All 8 questions from UPSC Civil Services Mains Physics 2023 Paper I (400 marks total). Every stem reproduced in full, with directive-word analysis, marks, word limits, and answer-approach pointers.
8Questions
400Total marks
2023Year
Paper IPaper
Topics covered
Mechanics, optics and laser physics (1)Gravitation, optics and rotational dynamics (1)Interference, collisions, damped harmonic oscillations (1)Optical fiber, fluid dynamics, diffraction (1)Electromagnetism, thermodynamics and statistical mechanics (1)Electromagnetic induction, thermodynamics and wave optics (1)Electromagnetism and thermodynamics problems (1)Electrostatics and statistical mechanics (1)
A
Q1
50MCompulsoryderiveMechanics, optics and laser physics
(a) A force F⃗ is given by F⃗ = x²y x̂ + zy² ŷ + xz² ẑ. Determine whether or not the force is conservative. 10 marks
(b) Calculate the gravitational self-energy of the Earth.
Given :
Mass of Earth Mₑ = 6 × 10²⁴ kg and the Radius of Earth Rₑ = 6·4 × 10⁶ m 10 marks
(c) What are the consequences of Lorentz transformations on length and time when observed from a frame moving at relativistic velocities ? 10 marks
(d) Using Huygens' principle for a plane wave travelling from rarer medium 1 to a denser medium 2, show that
(sin i)/(sin r) = (v₁)/(v₂) = (μ₂)/(μ₁),
where i and r are the angles of incidence and refraction, respectively. v₁, μ₁ and v₂, μ₂ are the velocities and refractive indices in media 1 and 2, respectively. 10 marks
(e) What are three and four level pumping schemes ? Explain the lasing action in these with schematic diagrams. 10 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) एक बल F⃗ = x²y x̂ + zy² ŷ + xz² ẑ से दिया गया है । ज्ञात कीजिए कि बल संरक्षी है या नहीं । 10
(b) पृथ्वी की गुरुत्वीय नैज-ऊर्जा की गणना कीजिए ।
दिया गया है :
पृथ्वी का द्रव्यमान Mₑ = 6 × 10²⁴ kg और पृथ्वी की त्रिज्या Rₑ = 6·4 × 10⁶ m 10
(c) आपेक्षिक वेग पर गतिशील फ्रेम से प्रेक्षित होने की दशा में लोरेंट्ज़ रूपांतरण का लंबाई और समय पर क्या प्रभाव पड़ेगा ? 10
(d) हाइगेंस के नियम का प्रयोग करते हुए, एक समतल प्रगामी तरंग के लिए, जो कि विरल माध्यम 1 से सघन माध्यम 2 में जा रही है, दर्शाइए कि
(sin i)/(sin r) = (v₁)/(v₂) = (μ₂)/(μ₁),
जहाँ कि i और r क्रमशः आपतन कोण और अपवर्तन कोण हैं । v₁, μ₁ और v₂, μ₂ माध्यम 1 और माध्यम 2 में क्रमशः वेग और अपवर्तनांक हैं । 10
(e) तीन और चार स्तरीय पम्पिंग योजनाएँ क्या हैं ? इनमें लेज़िंग क्रिया को योजनाबद्ध रेखाचित्र सहित समझाइए । 10
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (d) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (e) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Complete derivations with clear diagrams, correct units, and physical interpretation
Condition: curl F = 0
Partial derivatives of each component
Curl = -(y², z², x²)
Conclusion: non-conservative
U = -3GM²/(5R) from shell assembly
Substitution of M and R
U ≈ -2.25×10³² J
Units and interpretation
Lorentz factor γ
Time dilation Δt = γΔt₀
Length contraction L = L₀/γ
Relativity of simultaneity
Huygens' principle and wavefront diagram
BC = v₁t and AD = v₂t
sin i = BC/AC, sin r = AD/AC
μ = c/v for the final relation
Population inversion and metastable level
Three-level scheme (ruby), half the atoms must be pumped
50MderiveGravitation, optics and rotational dynamics
(a) (i) Derive the expressions for gravitational potentials at a point
(I) outside the spherical shell,
(II) inside the spherical shell.
