All 8 questions from UPSC Civil Services Mains Physics
2021 Paper I (400 marks total). Every stem reproduced in full,
with directive-word analysis, marks, word limits, and answer-approach pointers.
8Questions
400Total marks
2021Year
Paper IPaper
Topics covered
Mechanics, fluid dynamics, special relativity, optics, SHM (1)Explosion mechanics, elasticity, Fraunhofer diffraction (1)Optical fiber, chromatic aberration, relativistic mechanics (1)Moment of inertia, gravitational potential, damped harmonic oscillation (1)Electromagnetism, statistical mechanics, thermodynamics and circuit analysis (1)Special relativity, electromagnetic induction and thermodynamic processes (1)Electromagnetism and thermodynamics (1)Thermodynamics, statistical mechanics and electrostatics (1)
A
Q1
50MCompulsorysolveMechanics, fluid dynamics, special relativity, optics, SHM
(a) A particle moving in a central force field describes the path r = ke^αθ, where k and α are constants. If the mass of the particle is m, find the law of force. (10 marks)
(b) A capillary tube having 1·0 mm diameter, 20 cm in length is fitted horizontally to a vessel in which alcohol is kept fully up to the neck. Density of alcohol is 8 × 10² kg/m³. The depth of the centre of the capillary tube below the surface of alcohol is 40 cm. Find the amount of alcohol that will flow out of the capillary tube in 10 minutes. Coefficient of viscosity of alcohol is 0·0012 Ns/m². (10 marks)
(c) An observer detects two explosions, one that occurs near him at a certain time and another that occurs 2·0 ms later 100 km away. Another observer finds that the two explosions occur at the same place. What time interval separates the explosions to the second observer? (10 marks)
(d) A thin film of petrol of thickness 9 × 10⁻⁶ cm is viewed at an angle 30° to the normal. Find the wavelength(s) of light in visible spectrum which can be viewed in the reflected light. The refractive index of the film μ = 1·35. (10 marks)
(e) A mass m is suspended by two springs having force constants k₁ and k₂ as shown in the figure. The mass m is displaced vertically downward and then released. If at any instant t, the displacement of the mass m is x, then show that the motion of the mass is simple harmonic motion having frequency
f = 1/(2π) √[1/m (k₁k₂)/(k₁+k₂)] (10 marks)
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(a) एक कण का पथ केंद्रीय बल क्षेत्र में r = ke^αθ से वर्णित किया जाता है, जहाँ कि k और α नियतांक हैं । यदि कण का द्रव्यमान m है, तो बल का नियम ज्ञात कीजिए । (10 अंक)
(b) एक 1·0 mm व्यास और 20 cm लंबाई वाली केशिकीय नलिका एक बर्तन, जिसमें 8 × 10² kg/m³ घनत्व का एल्कोहॉल भरा है, से क्षैतिज दिशा में जुड़ी है । केशिकीय नलिका के केंद्र की गहराई एल्कोहॉल के पृष्ठ से 40 cm नीचे है । 10 मिनट में केशिकीय नलिका से बहने वाले एल्कोहॉल की मात्रा ज्ञात कीजिए । एल्कोहॉल का श्यानता गुणांक 0·0012 Ns/m² है । (10 अंक)
(c) एक प्रेक्षक दो विस्फोट देखता है, पहला जो कि उसके पास किसी समय पर होता है तथा दूसरा जो कि 2·0 ms बाद 100 km दूर होता है । एक दूसरा प्रेक्षक पाता है कि दोनों विस्फोट एक ही स्थान पर होते हैं । दूसरे प्रेक्षक के लिए विस्फोटों का समय अंतराल क्या होगा? (10 अंक)
