
- Substitutes v=4, λ=2, r=k=3
- E=8/9
- Alternatively uses the non-zero eigenvalue 8/3 of C divided by r
Q6 50M prove Bivariate normal distribution, principal components, linear regression estimation
(a) (X, Y) has bivariate normal distribution BN(μ₁, μ₂, σ₁², σ₂², ρ).
(i) Show that X and Y are independent if and only if ρ = 0. (6 marks)
(ii) If (X, Y) follows BN(3, 1, 16, 25, 3/5), obtain P(3 < Y < 8 | X = 7), given Φ(2) = 0.9772 and Φ(-0.25) = 0.4017, and Φ(x) represents the area under the standard normal curve from -∞ to x. (6 marks)
(iii) If (X, Y) follows BN(0, 0, 1, 1, 0), what will be the distribution of Z = Y/X? (4 marks)
(iv) State the multivariate extension of (i) when X̃ follows Nₚ(μ̃, Σ). (4 marks)
(b) Define principal components and canonical correlation. How can one attain data reduction using principal components? If (X₁, X₂) has covariance matrix Σ = [[1, ρ], [ρ, 1]], then find the principal components. (15 marks)
(c) For the simple linear regression model y = β₀ + β₁x + ε, where β₀ and β₁ are parameters and ε has zero mean and an unknown variance σ², find the estimates of β₀ and β₁ by the principle of least squares as well as the method of maximum likelihood. Examine whether they are identical. (15 marks)
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(a) (X, Y) का द्विवर प्रसामान्य बंटन BN(μ₁, μ₂, σ₁², σ₂², ρ) है।
(i) दर्शाइए कि X और Y स्वतंत्र हैं, यदि और केवल यदि ρ = 0 है। (6 अंक)
(ii) यदि (X, Y) का बंटन BN(3, 1, 16, 25, 3/5) है, तो P(3 < Y < 8 | X = 7) निकालिए, दिया है Φ(2) = 0.9772 और Φ(-0.25) = 0.4017 तथा Φ(x), -∞ से x तक का मानक प्रसामान्य वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल दर्शाता है। (6 अंक)
(iii) यदि (X, Y) का बंटन BN(0, 0, 1, 1, 0) है, तो Z = Y/X का बंटन क्या होगा? (4 अंक)
(iv) जब X̃, Nₚ(μ̃, Σ) का अनुसरण करता है, तो (i) का बहुचर विस्तरण लिखिए। (4 अंक)
(b) मुख्य घटकों और विहित सहसंबंध को परिभाषित कीजिए। मुख्य घटकों का उपयोग करके कोई दत्त समान्यन कैसे प्राप्त कर सकता है? यदि (X₁, X₂) का सहप्रसरण आव्यूह Σ = [[1, ρ], [ρ, 1]] है, तो मुख्य घटकों को ज्ञात कीजिए। (15 अंक)
(c) एक साधारण रैखिक समाश्रयन निदर्श y = β₀ + β₁x + ε के लिए, जहाँ β₀ और β₁ प्राचल हैं तथा ε का माध्य 0 और प्रसरण σ² अज्ञात है, न्यूनतम वर्ग सिद्धांत और अधिकतम संभाविता विधि से β₀ और β₁ के आकलक निकालिए। जाँच कीजिए कि क्या वे एकसमान हैं। (15 अंक)
Answer approach & key points
(a(i)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (a(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (a(iii)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (a(iv)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b) define: precise definition > the distinguishing feature > one example | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous derivations with all steps shown; correct calculations; clear interpretation of results.
