Q1 50M Compulsory calculate
(a) A frictionless pulley A as shown in the figure is supported by two bars AB and AC which are hinged at B and C to a vertical wall. A flexible cable, hinged at D, goes over the pulley and supports a load 30 kN at the other end E. The angles between the members are shown in the figure. Neglecting the size of the pulley, determine the forces in the bars AB and AC by drawing the free body diagram : (10 marks)
(b) Draw the bending moment diagram and shear force diagram for the beam ABCD. The beam supports a point load of 12 kN as shown in the figure : (10 marks)
(c) Determine the 'shape factor' for the diamond-shaped section shown in the figure : (10 marks)
(d) A pretensioned beam 250 mm wide and 300 mm deep is prestressed by 12 wires (each 6 mm diameter) initially stressed to 1200 MPa with their centroid located at 100 mm from the soffit. Estimate the final percentage loss of stress due to elastic shortening, shrinkage, relaxation of steel and creep effect. Assume that the modulus of elasticity of steel and concrete are 210 kN/mm² and 35 kN/mm² respectively, creep coefficient = 1·6, residual shrinkage strain = 3×10⁻⁴ and relaxation of steel stress = 90 MPa. (10 marks)
(e) A steel plate girder is subjected to a maximum factored shear force of 2800 kN. The cross-section of the girder is shown in the figure. Design a suitable fillet weld to connect flange plates to the web. Assume shop welding. E250 grade of steel having f_u = 410 MPa is used. Use limit state method of design. Take γ_mw = 1·25 : (10 marks)
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(a) एक घर्षणहित पुली A को चित्र में दर्शाए अनुसार दो छड़ों AB एवं AC द्वारा आलंबित किया गया है, जो एक ऊर्ध्वाधर दीवार पर, B और C पर हिंज द्वारा जुड़ी है। एक लचीली केबल, जो D पर हिंज द्वारा जुड़ा है, पुली पर से होकर जाता है और दूसरे छोर E पर 30 kN का भार वहन करता है। अवयवों के बीच के कोणों को चित्र में दर्शाया गया है। पुली के आकार को नगण्य मानते हुए मुक्त पिंड आरेख बनाकर छड़ों AB और AC में बल निर्धारित कीजिए : (10 अंक)
(b) धरन ABCD के लिए बंकन आघूर्ण आरेख एवं अपरूपण बल आरेख बनाइए। धरन पर 12 kN का एक बिंदु भार, चित्र में दर्शाए अनुसार, लगा है : (10 अंक)
(c) चित्र में दर्शाए गए हीरे के आकार के परिच्छेद के लिए 'आकार गुणांक (शेप फैक्टर)' निर्धारित कीजिए : (10 अंक)
(d) एक पूर्व-तनावित (प्री-टेशन्ड) धरन, जिसकी चौड़ाई 250 mm और गहराई 300 mm है, को 12 तारों (प्रत्येक का व्यास 6 mm) द्वारा पूर्व-प्रतिबलित किया गया है, जिन्हें प्रारंभ में, इनके केन्द्रक (सेंट्रॉइड) को अधःस्तल (सॉफिट) से 100 mm दूरी पर स्थित करते हुए 1200 MPa तक प्रतिबलित किया गया है। प्रत्यास्थ लघुकरण, संकुचन, इस्पात का शिथिलन और सर्पण प्रभाव के कारण प्रतिबल में अंतिम हानि प्रतिशत का आकलन कीजिए। इस्पात और कंक्रीट का प्रत्यास्थता मापांक क्रमशः 210 kN/mm² और 35 kN/mm², सर्पण गुणांक = 1.6, अवशेष संकुचन विकृति = 3×10⁻⁴ और इस्पात प्रतिबल का शिथिलन = 90 MPa मान लीजिए। (10 अंक)
(e) एक स्टील प्लेट गर्डर पर 2800 kN का अधिकतम गुणित अपरूपण बल लगा है। गर्डर का अनुप्रस्थ काट चित्र में दर्शाया गया है। वेब से प्लेंज प्लेटों को जोड़ने के लिए एक उपयुक्त फिलेट वेल्ड का अभिकल्पन कीजिए। शॉप-वेल्डिंग मान लीजिए। E250 ग्रेड स्टील, जिसका f_u = 410 MPa है, का उपयोग किया गया है। अभिकल्पन के लिए सीमांत अवस्था विधि का उपयोग कीजिए। γ_mw = 1·25 लीजिए : (10 अंक)
Answer approach & key points
(a) Draw the free body diagram of the pin/pulley at A and, using static equilibrium of concurrent forces, determine the axial forces in the two bars AB and AC, stating whether each is tension or compression. Both the FBD and the numerical forces are required. (b) For the bent cantilever ABCD (fixed at A) carrying a single 12 kN point load at the free end D, compute the support reactions and draw both the shear force diagram and the bending moment diagram with all ordinates marked. (c) Derive the shape factor (ratio of plastic to elastic section modulus) for a symmetric diamond (rhombic) section of overall depth d and mid-depth width b, showing both Z (elastic) and Z_p (plastic) from first principles. (d) For a pretensioned beam, compute the loss of prestress from all four stated causes - elastic shortening, shrinkage, relaxation and creep - and express the total as a percentage of the initial stress of 1200 MPa. (e) Design the fillet weld connecting each flange plate to the web of a plate girder carrying a factored shear of 2800 kN: compute the horizontal shear flow at the flange-web junction and hence the required weld size, then check it against the IS 800 minimum/maximum size limits for shop welding.