(d) 9 × 10⁻⁶ cm पतले पेट्रोल की परत (फिल्म) को लम्बवत् दिशा से 30° कोण पर देखा जाता है । परावर्तित प्रकाश के उन तरंगदैर्घ्य(यों) को ज्ञात कीजिए जो कि दृश्य वर्णक्रम (स्पेक्ट्रम) में आते हैं । पेट्रोल की परत (फिल्म) का अपवर्तनांक μ = 1·35 है । (10 अंक)
(e) चित्र में दर्शाए अनुसार एक द्रव्यमान m, दो स्प्रिंगों जिनका बल नियतांक k₁ और k₂ है, से लटकाया गया है । द्रव्यमान m को उर्ध्वाधर दिशा में नीचे की तरफ थोड़ा-सा विस्थापित करके छोड़ दिया जाता है । यदि किसी समय t पर द्रव्यमान m का विस्थापन x हो, तो दिखाइए कि द्रव्यमान की गति सरल आवर्त गति है जिसकी आवृत्ति
f = 1/(2π) √[1/m (k₁k₂/(k₁+k₂))] है । (10 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Complete derivation with all steps, units, and physical interpretation
(a) A body of mass m at rest splits into two masses m₁ and m₂ by an explosion. After the split the bodies move with a total kinetic energy T in opposite direction. Show that their relative speed is √(2Tm/m₁m₂). (15 marks)
(b) A light rod of length 100 cm is suspended from the ceiling, horizontally by means of two vertical wires of equal length tied to its ends. One of the wires is made of steel and its cross-section is 0·05 sq. cm and the other is of brass of cross-section 0·1 sq. cm. Find the position along the rod at which a weight may be hung to produce
(i) Equal stresses in both the wires,
(ii) Equal strain in both the wires.
Young's modulus of elasticity of brass and steel are 1·0 × 10¹¹ N/m² and 2·0 × 10¹¹ N/m² respectively. (15 marks)
(c) Show that the phenomenon of Fraunhofer diffraction at two vertical slits is modulation of two terms viz. double slit interference and single slit diffraction. Obtain the condition for positions of maxima and minima. (20 marks)
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(a) एक द्रव्यमान m का पिंड, जो कि स्थिर अवस्था में है, एक विस्फोट के दौरान दो भागों m₁ और m₂ द्रव्यमानों के दो पिंडों में विभाजित हो जाता है । विभाजन के बाद दोनों पिंड कुल गतिज ऊर्जा T के साथ विपरीत दिशाओं में गति करते हैं । दिखाइए कि दोनों की आपेक्षिक चाल √(2Tm/m₁m₂) है । (15 अंक)
(b) 100 cm लम्बाई के एक हल्के छड़ को दोनों किनारों पर समान लम्बाई के दो ऊर्ध्वाधर तारों से बाँधकर छत से क्षैतिज दिशा में लटकाया गया है । एक तार इस्पात से बना है जिसका अनुप्रस्थ-परिच्छेद 0·05 sq. cm है तथा दूसरा तार ब्रास (पीतल) का बना है जिसका अनुप्रस्थ-परिच्छेद 0·1 sq. cm है । छड़ पर उस स्थान को ज्ञात कीजिए जहाँ पर एक भार को लटकाया जा सके जिससे कि दोनों तारों में
(i) बराबर प्रतिबल,
(ii) बराबर विकृति
उत्पन्न किया जा सके ।
ब्रास (पीतल) और इस्पात के यंग के प्रत्यास्थता गुणांक क्रमशः 1·0 × 10¹¹ N/m² और 2·0 × 10¹¹ N/m² हैं । (15 अंक)
(c) दिखाइए कि दो उर्ध्वाधर छिद्रों से होने वाले फ्राउनहोफर विवर्तन की परिघटना दो पदों, जैसे कि द्वि-छिरी से व्यतिकरण और एकल छिरी से विवर्तन का मॉडुलन होता है । अधिकतम और न्यूनतम मान की स्थितियों की शर्त प्राप्त कीजिए । (20 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Complete derivations with correct algebra, clear diagrams, and physical interpretation.
Apply conservation of linear momentum (initial momentum zero).