10 marks
(ii) Calculate the escape velocity of a body of mass 10 kg from the surface of Moon (g_Moon = 1/6 g_Earth).
Mass of Moon = 7·3 × 10^22 kg
Radius of Moon = 1·7 × 10^6 m
10 marks
(b) Obtain condition for achromatism of two thin lenses separated by a finite distance. If the dispersive powers of the materials of the two lenses are 0·020 and 0·028, their focal lengths are 10 cm and 5 cm, respectively. Calculate the separation between them in order to form achromatic combination.
15 marks
(c) (i) The quantities of rotatory motion are analogous to those of translatory motion. Write the corresponding equations of translatory and rotatory motion.
5 marks
(ii) Describe the theorems of perpendicular and parallel axes in case of a plane lamina.
10 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) (i) गुरुत्वीय विभव के लिए किसी बिंदु पर व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए, जबकि बिंदु
(I) गोलीय कोश के बाहर हो,
(II) गोलीय कोश के अंदर हो ।
10
(ii) 10 kg द्रव्यमान के किसी पिंड के पलायन वेग की गणना चंद्रमा के तल से कीजिए
(g_चंद्रमा = 1/6 g_पृथ्वी)
चंद्रमा का द्रव्यमान = 7.3 × 10²² kg
चंद्रमा की त्रिज्या = 1.7 × 10⁶ m
10
(b) एक निश्चित दूरी पर स्थित दो पतले लेंसों के लिए अवर्णकता की शर्त को प्राप्त कीजिए ।
यदि दो लेंसों के पदार्थों की परिक्षेपण क्षमता 0·020 और 0·028 हो, तथा इनकी फोकस दूरियाँ क्रमशः 10 cm और 5 cm हैं, तो इनके बीच की दूरी परिकलित कीजिए जिससे कि ये एक अवर्णक संयुग्म बना सकें ।
15
(c) (i) घूर्णन गति की मात्राएँ स्थानांतरण गति की मात्राओं के अनुरूप होती हैं । घूर्णन एवं स्थानांतरण गतियों के संगत समीकरणों को लिखिए ।
5
(ii) एक समतल स्तरीका के लिए लम्बवत और समांतर अक्षों के प्रमेयों का वर्णन कीजिए ।
10
Answer approach & key points
(a(i)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (a(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c(i)) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (c(ii)) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance Full marks: Full derivation with units, correct substitution, clear diagrams, and physical interpretation.
(a) (i) What are the requisite conditions for observation of interference pattern on a screen ? (5 marks)
(ii) Derive the expression for fringe width and intensity at a point on the screen in a double slit experiment. (10 marks)
(b) (i) Prove that the separation of two colliding particles is same, when observed in centre of mass and laboratory systems. (10 marks)
(ii) Determine the kinetic energy of a thin disc of mass 0·5 kg and radius 0·2 m rotating with 100 rotations per second around the axis passing through its centre and perpendicular to its plane. (5 marks)
(c) Write equation for damped harmonic oscillations and obtain expression for logarithmic decrement.
In a damped harmonic motion, the first amplitude is 10 cm, which reduces to 2 cm after 50 oscillations, each of period 4 seconds. Determine the logarithmic decrement. Also, calculate the number of oscillations in which the amplitude decreases to 25%. (20 marks)
हिंदी में पढ़ें
(a) (i) व्यतिकरण पैटर्न को पर्दे पर प्रेक्षण के लिए आवश्यक शर्तों को लिखिए । (5 अंक)
(ii) द्वि-झिरी प्रयोग में पर्दे के किसी बिंदु पर फ्रिंज की चौड़ाई तथा तीव्रता के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए । (10 अंक)
(b) (i) सिद्ध कीजिए कि द्रव्यमान केन्द्र और प्रयोगशाला निकायों में प्रेक्षित दो टकराने वाले (संघनी) कणों के बीच की दूरी समान होती है । (10 अंक)
(ii) एक 0·5 kg द्रव्यमान और 0·2 m अर्धव्यास की पतली चक्रिका उसके तल के लम्बवत् और उसके केन्द्र से होकर गुजरते अक्ष के परितः 100 घूर्णन प्रति सेकण्ड की दर से घूर्णन कर रही है । चक्रिका की गतिज ऊर्जा की गणना कीजिए । (5 अंक)
(c) अवमंदित सरल आवर्त दोलनों के लिए समीकरण लिखिए और लघुगणकीय अपक्षय का व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए ।
एक अवमंदित सरल आवर्त गति में, प्रथम आयाम 10 cm है, जो कि 50 दोलनों के बाद घटकर 2 cm हो जाता है, जिसमें प्रत्येक दोलन का आवर्तकाल 4 सेकण्ड है । लघुगणकीय अपक्षय की गणना कीजिए । उन दोलनों की संख्या की गणना भी कीजिए जिसमें कि आयाम घटकर 25% रह जाता है । (20 अंक)
Answer approach & key points
(a(i)) enumerate: list the items in order > one line each > no commentary | (a(ii)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b(i)) justify: claim > 3-4 reasons > evidence > conclusion | (b(ii)) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous derivations with clear diagrams, correct units, and accurate numerical calculations.