- FBD of the pin A with T = 30 kN in both cable segments (AE down, AD at 30° below horizontal)
- Bar directions: AB 30° above horizontal, AC 60° below it
- ΣFx = 0 and ΣFy = 0 solved: F_AB = 0
- F_AC = 51.96 kN (30√3), compression
- Reactions V = 12 kN up, H = 0, M = 27.6 kN·m at A (12 × 2.3)
- SFD: 12 kN in AB and CD, zero in BC
- BMD: 0 at D, 3.6 at C, constant 3.6 in BC, 27.6 at A
- Axial force 12 kN tension in BC; hogging sign stated
- I = bd³/48 and Z = bd²/24
- Plastic axis at mid-depth splitting the area equally
- Z_p = (bd/4)(d/3) = bd²/12
- Shape factor = 2.0
- P = 407 kN, section properties, e = 50 mm, f_c = 7.24 N/mm²
- Elastic shortening 43.4 MPa (m = 6)
- Shrinkage 63 MPa, creep 69.5 MPa, relaxation 90 MPa
- Total 265.9 MPa = 22.2% of 1200 MPa
- I = 2.31 × 10¹⁰ mm⁴ and Q = 1.239 × 10⁷ mm³, so q = VQ/I = 1501 N/mm
- Two welds share q: 750 N/mm per weld
- Weld strength 0.7 s f_u/(√3 γ_mw) = 132.6 s N/mm gives s = 5.66 mm
- Provide 6 mm both sides, minimum 6 mm (thicker part 25 mm) and maximum 15 mm, capacity 1591 N/mm > 1501
(a) Using limit state method, design a reinforced concrete circular column (with lateral ties) of height 3·0 m. It is subjected to an unfactored axial load of 1150 kN (dead load + live load). Use M25 grade of concrete and Fe500 grade of steel. Take effective length factor as 1·2. Show the design details in a neat sketch. (15 marks)
(b) A straight bar of alloy is mounted in a strut-testing machine with both ends pin jointed and loaded axially till it buckles. Using Euler's formula, calculate the maximum central deflection before the alloy material attains the yield point at 300 MN/m². Take bar length = 2·0 m, cross-section of the bar as 20 mm × 15 mm and modulus of elasticity E as 90 GN/m². (15 marks)
(c) Using moment distribution method, analyse the structure ABCD shown in the figure (joint B is rigid). The loading on the structure, moment of inertia of the members and other dimensions are clearly mentioned in the figure. Give neat sketch of bending moment and shear force diagram, indicating their values in the diagram : (20 marks)
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(a) सीमांत अवस्था विधि का उपयोग करते हुए 3·0 m ऊँचे प्रबलित कंक्रीट के एक वृत्ताकार स्तंभ (पार्श्व बंधकों (लेटरल टाइज़) के साथ) का अभिकल्पन कीजिए। इस पर 1150 kN (अचल भार + चल भार) का अगुणित अक्षीय भार लगा है। कंक्रीट की ग्रेड M25 और स्टील की ग्रेड Fe500 का उपयोग कीजिए। प्रभावी लम्बाई गुणक को 1·2 लीजिए। अभिकल्पन का विवरण एक स्वच्छ चित्र में दर्शाइए। (15 अंक)
(b) मिश्रधातु की एक सीधी छड़ को एक स्ट्रट परीक्षण मशीन में इस प्रकार लगाया गया कि इसके दोनों सिरे पिन-जोड़ से जुड़े हैं और इस पर एक अक्षीय बल तब तक लगाया जाता है जब तक कि यह झुक न जाए। ऑयलर के सूत्र का उपयोग करते हुए मिश्रधातु के 300 MN/m² पर पाभव बिन्दु (यील्ड पॉइंट) पर पहुँचने से पूर्व, अधिकतम केन्द्रीय विश्लेष की गणना कीजिए। छड़ की लम्बाई = 2·0 m, छड़ का अनुप्रस्थ काट 20 mm × 15 mm और प्रत्यास्थता मापांक E = 90 GN/m² मान लीजिए। (15 अंक)