Express total kinetic energy T in terms of m1, m2, v1, v2.
Define relative speed as v1 + v2 (opposite directions).
Algebraically eliminate velocities to obtain √(2Tm/m1m2).
Draw labelled free-body diagram of rod and wires.
Apply torque equilibrium about one end of the rod.
Relate stress to force/area and strain to stress/Young's modulus.
Solve for distance x from steel wire end for both cases.
(a) In a step-index optical fiber system, explain the terms pulse dispersion and material dispersion.
An optical fiber having refractive indices of core and cladding n₁ = 1·463 and n₂ = 1·444 respectively, uses a Laser diode with λ₀ = 1·50 μm with a spectral width of 2 nm. At this wavelength if the material dispersion coefficient, Dₘ is 18·23 ps/km.nm, then calculate the pulse dispersion and material dispersion for 1 km length of the fiber. (20 marks)
(b) What is chromatic aberration? Obtain the condition for achromatism using combination of two thin lenses placed in contact to each other. Can this system work as achromatic doublet if both are of same material? Justify your answer. (15 marks)
(c) (i) Calculate the mass and momentum of a proton of rest mass 1·67 × 10⁻²⁷ kg moving with a velocity of 0·8c, where c is the velocity of light. If it collides and sticks to a stationary nucleus of mass 5·0 × 10⁻²⁶ kg, find the velocity of the resultant particle. (8 marks)
(ii) Calculate the mass of the particle whose kinetic energy is half of its total energy. Find the velocity with which the particle is travelling. (7 marks)
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(a) एक स्टेप-इंडेक्स ऑप्टिकल फाइबर निकाय में स्पंद (पल्स) प्रकीर्णन और पदार्थ प्रकीर्णन पदों को समझाइए ।
एक ऑप्टिकल फाइबर, जिसके कोर और क्लैडिंग पदार्थ का अपवर्तनांक क्रमशः: n₁ = 1·463 और n₂ = 1·444 है, एक लेसर डायोड, जिसका λ₀ = 1·50 μm और स्पेक्ट्रल चौड़ाई 2 nm, का उपयोग करता है । इस तरंगदैर्ध्य पर यदि पदार्थ का प्रकीर्णन गुणांक Dₘ = 18·23 ps/km.nm है, तो 1 km लम्बे फाइबर के लिए स्पंद (पल्स) प्रकीर्णन और पदार्थ प्रकीर्णन की गणना कीजिए । (20 अंक)
(b) वर्ण विपथन क्या है ? दो एक-दूसरे से सटे हुए पतले लेंसों को उपयोग में लाते हुए अवर्णकता की शर्त को प्राप्त कीजिए । यदि दोनों लेंस एक ही पदार्थ के बने हों, तो क्या यह निकाय अवर्णक द्विक की तरह कार्य कर सकता है ? अपने उत्तर का औचित्य बताइए । (15 अंक)
(c) (i) एक प्रोटॉन के द्रव्यमान और संवेग की गणना कीजिए जिसका स्थिर द्रव्यमान 1·67 × 10⁻²⁷ kg है तथा यह 0·8c के वेग से गति कर रहा है, जहाँ c प्रकाश की गति है। यदि यह प्रोटॉन एक स्थिर नाभिक जिसका द्रव्यमान 5·0 × 10⁻²⁶ kg है, से टकराता है और उससे चिपक जाता है, तो परिणामी कण का वेग ज्ञात कीजिए। (8 अंक)
(ii) एक कण के द्रव्यमान की गणना कीजिए जिसकी गतिज ऊर्जा उसकी कुल ऊर्जा की आधी है। कण जिस वेग से गति कर रहा है उस वेग को ज्ञात कीजिए। (7 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: All parts show full derivation, correct units, and physical interpretation; no conceptual errors.