- Writes the bivariate normal density correctly
- With ρ=0 the density factorises into two univariate normal densities, so X and Y are independent
- Conversely independence gives Cov(X,Y)=ρσ₁σ₂=0
- Concludes ρ=0 since σ₁,σ₂ > 0
- Conditional distribution Y|X=x ~ N(μ₂+ρ(σ₂/σ₁)(x−μ₁), σ₂²(1−ρ²))
- Conditional mean 4 and variance 16 (sd 4)
- Standardised limits −0.25 and 1
- Probability Φ(1)−Φ(−0.25)=0.8413−0.4017=0.4396
- X and Y are independent N(0,1)
- Transformation z=y/x, w=x with Jacobian |w|
- Integrates to f(z)=1/[π(1+z²)]
- Identifies the standard Cauchy distribution
- Partitions X into subvectors X₁, X₂ with blocks Σ₁₁, Σ₁₂, Σ₂₂
- X₁ and X₂ independent iff Σ₁₂=0
- All components mutually independent iff Σ is diagonal
- Relies on joint multivariate normality
- PCs: uncorrelated normalised linear combinations of maximum variance given by eigenvectors of Σ
- Canonical correlation: maximum correlation between a′X and b′Y, with successive uncorrelated canonical variates
- Data reduction: retain the first k PCs explaining a large share of total variance
- Eigenvalues 1±ρ; PC₁=(X₁+X₂)/√2 and PC₂=(X₁−X₂)/√2 (order reversed if ρ<0)
- Normal equations Σy=nβ₀+β₁Σx and Σxy=β₀Σx+β₁Σx²
- β̂₁=Sxy/Sxx and β̂₀=ȳ−β̂₁x̄
- Normal errors assumed for ML; maximising L in β₀, β₁ equals minimising the RSS
- Concludes β estimates coincide, while σ̂²_ML=RSS/n differs from the unbiased RSS/(n−2)
Q7 50M prove Stratified sampling and BIBD
(a) A very big population is divided into two strata. The allocation of units of stratified random sample of size n for the two strata under Neyman allocation are n'_1 and n'_2, and under other type of allocation are n_1 and n_2. Define r = n'_1/n'_2 and μ = n_1/(rn_2). Then prove that the efficiency of stratified random sampling with respect to stratified random sampling under Neyman allocation is given by e = μ(r+1)²/((μr + 1)(μ + r)). (20 marks)
(b) A bank has 40000 clients in its computer files, divided into 4000 branches, each managing exactly 10 clients. To estimate the proportion of clients for whom the bank has granted loan, a simple random sample of 40 branches is selected. From the selected sample, for each branch i, a list of clients (A_i) having a loan is prepared; i = 1, 2, ..., 40. The data observed from the selected sample are Σ(i=1 to 40) A_i = 200 and Σ(i=1 to 40) A_i² = 1156.
(i) What type of sampling is this? (3 marks)
(ii) State the expression of the parameter to estimate and obtain its unbiased estimate. (6 marks)
(iii) Estimate the variance of the unbiased estimator obtained in part (ii). (6 marks)
(c) (i) Verify whether the following BIBD are possible: (1) v = b = 22, r = k = 7, λ = 2; (2) v = 10, b = 18, r = 9, k = 5, λ = 4. Given that the design is resolvable.
(ii) Given below is the incidence matrix (N) of a block design. Find the degrees of freedom associated with the adjusted treatment sum of squares and the degrees of freedom for the error sum of squares.
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(a) एक बहुत बड़ी समष्टि को दो स्तरों में विभाजित किया गया है। नेमन नियतन के अनुसार, दो स्तरों के लिए, आमाप n के स्तरीत यादृच्छिक प्रतिदर्श की इकाइयों के नियतन n'_1 और n'_2 हैं और दूसरे प्रकार की नियतन विधि के अनुसार n_1 तथा n_2 हैं। r = n'_1/n'_2 तथा μ = n_1/(rn_2) को परिभाषित कीजिए। तब सिद्ध कीजिए कि नेमन नियतन के अंतर्गत स्तरीत यादृच्छिक प्रतिचयन के सापेक्ष स्तरीत यादृच्छिक प्रतिचयन की दक्षता e = μ(r+1)²/((μr + 1)(μ + r)) है। (20 अंक)
(b) एक बैंक में इसके कम्प्यूटर की फाइलों में 40000 ग्राहक हैं, जिनको 4000 शाखाओं में बाँटा गया है, प्रत्येक शाखा ठीक 10 ग्राहकों का प्रबंध करती है। जिन ग्राहकों को बैंक का ऋण दिया गया है, उनके अनुपात का आकलन करने के लिए 40 शाखाओं का एक सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श चुना गया है। चुने गये प्रतिदर्श में से, प्रत्येक शाखा i के लिए ग्राहकों, जिन्होंने ऋण लिया है, उनकी एक सूची (A_i) तैयार की गई है; i = 1, 2, ..., 40 है। चयनित प्रतिदर्श से प्रेक्षित आँकड़े Σ(i=1 से 40) A_i = 200 और Σ(i=1 से 40) A_i² = 1156 प्राप्त हुए हैं।
(i) यह किस प्रकार का प्रतिचयन है? (3 अंक)
(ii) प्राचल जिसका आकलन करना है, उसके लिए व्यंजक (एक्सप्रेशन) लिखिए और उसका अनभिनत आकलक ज्ञात कीजिए। (6 अंक)
(iii) भाग (ii) में प्राप्त अनभिनत आकलक के विचरण का आकलन कीजिए। (6 अंक)
(c) (i) सत्यापित कीजिए कि क्या नीचे दिये गये BIBD संभव हैं: (1) v = b = 22, r = k = 7, λ = 2; (2) v = 10, b = 18, r = 9, k = 5, λ = 4। दिया गया है कि अभिकल्पना विभोज्य है।
(ii) नीचे एक खंडक अभिकल्पना का आपतन आव्यूह (N) दिया गया है। समायोजित उपचार वर्गों के योग से संबद्ध स्वातंत्र्य-कोटियाँ और त्रुटि वर्गों के योग के लिए स्वातंत्र्य-कोटियाँ ज्ञात कीजिए।
Answer approach & key points
Framework: UPSC Statistics Paper 1. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b(i)) define: precise definition > the distinguishing feature > one example | (b(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(iii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c(i)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Rigorous derivation in (a); correct identification and calculation in (b); precise condition checking in (c).