(c) आघूर्ण वितरण विधि का उपयोग करते हुए, चित्र में दर्शाई गई संरचना ABCD का विश्लेषण कीजिए (जोड़ B दृढ़ है)। संरचना पर भारण, सदस्यों का जड़त्व आघूर्ण तथा अन्य विमाएँ चित्र में स्पष्ट रूप से दर्शाई गई हैं। बंकन आघूर्ण तथा अपरूपण बल आरेख का स्वच्छ रेखाचित्र दीजिए, जिसमें आरेख पर उनके मान दर्शाए गए हों : (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) Design, by IS 456 limit state method, a tied circular RC column 3.0 m high for an unfactored axial load of 1150 kN: fix the diameter, verify short-column and minimum-eccentricity conditions, compute longitudinal steel, detail lateral ties, and present a neat labelled sketch. (b) For a pin-ended alloy strut of 2.0 m length and 20 mm x 15 mm section, compute the Euler buckling load and then, by combining the direct stress with the bending stress caused by the buckled shape, find the maximum central deflection at which the extreme fibre stress reaches the yield value of 300 MN/m^2. (c) Analyse the T-shaped rigid frame ABCD (fixed at A, C and D, rigid joint B, no sway) by the moment distribution method: compute fixed end moments, distribution factors, carry-overs and final end moments, then draw the bending moment and shear force diagrams with all values marked.
- P_u = 1.725 MN; D = 400 mm from about 1.5% steel (A_g about 116 000 mm² required)
- l_eff/D = 9 < 12 (short); e_min = 19.3 mm ≤ 0.05D = 20 mm
- A_sc = 1441 mm² (above 0.8% minimum); provide 6-18φ (1527 mm²), minimum 6 bars for a circular column
- 8φ ties at 280 mm c/c (not more than 16φ = 288, D = 400 or 300 mm); 40 mm cover; labelled sketch
- I_min = 5625 mm⁴ and P_E = π²EI/L² = 1249 N
- σ_max = P/A + Pδ/Z with P = P_E, A = 300 mm², Z = 750 mm³
- Direct stress 4.16 MN/m²; bending stress 295.8 MN/m²
- δ = 0.178 m (about 178 mm)
- FEMs: AB -73.47, BA +97.96, BC -57.60, CB +38.40, BD 0
- DF at B: BA 0.3226, BC 0.2258, BD 0.4516
- Final moments: AB -79.98, BA +84.94, BC -66.71, CB +33.84, BD -18.23, DB -9.11 (equilibrium at B verified)
- BMD with 88.61 and 42.43 under the loads, and SFD: 42.15/-57.85, 54.57/-25.43, 5.47 in BD
(a) A vertical member in a truss is subjected to the following member force (factored) :
(i) Compressive force = 30 kN (dead and live load)
(ii) Tensile force = 150 kN (dead and wind load)
The member is composed of two numbers ISA 100 × 100 × 8 connected to both sides of the gusset plate of thickness 10 mm. Find the number of bolts required at the joint. Assume bolt diameter = 16 mm, grade of bolt = 4·6, γ_mb = 1·25, k_b = 0·6, cross-sectional area at the threaded part of the bolt = 0·78 times that of shank. Use limit state method of design. (10 marks)
(b) The given figure shows the shear force diagram for a beam ABCDEF. The beam has hinge support at A and at one more point. Draw the load diagram and bending moment diagram (BMD) for this beam, indicating the shape of BMD between two successive points. Also show the point of contraflexure (if any) : (20 marks)
(c) A reinforced concrete passenger shelter is to be constructed as shown in the figure. The thickness of the slab is 150 mm. The ceiling plaster and roof finish load is 1·5 kN/m². The roof is inaccessible. Design and detail the slab only.