Define pulse dispersion and material dispersion
Calculate numerical value of material dispersion
Calculate numerical value of pulse dispersion
Carry units (ps/km.nm, nm, km) in calculation
Define chromatic aberration
Derive condition for achromatism (1/f1 + 1/f2 = 0)
Justify why same material cannot form achromatic doublet
50MderiveMoment of inertia, gravitational potential, damped harmonic oscillation
(a) (i) Define moment of inertia and radius of gyration of a body of mass M rotating about an axis. State and prove Parallel Axis theorem on moment of inertia. (15 marks)
(ii) A sphere of mass 0·5 kg rolls on a smooth surface without slipping with a constant velocity of 3·0 m/s. Calculate its total kinetic energy. (5 marks)
(b) The radius of the Earth is 6·4 × 10⁶ m, its mean density is 5·5 × 10³ kg/m³ and the universal gravitational constant is 6·66 × 10⁻¹¹ Nm²/kg². Calculate the gravitational potential on the surface of the Earth. (10 marks)
(c) What is damped harmonic oscillation? Write the equation of motion and obtain the general solution for this oscillation. Discuss the cases of dead beat, critical damping and oscillatory motion based on the general solution.
What would be the logarithmic decrement of the damped vibrating system, if it has an initial amplitude 30 cm, which reduces to 3 cm after 20 complete oscillations? (20 marks)
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(a) (i) एक अक्ष के चारों तरफ घूर्णन करते हुए एक द्रव्यमान M के लिए जड़त्व आघूर्ण और परिभ्रमण त्रिज्या को परिभाषित कीजिए। जड़त्व आघूर्ण के समांतर अक्ष प्रमेय का उल्लेख कीजिए और इसे सिद्ध कीजिए। (15 अंक)
(ii) एक 0·5 kg द्रव्यमान का गोला चिकने पृष्ठ पर बिना फिसले 3·0 m/s के एकसमान वेग से लुढ़क रहा है। इसकी कुल गतिज ऊर्जा की गणना कीजिए। (5 अंक)
(b) पृथ्वी की त्रिज्या 6·4 × 10⁶ m है, इसका माध्य घनत्व 5·5 × 10³ kg/m³ और सर्वभौम (सार्वत्रिक) गुरुत्वीय नियतांक 6·66 × 10⁻¹¹ Nm²/kg² है। पृथ्वी के पृष्ठ पर गुरुत्वाकर्षण विभव की गणना कीजिए। (10 अंक)
(c) अवमंदित संनादी (हार्मोनिक) दोलन क्या है ? इस दोलन गति के लिए समीकरण लिखिए और उसका सर्वमान्य हल प्राप्त कीजिए । सर्वमान्य हल पर आधारित रुद्ध विस्पंदन क्रांतिक अवमंदन और दोलन गति की चर्चा कीजिए ।
एक अवमंदित दोलनी निकाय का लघुगणकीय अपक्षय क्या होगा यदि इसका प्रारंभिक आयाम 30 cm है जो कि पूरे 20 दोलन के बाद 3 cm हो जाता है ? (20 अंक)
Answer approach & key points
(a(i)) define: precise definition > the distinguishing feature > one example | (a(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) discuss: intro > 3-4 dimensions > example > balanced close Full marks: Complete derivations, correct calculations with units, clear discussion of all cases
Define moment of inertia as sum of mr²
Define radius of gyration as k = sqrt(I/M)
State Parallel Axis theorem: I = I_cm + Md²
Derive theorem using vector separation of position
Identify total KE as translational plus rotational
50MCompulsorycalculateElectromagnetism, statistical mechanics, thermodynamics and circuit analysis
(a) Given that the electric potential of a system of charges is V = 12/r² + 1/r³ volt. Calculate the electric field vector at the Cartesian point (4, 2, 3) m. (10 marks)
(b) Eight indistinguishable balls are to be arranged in six distinguishable boxes. Calculate the total number of ways in which the above can be done. (10 marks)
(c) A rod of length l is perpendicular to a uniform magnetic field B. The rod revolves at an angular speed ω about an axis passing through one end of the rod and parallel to the magnetic field B. Find the voltage induced across the rod's ends. (10 marks)