Coherent sources: same frequency and constant phase
Monochromatic light
Comparable amplitudes
Path difference within coherence length, narrow close slits
Path difference Δ ≈ dy/D and phase difference
Resultant amplitude 2a cos(φ/2)
I = I₀ cos²(πdy/λD)
β = λD/d with maxima and minima conditions
Definition of R and CM-frame positions
r₁′ − r₂′ = r₁ − r₂
Same-instant Galilean frames
Relative velocity also invariant
I = ½MR² = 0.01 kg m²
ω = 2πf = 628.3 rad/s
K = ½Iω²
K ≈ 1.97×10³ J
x'' + 2γx' + ω₀²x = 0 with solution A₀e^(-γt)cos(ωt+φ)
(a) Write conditions for working of a step-index optical fiber. In a step-index fiber, the core and cladding materials have refractive indices 1·50 and 1·43, respectively.
Find the following :
(i) Critical propagation angle
(ii) Acceptance angle
(iii) Total time delay in 1 km length of the fiber
(iv) Total dispersion in 50 km length of the fiber
(b) Define streamline flow of a fluid. Using the equation of continuity for an isotropic fluid, find different components of total energy per unit volume.
(c) (i) What is the difference between Fresnel diffraction and Fraunhofer diffraction ?
(ii) What is resolving power of a telescope ? Why is the resolving power of microscope more with UV light than with visible light ?
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(a) स्टेप-इण्डेक्स प्रकाशिक तन्तु की कार्यविधि की शर्तों को लिखिए । एक स्टेप-इण्डेक्स तन्तु में, कोर और क्लैडिंग पदार्थों के अपवर्तनांक क्रमशः 1·50 और 1·43 हैं ।
निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) कांतिक संचरण कोण
(ii) स्वीकरण कोण
(iii) 1 km लम्बाई के तन्तु में कुल समयान्तराल
(iv) 50 km लम्बाई के तन्तु में कुल प्रकीर्णन
(b) एक तरल के धाररेखी प्रवाह को परिभाषित कीजिए । सांतत्य के समीकरण का उपयोग करते हुए समदैशिक तरल के लिए प्रति एकांक आयतन की कुल ऊर्जा के विभिन्न घटकों को ज्ञात कीजिए ।
(c) (i) फ्रेनल विवर्तन और फ्राउनहोफर विवर्तन में क्या अंतर है ?
(ii) एक दूरदर्शक की विभेदन क्षमता क्या होती है ? एक सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता UV प्रकाश में दृश्य प्रकाश की अपेक्षा ज्यादा क्यों होती है ?
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c(i)) compare: paired headings or table > key differences > significance > conclusion | (c(ii)) explain: definition/context > points in order > small example > short close Full marks: Complete derivations with units, clear definitions, and physical interpretation.