- V(ȳ_st)=W₁²S₁²/n₁+W₂²S₂²/n₂ with fpc ignored for a very large population
- Neyman allocation nᵢ′ ∝ WᵢSᵢ gives r=W₁S₁/(W₂S₂), so B=A/r²
- V_N=A(r+1)²/(nr²) using n₁′=nr/(r+1), n₂′=n/(r+1)
- Other allocation n₁=μrn/(μr+1), n₂=n/(μr+1) gives V=A(μr+1)(μ+r)/(nμr²), and e=V_N/V simplifies to the result
- Identifies single-stage cluster sampling
- Branches are clusters of equal size M=10
- Clusters selected by SRSWOR
- All units in selected clusters are enumerated
- Parameter P=ΣAᵢ/(NM) over all 4000 branches
- Estimator P̂=ΣAᵢ/(nM) over sampled branches
- Justifies unbiasedness from SRSWOR of clusters
- P̂=200/400=0.5
- Sample mean ā=5 and s²=[ΣAᵢ²−nā²]/(n−1)=156/39=4
- f=n/N=0.01
- v(P̂)=(1−f)s²/(nM²)
- v(P̂)=0.99×4/4000=0.00099
- Checks vr=bk and λ(v−1)=r(k−1) for both designs
- Design 1: v/k=22/7 not an integer, so not resolvable (and Bruck–Ryser–Chowla rules out the symmetric design since v is even and k−λ=5 is not a square)
- Design 2: parameter conditions hold and v/k=2, but b=v+r−1 makes it affine resolvable
- Design 2: k²/v=2.5 is not an integer (equivalently no Hadamard matrix of order 10), so impossible
- v=6 treatments, b=4 blocks, n=10 plots
- Identifies the design as disconnected with c=2 components
- Adjusted treatment df=v−c=4
- Error df=n−b−v+c=2
Q8 50M solve Factorial design and ANOVA
(a) A 2²-factorial design was used to develop the yield of a crop. Two factors A and B were used at two levels: low (–1) and high (+1). The experiment was replicated two times with completely randomized way. The data obtained are as follows:
| Factor A | Factor B | Estimated Average Effect |
| – | – | |
| + | – | 8 |
| – | + | –5 |
| + | + | 2 |
The sum of squares of all the yields = 510.5
The grand total of all the yields = 50.00
(i) Analyze the data and identify the significant factors. (12 marks)
(ii) Develop the regression model and predict the yield when A and B both are at low level (–1). (8 marks)
[Given, F₍₁, ₄, ₀.₀₅₎ = 7.71]
(b) To estimate the population mean Ȳ of a characteristic Y, a simple random sample of size 1000 was selected from a population of size 1000000 by without replacement. The population mean of an auxiliary character X is X̄ = 15. The other results are given below: s²ᵧ = 20, s²ₓ = 25, sₓᵧ = 15, x̄ = 14, ȳ = 10.