(d) Calculate the critical constants for CO₂ for which the Van der Waals constants are given by a = 0·0072 and b = 0·002. Also calculate the Boyle's temperature of CO₂. The unit of pressure is atmosphere and the unit of volume is that of a gm-mole of the gas at NTP. (10 marks)
(e) Consider the two branch parallel circuit shown in the diagram. Determine the resonant frequency of the circuit. (10 marks)
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(a) एक आवेशों के तंत्र का वैद्युत विभव V = 12/r² + 1/r³ वोल्ट से दिया गया है । कार्तीय निर्देशांक (4, 2, 3) m पर स्थित बिंदु के लिए वैद्युत क्षेत्र सदिश की गणना कीजिए । (10 अंक)
(b) आठ अविभेदित गेंदों को छः विभेदित डिब्बों में रखना है । इस बात की गणना कीजिए कि उपर्युक्त कार्य को कुल कितनी विधियों से कर सकते हैं । (10 अंक)
(c) l लंबाई की एक छड़ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र B के लंबवत है । यह छड़ अपने एक सिरे से गुजरते हुए तथा चुंबकीय क्षेत्र B के समांतर अक्ष के चारों तरफ कोणीय चाल ω से घूर्णन कर रही है । छड़ के सिरों के आर-पार प्रेरित वोल्टता ज्ञात कीजिए । (10 अंक)
(d) CO₂ के क्रांतिक नियतांक की गणना कीजिए जिसके लिए वान्डर वाल्स नियतांक a = 0·0072 और b = 0·002 दिया गया है । CO₂ के लिए बॉयल ताप की भी गणना कीजिए । दाब का मात्रक (इकाई) वायुमंडल (atmosphere) और आयतन का मात्रक (इकाई) NTP पर गैस के एक gm-mole के समान है । (10 अंक)
(e) चित्र में दिए गए द्वि-शाखी समांतर परिपथ के लिए अनुनाद आवृत्ति की गणना कीजिए । (10 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (d) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (e) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivation with units, correct final values, physical interpretation
50MsolveSpecial relativity, electromagnetic induction and thermodynamic processes
(a) In an inertial reference frame S there is only a uniform electric field E⃗ = 8 kVm⁻¹. Find the magnitude of E⃗' and B⃗' in the inertial reference frame S' moving with a constant velocity v⃗ relative to the frame S at an angle α = 45^° to the vector E⃗. The velocity of the frame S' is 0.6 times the velocity of light c. (20 marks)
(b) In the given circuit, L = 2·0 μH, R = 1·0 Ω, R₀ = 2·0 Ω and E = 3·0 V. Find the amount of heat generated in the coil after the switch S is disconnected. The internal resistance of the source is negligible. (10 marks)
(c) Explain the characteristics of the following thermodynamic processes for a perfect gas :
(i) Isothermal process
(ii) Adiabatic process
(iii) Isobaric process
(iv) Isochoric process
Obtain the expression for the work done by the gas during the above processes. (20 marks)
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(a) एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम S में एकसमान तीव्रता का वैद्युत क्षेत्र E⃗ = 8 kVm⁻¹ विद्यमान है । E⃗' और B⃗' का परिमाण दूसरे जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम S' में ज्ञात कीजिए जो कि S फ्रेम के सापेक्ष एकसमान वेग v⃗ से तथा सदिश E⃗ क्षेत्र से α = 45^° के कोण पर गति कर रहा है । फ्रेम S' का वेग प्रकाश के वेग c का 0.6 गुना है । (20 अंक)
(b) दिए गए परिपथ में L = 2·0 μH, R = 1·0 Ω, R₀ = 2·0 Ω और E = 3·0 V है । जब परिपथ के कुंजी S को भंग कर दिया जाता है, तो कुंडली में उत्पन्न ऊष्मा की मात्रा ज्ञात कीजिए । स्रोत का आंतरिक प्रतिरोध नगण्य है । (10 अंक)
(c) आदर्श गैस के लिए निम्नलिखित ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं के अभिलक्षणों की व्याख्या कीजिए :
(i) समतापी प्रक्रिया
(ii) रूद्धोष्म प्रक्रिया
(iii) समदाबी प्रक्रिया
(iv) समआयतनिक प्रक्रिया
उपर्युक्त प्रक्रियाओं के दौरान गैस के द्वारा किए गए कार्य का व्यंजक प्राप्त कीजिए । (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Complete derivations with correct units, clear diagrams, and physical interpretation for all parts.