Condition n₁ > n₂ and entry within acceptance cone
θc = 72.4°, θp = 17.6°
NA = 0.453 and θa = 26.9°
Δt = (Ln₁/c)(n₁/n₂−1) = 0.245 μs per km, 12.2 μs for 50 km
Definition of streamline flow
Continuity A₁v₁ = A₂v₂ for incompressible isotropic fluid
Work-energy over a flow tube
P + ½ρv² + ρgh as pressure, kinetic and potential parts
50MCompulsorysolveElectromagnetism, thermodynamics and statistical mechanics
(a) Find the energy stored in a system of four charges Q₁ = 1 nC, Q₂ = 2 nC, Q₃ = 3 nC and Q₄ = 4 nC placed at the cartesian coordinates R₁(1, 1), R₂(2, 1), R₃(1, 4) and R₄(2, 2), respectively. Assume free space. 10 marks
(b) Derive the expression for the inductance per unit length of two long parallel wires each of radius a, separated by distance d from their axes and carrying equal and opposite current I. 10 marks
(c) Show that Continuity equation is embedded in Maxwell's equations. 10 marks
(d) Using Zeroth law of thermodynamics, introduce the concept of temperature. Explain how the isotherms of two different systems can be drawn. 10 marks
(e) Write down the expressions for the Fermi-Dirac distribution and the Bose-Einstein distribution. Plot the distributions as a function of the energy. 10 marks
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(a) कार्तीय निर्देशांकों R₁(1, 1), R₂(2, 1), R₃(1, 4) और R₄(2, 2) पर क्रमशः स्थित चार आवेशों Q₁ = 1 nC, Q₂ = 2 nC, Q₃ = 3 nC और Q₄ = 4 nC के एक निकाय में संचित ऊर्जा ज्ञात कीजिए । मुक्त आकाश की स्थिति मान लीजिए । 10 अंक
(b) दो लम्बे और समांतर तारों, जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या a है और जो एक दूसरे से उनके अक्षों के बीच की दूरी d पर स्थित हैं, में समान और विपरीत धारा I बह रही है । इनके एकांक लम्बाई के प्रेरकत्व का व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए । 10 अंक
(c) दर्शाइए कि सांतत्य का समीकरण मैक्सवेल के समीकरणों में समाहित है । 10 अंक
(d) ऊष्मागतिकी के शून्य कोटि के नियम का प्रयोग करते हुए ताप की धारणा को प्रतिपादित कीजिए । व्याख्या कीजिए कि कैसे दो अलग-अलग निकायों के लिए समताप रेखाएँ खींची जा सकती हैं । 10 अंक
(e) फर्मी-डिराक बंटन और बोस-आइंस्टाइन बंटन के लिए व्यंजक लिखिए । इन दोनों बंटनों का आलेखन ऊर्जा के फलन के रूप में कीजिए । 10 अंक
Answer approach & key points
(a) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (b) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (d) explain: definition/context > points in order > small example > short close | (e) describe: define > structure or process in order > labelled diagram > significance Full marks: Complete derivations with all steps, correct units, and physical interpretation.
Six pairwise distances
U = kΣQiQj/rij
Substitution with nC to C
U ≈ 1.90×10⁻⁷ J, positive
B between wires from Ampère's law
External flux (μ₀I/π) ln((d−a)/a)
Internal inductance μ₀/(8π) per wire
L = (μ₀/π)[ln((d−a)/a) + 1/4]
Divergence of the Ampère-Maxwell law
Divergence of curl is zero
Use of Gauss's law
∇·J + ∂ρ/∂t = 0
Statement of the zeroth law and transitivity
Empirical temperature through a thermometer
Isotherm as locus of states of equal temperature
Procedure for two systems with a common thermometer
50MderiveElectromagnetic induction, thermodynamics and wave optics
(a) Two inductors having inductances L₁ and L₂ are connected in parallel. The inductors have a mutual inductance M. Derive the expression for the effective inductance. Assume the inductors have negligible resistances. 15 marks
(b) (i) Define Joule-Kelvin coefficient. Write it in its mathematical form. 5 marks
(ii) Determine the Joule-Kelvin coefficient for a van der Waals gas. Hence, obtain an expression for temperature of inversion. Discuss the conditions under which heating or cooling is produced. 10 marks