(i) Estimate Ȳ using difference, ratio and regression estimators. (6 marks)
(ii) Estimate the MSE of these estimators. Which estimator should we choose to estimate Ȳ? (9 marks)
(c) Write down the model used in the analysis of a two-way classification with interactions, stating the assumptions. What are the hypotheses tested in this scenario? Obtain the expression for the sum of squares and complete the ANOVA. (15 marks)
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(a) एक फसल की उपज विकसित करने के लिए एक ²-बहु-उपदानी अभिकल्पना का उपयोग किया गया है। दो घटकों A और B का उपयोग दो स्तरों, निम्न (−1) और उच्च (+1), पर किया गया है। प्रयोग को पूर्णतः यादृच्छीकृत तरीके से दो बार पुनरावृत्ति किया गया है। प्राप्त आँकड़े इस प्रकार हैं:
| घटक A | घटक B | आकलित औसत प्रभाव |
| − | − | |
| + | − | 8 |
| − | + | −5 |
| + | + | 2 |
सभी उपजों के वर्गों का योग = 510.5
सभी उपजों का कुल योग = 50.00
(i) आँकड़ों का विश्लेषण कीजिए और महत्त्वपूर्ण घटकों की पहचान कीजिए। (12 अंक)
(ii) समाश्रयन निदर्श विकसित कीजिए और जब A तथा B दोनों निम्न स्तर (−1) पर हों, तब उपज का पूर्वानुमान कीजिए। (8 अंक)
[दिया गया है, F₍₁, ₄, ₀.₀₅₎ = 7.71]
(b) एक अभिलक्षण Y के समष्टि माध्य Ȳ का आकलन करने के लिए, 1000 आमाप का एक सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श 1000000 आमाप की समष्टि में से प्रतिस्थापन रहित चुना गया है। सहायक अभिलक्षण X का समष्टि माध्य X̄ = 15 है। अन्य परिणाम नीचे दिये गये हैं: s²ᵧ = 20, s²ₓ = 25, sₓᵧ = 15, x̄ = 14, ȳ = 10।
(i) अंतर, अनुपात और समाश्रयण आकलकों का उपयोग करते हुए Ȳ का आकलन कीजिए। (6 अंक)
(ii) इन आकलकों की MSE का आकलन कीजिए। Ȳ का आकलन करने के लिए हमें कौन-सा आकलक चुनना चाहिए? (9 अंक)
(c) मान्यताओं का उल्लेख करते हुए अन्योन्यक्रियाओं सहित द्विविधा वर्गीकरण के विश्लेषण में उपयोग किये गये निदर्श को लिखिए। इसके संदर्भ में किन परिकल्पनाओं का परीक्षण किया जाता है? वर्गों के योग का व्यंजक प्राप्त कीजिए और ANOVA को पूर्ण कीजिए। (15 अंक)
Answer approach & key points
Framework: UPSC Statistics Paper 1. (a(i)) analyse: intro > causes > effects > stakeholders/linkages > way forward | (a(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance Full marks: All calculations correct, clear interpretation, complete ANOVA tables
- Total SS=510.5−50²/8=198 with 7 df
- SS_effect=r×(effect)²: SS_A=128, SS_B=50, SS_AB=8
- Error SS=12 on 4 df, MS_E=3
- F_A=42.67 and F_B=16.67 exceed 7.71 (significant); F_AB=2.67 does not
- Coded regression coefficients equal half the effects; intercept is the grand mean 6.25
- Model with significant terms ŷ=6.25+4x_A−2.5x_B
- Prediction at x_A=x_B=−1 equals 4.75
- Notes the full model including AB gives 5.75 and justifies dropping AB
- Difference estimator ȳ+(X̄−x̄)=11
- Ratio estimator (ȳ/x̄)X̄=75/7≈10.714
- b=s_xy/s_x²=0.6
- Regression estimator ȳ+b(X̄−x̄)=10.6
- Uses (1−f)/n=0.000999
- MSE_D=0.000999(s_y²+s_x²−2s_xy)=0.014985
- MSE_R≈0.000999(s_y²+R̂²s_x²−2R̂s_xy)=0.011315
- MSE_reg=0.000999(s_y²−s_xy²/s_x²)=0.010989, smallest, so choose the regression estimator
- Model Y_ijk=μ+α_i+β_j+(αβ)_ij+ε_ijk with ε_ijk iid N(0,σ²), side constraints and n ≥ 2
- Three null hypotheses: no A effect, no B effect, no interaction
- SS expressions for A, B, AB, error and total using totals and the correction factor
- ANOVA with df a−1, b−1, (a−1)(b−1), ab(n−1), N−1 and F ratios against MS_E