State Lorentz transformation equations for E and B
Resolve E into components parallel and perpendicular to v
Calculate gamma factor for v = 0.6c
Compute final magnitudes with units
Determine steady-state current through inductor before switching
Apply energy conservation: Heat = Initial magnetic energy
Use formula U = 1/2 L I²
Substitute values and calculate final heat in Joules
(a) A region 1, z < 0, has a dielectric material with εᵣ = 3·2 and a region 2, z > 0 has a dielectric material with εᵣ = 2·0. Let the displacement vector in the region 1 be, D⃗₁ = – 30 aₓ + 50 aᵧ + 70 aᵤ nCm⁻². Assume the interface charge density is zero. Find in the region 2, the D⃗₂ and P⃗₂, where P⃗₂ is the electric polarization vector in the region 2. (20 marks)
(b) Calculate the skin depth of electromagnetic waves of 1 MHz incident on a good conductor having σ = 5·8 × 10⁷ Sm⁻¹. Assume that inside the conductor μ = μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Hm⁻¹. (10 marks)
(c) The spectral composition of solar radiation is similar to that of a black body radiator whose maximum emission corresponds to the wavelength 0·48 μm. Find the mass lost by the Sun every second due to radiation. Evaluate the time interval during which the mass of the Sun reduces by 1 per cent.
Given : Stefan Boltzmann constant = 5·669 × 10⁻⁸ W m⁻² K⁻⁴, radius of the Sun = 6·957 × 10⁸ m, surface temperature of the Sun = 5772 K and mass of the Sun is 1·9885 × 10³⁰ kg. (20 marks)
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(a) क्षेत्र 1, z < 0 परावैद्युत पदार्थ εᵣ = 3·2 का बना है और क्षेत्र 2, z > 0 परावैद्युत पदार्थ εᵣ = 2·0 का है । मान लीजिए कि विस्थापन सदिश क्षेत्र 1 में D⃗₁ = – 30 aₓ + 50 aᵧ + 70 aᵤ nCm⁻² है । मान लीजिए कि अंतरापृष्ठ आवेश घनत्व शून्य है । क्षेत्र 2 में D⃗₂ और P⃗₂ ज्ञात कीजिए, जहाँ P⃗₂ क्षेत्र 2 में वैद्युत ध्रुवण सदिश है । (20 अंक)
(b) एक सुचालक, जिसका σ = 5·8 × 10⁷ Sm⁻¹ है, पर 1 MHz की विद्युत-चुंबकीय तरंगें आपतित होती हैं । इस सुचालक के लिए त्वचा गहराई की गणना कीजिए । मान लीजिए कि सुचालक के अंदर μ = μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Hm⁻¹ है । (10 अंक)
(c) सौर विकिरण का वर्णक्रम (स्पेक्ट्रल) संयोजन एक कृष्णिका विकिरक के समान है जिसके अधिकतम उत्सर्जन का तरंगदैर्ध्य 0·48 μm है । विकिरण के कारण सूर्य की द्रव्यमान क्षति प्रति सेकंड ज्ञात कीजिए । उस समय अंतराल की गणना कीजिए जिसमें सूर्य का द्रव्यमान 1% घट जाता है ।
दिया गया है : स्टीफन बोल्ट्ज़मान नियतांक = 5·669 × 10⁻⁸ W m⁻² K⁻⁴, सूर्य की त्रिज्या = 6·957 × 10⁸ m, सूर्य के पृष्ठ का ताप = 5772 K और सूर्य का द्रव्यमान 1·9885 × 10³⁰ kg है । (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Correct application of boundary conditions, formulas, and unit consistency with clear steps.