(c) Consider the interaction of an electromagnetic wave at the interface of two dielectric media. If electric field E⃗ is parallel to the plane of incidence, obtain Fresnel's equations and Brewster's law of polarization. 20 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) दो प्रेरक, जिनका प्रेरकत्व L₁ और L₂ है, समांतर क्रम में जुड़े हैं । प्रेरकों का अन्योन्य प्रेरकत्व M है । परिणामी प्रेरकत्व के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए । मान लीजिए कि प्रेरकों का प्रतिरोध नगण्य है । 15 अंक
(b) (i) जूल-केल्विन गुणांक को परिभाषित कीजिए । इसको गणितीय रूप में लिखिए । 5 अंक
(ii) एक वान्डर वाल्स गैस के लिए जूल-केल्विन गुणांक निर्धारित कीजिए । इसके पश्चात् व्युत्क्रमण ताप के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए । किन शर्तों के अधीन उष्मीकरण या शीतलन उत्पन्न होगा, चर्चा कीजिए । 10 अंक
(c) दो परावैद्युत माध्यमों के अंतरापृष्ठ पर एक विद्युत-चुंबकीय तरंग की अन्योन्यक्रिया पर विचार कीजिए । यदि विद्युत-क्षेत्र E⃗ आपतन तल के समांतर है, तो फ्रेनल के समीकरणों एवं ध्रुवण के ब्रूस्टर के नियम को प्राप्त कीजिए । 20 अंक
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b(i)) define: precise definition > the distinguishing feature > one example | (b(ii)) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Complete derivations with diagrams, all steps shown, physical interpretation included
50MderiveElectromagnetism and thermodynamics problems
(a) A neutral atom consists of a point nucleus +q surrounded by a uniformly charged spherical cloud (-q) of radius r. Show that when such an atom is placed in a weak external electric field E⃗, the atomic polarizability of the atom is proportional to the volume of the sphere. 15 marks
(b) A piston-cylinder device initially contains air at 150 kPa and 27°C. At this state, the piston is resting on a pair of stops, as shown in the figure, and the enclosed volume is 400 L. The mass of the piston is such that a 350 kPa pressure is required to move it. The air is now heated until the volume is doubled. Determine:
(i) the final temperature,
(ii) the work done by the air, and
(iii) the total heat transferred to air.
20 marks
Given: U₃₀₀ ₖ = 214 kJ/kg and U_final = 1113 kJ/kg
Gas constant of air, R = 0·287 kPa.m³/kg.K
(c) A spherical shell of radius R, carrying a uniform surface charge σ, is set spinning at angular velocity ω about its axis. Find the vector potential it produces at point r⃗ .
15 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) एक उदासीन परमाणु में एकसमान रूप से आवेशित त्रिज्या r के गोलीय अभ्र (-q) से घिरा एक बिंदु नाभिक +q है । दर्शाइए कि जब इस प्रकार के परमाणु को एक दुर्बल बाह्य विद्युत-क्षेत्र E⃗ में रखा जाता है, तो परमाणु की परमाण्वीय ध्रुवणीयता गोले के आयतन के समानुपाती होती है । 15
(b) एक पिस्टन-सिलिंडर युक्ति प्रारंभ में 150 kPa और 27°C पर वायु धारण करती है। इस अवस्था में, पिस्टन दो अवरोधों पर, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है, स्थिर है और संलग्न आयतन 400 L है। पिस्टन का द्रव्यमान इस तरह से है कि इसको विस्थापित करने में 350 kPa दाब की आवश्यकता पड़ती है। अब वायु को तब तक गर्म करते हैं जब तक कि उसका आयतन दुगुना न हो जाए। ज्ञात कीजिए :
(i) अंतिम तापमान,
(ii) वायु के द्वारा किया गया कार्य, और
(iii) वायु को स्थानांतरित की गई कुल ऊष्मा की मात्रा।
20
दिया गया है : U₃₀₀ K = 214 kJ/kg और Uअंतिम = 1113 kJ/kg
वायु का गैस नियतांक, R = 0·287 kPa.m³/kg.K
(c) एकसमान पृष्ठीय आवेश σ के एक R अर्धव्यास के गोलीय कोश को उसके अक्ष के परितः ω कोणीय वेग से घूर्णन कराया जा रहा है । उसके द्वारा r⃗ बिन्दु पर उत्पन्न सदिश विभव ज्ञात कीजिए ।
15
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check Full marks: Rigorous derivation with clear diagrams, correct units, and physical interpretation.