Apply boundary condition: normal D continuous (σ=0)
50McalculateThermodynamics, statistical mechanics and electrostatics
(a) (i) The melting point of tin is 232°C, its latent heat of fusion is 14 cal/g and the specific heat of solid and molten tin are 0·055 and 0·064 cal/g °C respectively. Calculate the change in entropy when 1·0 gm of tin is heated from 100°C to 300°C.
(ii) Calculate the efficiency of an engine having compression ratio 13·8 and expansion ratio 6 and working on diesel cycle. Given γ = 1·4. (10+5 marks)
(b) (i) Write the expression for the Fermi-Dirac distribution. Plot the Fermi-Dirac distribution at T = 0 and for T₁ > T₂ > 0. Now from the plot propose two alternative definitions of the Fermi level.
(ii) Calculate the probability of an electron occupying an energy level 0·02 eV above the Fermi level at T = 300 K. (15+5 marks)
(c) Given an infinite line charge of charge density 2 nCm⁻¹ parallel to the y-axis and passing through the point (3, 0, 4) m and an infinite sheet of charge of charge density 4 nCm⁻² parallel to the x-y plane and passing through the point (0, 0, 6) m. Calculate the electric field intensity at the point (10, 10, 10) m. Assume free space. (15 marks)
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(a) (i) टिन का गलनांक 232°C है, इसके संगलन की गुप्त ऊष्मा 14 cal/g है और ठोस टिन और गलित टिन की विशिष्ट ऊष्मा क्रमशः 0·055 और 0·064 cal/g °C हैं । 1·0 gm टिन को 100°C से 300°C तक गर्म करने में एन्ट्रॉपी में हुए परिवर्तन की गणना कीजिए ।
(ii) एक इंजन की दक्षता की गणना कीजिए जिसका संपीडन अनुपात 13·8 है तथा प्रसार अनुपात 6 है । यह इंजन डीजल साइकिल पर काम करता है । दिया गया है γ = 1·4. (10+5 अंक)
(b) (i) फर्मी-डिराक वितरण के लिए व्यंजक लिखिए । T = 0 और T₁ > T₂ > 0 के लिए फर्मी-डिराक वितरण को आरेखित कीजिए । इस आरेखण से फर्मी स्तर की दो विकल्पित परिभाषाएँ प्रस्तावित कीजिए ।
(ii) T = 300 K पर एक इलेक्ट्रॉन को फर्मी स्तर से 0·02 eV ऊपर ऊर्जा स्तर पर पाए जाने की प्रायिकता की गणना कीजिए । (15+5 अंक)
(c) y-अक्ष के समांतर तथा बिंदु (3, 0, 4) m से जाने वाले एक अपरिमित रेखीय आवेश का आवेश घनत्व 2 nCm⁻¹ है तथा x-y तल के समांतर एवं बिंदु (0, 0, 6) m से जाने वाले एक अपरिमित आवेश तल (शीट) का आवेश घनत्व 4 nCm⁻² है । बिंदु (10, 10, 10) m पर वैद्युत क्षेत्र की तीव्रता की गणना कीजिए । मुक्त आकाश की स्थिति मान लीजिए । (15 अंक)
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a(i)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (a(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b(i)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (b(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivations with all steps, correct units, physical interpretation
Integrate specific heat for solid tin (100-232°C)
Calculate latent heat contribution at 232°C
Integrate specific heat for molten tin (232-300°C)