Gauss's law field of the cloud: E = −qx/(4πε₀r³)
Equilibrium of qE with the restoring force
Displacement x = 4πε₀r³E/q
α = p/E = 4πε₀r³ = 3ε₀V ∝ V
Two stages: constant V up to 350 kPa, then constant P to 2V₁
m from the ideal gas law and T₃ = 1400 K
W = P(V₃−V₂) = 140 kJ
Q = ΔU + W = 766.5 kJ with the given U values
K = σ(ω × r′) as surface current density
A = (μ₀/4π)∮K da′/ℛ with a suitable axis choice
Evaluation using the l = 1 Legendre term
A = (μ₀σR/3)(ω × r) inside and (μ₀σR⁴/3r³)(ω × r) outside
(a) A circular ring of radius R lying on the x-y plane and centred at the origin, carries a uniform line charge λ. Find the first three terms (monopole, dipole and quadrupole) of the multipole expansion of potential V(r, θ).
20 marks
(b) Two charges Q₁ = 3 nC and Q₂ = 4 nC are placed at the cartesian points (0, 2, 2) m and (0, – 2, 4) m, respectively. The z = 0 plane is connected to the ground. Calculate the electric potential and the electric field at the point (3, 2, 4) m using the method of images.
15 marks
(c) Use the Maxwell-Boltzmann distribution to find the number of oxygen molecules whose velocities lie between 195 m/s and 205 m/s at 0°C. The given mass of oxygen gas is 0·1 kg. (Assume mass of proton to be 1·66 × 10⁻²⁷ kg)
15 marks
हिंदी में पढ़ें
(a) x-y तल में स्थित और मूल-बिंदु पर केंद्रित एक अर्धव्यास R के वृत्ताकार वलय पर एक एकसमान रैखिक आवेश λ धारित है । विभव V(r, θ) के बहुध्रुव प्रसार के प्रथम तीन पद (एकध्रुव, द्विध्रुव और चतुर्ध्रुव) ज्ञात कीजिए ।
20
(b) दो आवेश Q₁ = 3 nC और Q₂ = 4 nC कार्तीय बिंदुओं (0, 2, 2) m और (0, – 2, 4) m पर क्रमशः रखे गए हैं । z = 0 तल भू-संपर्कित है । प्रतिबिंब विधि का प्रयोग करते हुए बिंदु (3, 2, 4) m पर विद्युत विभव और विद्युत-क्षेत्र की गणना कीजिए ।
15
(c) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान बंटन का प्रयोग करते हुए उन ऑक्सीजन अणुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका 0°C पर वेग 195 m/s और 205 m/s के बीच है । ऑक्सीजन गैस का दिया गया द्रव्यमान 0·1 kg है । (प्रोटॉन का द्रव्यमान 1·66 × 10⁻²⁷ kg मान लीजिए)
15
Answer approach & key points
Framework: Principle > Setup and diagram > Derivation > Result and limiting case. (a) derive: given > assumptions > stepwise derivation > result > check | (b) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation | (c) calculate: given > formula > substitution > result with units > interpretation Full marks: Complete derivation with all steps, correct units, and physical interpretation.
Multipole expansion with Legendre polynomials for r > R
Monopole V₀ = Q/(4πε₀r) with Q = 2πλR
Dipole term vanishes by symmetry
Quadrupole V₂ = (QR²/4)(3sin²θ − 2)/(4πε₀r³)
Image charges −3 nC at (0,2,−2) and −4 nC at (0,−2,−4)
V = 6.85 V from four-charge superposition
E ≈ (2.20, 0.98, 0.27) V/m by vector sum
|E| ≈ 2.42 V/m with units
Mass of an O₂ molecule 5.31×10⁻²⁶ kg and N = 1.88×10²⁴
Maxwell-Boltzmann f(v) at T = 273 K
Narrow-interval estimate f(200)Δv with Δv = 10 m/s