Use M20 grade concrete and Fe500 grade steel. Use limit state method.
Given :
[Table]
Mu/bd² : 0·3 | 0·4 | 0·5 | 0·6 | 0·7 | 0·8 | 0·9 | 1·0
pt (%) : 0·07 | 0·094 | 0·119 | 0·143 | 0·168 | 0·193 | 0·219 | 0·245
Modification Factor vs. Percentage Tension Reinforcement graph is given below :
[Diagram — TOP PLAN : Beam (solid black squares), Column, vertical dimensions 1000 mm, 2000 mm, 1000 mm; horizontal dimensions 1500 mm, 250 mm, 1500 mm; section arrows A—A. Diagram — VIEW AA : 1500 mm, 150 mm thickness slab, Beam, Column.]
[Graph — MODIFICATION FACTOR (vertical axis 0·4, 0·8, 1·2, 1·6, 2·0) vs. PERCENTAGE TENSION REINFORCEMENT (horizontal axis 0, 0·4, 0·8, 1·2, 1·6, 2·0, 2·4, 2·8, 3·0); curves for fs = 120, fs = 145, fs = 190, fs = 240, fs = 290. Note : fs is steel stress of service loads in N/mm². fs = 0·58 fy × (Area of cross-section of steel required / Area of cross-section of steel provided).]
MODIFICATION FACTOR FOR TENSION REINFORCEMENT (20 marks)
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(a) एक ट्रस के ऊर्ध्वाधर अवयव पर निम्न अवयव भार (गुणित) लगे हैं :
(i) संपीडन बल = 30 kN (अचल और चल भार)
(ii) तनन बल = 150 kN (अचल और पवन भार)
यह अवयव दो ISA 100 × 100 × 8 से निर्मित है, जो 10 mm मोटाई की गसेट प्लेट के दोनों ओर जुड़े हैं। इस जोड़ पर बोल्टों की आवश्यक संख्या ज्ञात कीजिए। मान लीजिए कि बोल्ट का व्यास = 16 mm, बोल्ट का ग्रेड = 4·6, γ_mb = 1·25, k_b = 0·6, बोल्ट के चूड़ी वाले भाग के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल = शैंक के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल का 0·78 गुना है। अभिकल्पन के लिए सीमांत अवस्था विधि का उपयोग कीजिए। (10 अंक)
(b) प्रदत्त चित्र एक धरन ABCDEF के लिए अपरूपण बल आरेख को दर्शाता है। धरन के बिन्दु A पर और एक अन्य बिन्दु पर भी हिंज आलंब है। इस धरन के लिए भार आरेख और बंकन आघूर्ण आरेख (बी० एम० डी०) बनाइए, जिसमें दो क्रमिक बिन्दुओं के मध्य बी० एम० डी० के आकार को इंगित कीजिए। नति-परिवर्तन बिन्दु (यदि कोई है) भी दर्शाइए : (20 अंक)
(c) एक प्रबलित कंक्रीट के यात्री आश्रय का निर्माण किया जाना है, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। स्लैब की मोटाई 150 mm है। सीलिंग के प्लास्टर एवं छत (रूफ) फिनिश का भार 1·5 kN/m² है। छत अगम्य है। M20 ग्रेड कंक्रीट और Fe500 ग्रेड इस्पात का उपयोग करते हुए केवल स्लैब का अभिकल्पन विस्तृत ड्राइंग के साथ कीजिए। सीमांत अवस्था विधि का उपयोग कीजिए। प्रदत्त :
| M_u/(bd²) | 0·3 | 0·4 | 0·5 | 0·6 | 0·7 | 0·8 | 0·9 | 1·0 |
| p_t (%) | 0·07 | 0·094 | 0·119 | 0·143 | 0·168 | 0·193 | 0·219 | 0·245 |
आशोधन गुणक बनाम प्रतिशत तनन प्रबलन ग्राफ नीचे दिया गया है :
धन, स्तम्भ, 1500 mm, 1500 mm, 250 mm, 2000 mm, 1000 mm, 1000 mm, शीर्ष अनुविक्षेप, A, A, दृश्य AA, 150 mm मोटाई की स्लैब
(ग्राफ अक्ष : 2·0, 1·6, 1·2, 0·8, 0·4 — आशोधन गुणक; 0, 0·4, 0·8, 1·2, 1·6, 2·0, 2·4, 2·8, 3·0 — प्रतिशत तनन प्रबलन; f_s = 120, f_s = 145, f_s = 190, f_s = 240, f_s = 290)
नोट : f_s सैद्धांतिक भारों का इस्पात प्रतिबल N/mm² में है
f_s = 0·58 f_y × आवश्यक इस्पात के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल / प्रदत्त इस्पात के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल
तनन प्रबलन के लिए आशोधन गुणक (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) Using IS 800 limit state method, find the number of 16 mm grade 4.6 bolts needed at the joint of a double-angle truss member: compute the double-shear capacity and the bearing capacity of one bolt, take the smaller as the bolt value, and divide the governing factored member force (150 kN tension) by it. (b) Working backwards from a given shear force diagram, reconstruct the loading on beam ABCDEF (locating the second hinge support), then draw the bending moment diagram stating the shape of the curve between successive points and locating the point of contraflexure. (c) Design and detail only the 150 mm thick cantilever roof slab of the passenger shelter (1500 mm projection each side of the central 250 mm beam) by limit state method with M20 and Fe500: compute loads, design moment, steel from the given Mu/bd^2 table, and check shear and deflection using the given modification factor chart, ending with a reinforcement detail.
- Tension of 150 kN governs over 30 kN compression
- Shear capacity V_dsb = (f_ub/√3)(A_nb + A_sb)/γ_mb = 66.1 kN, with A_nb = 0.78 A_sb
- Bearing V_dpb = 2.5 k_b d t f_u/γ_mb = 78.7 kN with t = 10 mm (gusset)
- Bolt value 66.1 kN and n = 150/66.1 = 2.27, so 3 bolts
- Loads: R_A = 10 kN, UDL 3 kN/m over AC (4 m), 5 kN at D, R_E = 9 kN (second support), 2 kN at F
- Equilibrium check: 19 kN down = 10 + 9, and moments about A balance
- BM: 0 at A, 16.67 at 3.33 m (B), 16.0 at C, 10.0 at D, -4.0 at E, 0 at F
- Parabolic A to C, straight lines C-D, D-E, E-F; contraflexure 8.43 m from A (1.43 m beyond D)
- Loads: 3.75 + 1.5 + 0.75 = 6.0 kN/m², w_u = 9.0 kN/m; M_u = 10.9 kN·m/m for L = 1557 mm
- M_u/bd² = 0.826 with d = 115 mm; p_t = 0.200%; A_st = 230 mm²/m (above 180 minimum)
- Deflection: 10 mm at 200 (393 mm²), f_s = 170, MF = 2.0, L/d = 13.5 ≤ 14
- Shear: τ_v = 0.11 < kτ_c = 0.52 N/mm²; detail 10 mm at 200 top, 8 mm at 250 distribution, with a sketch
(a) Three bodies of weights 200 N, 800 N and 400 N are connected with inextensible strings, passing over the frictionless pulleys as shown in the figure. Using virtual work method, determine the force F required to make the motion impending to the left. Take coefficient of friction for all the contacting surfaces as 0·30 except for the pulleys which are frictionless : (10 marks)
(b) (i) A simply supported beam ISMB 400 @ 61·6 kg/m has an effective span of 5 m. Find the design bending strength of the beam and the intensity of u.d.l. that the beam can carry under service condition. Assume that the beam is laterally supported. The grade of the steel is E250. The class of section is plastic. For ISMB 400, I_zz = 20458 cm^4, Z_ez = 1023 cm^3, Z_pz = 1176 cm^3. Assume γ_m0 = 1·1. Use limit state method of design. (10 marks)
(ii) Develop the stiffness matrix for the beam element AB with respect to the coordinates ① and ② as shown in the figure. Take modulus of elasticity and moment of inertia of beam section as E and I respectively : (10 marks)
(c) For an industrial building, for the following data, a gantry girder (along with its span, without side brackets) has been designed to carry an overhead crane :
Centre to centre distance between columns (i.e., span of gantry girder) = 7.5 m
Capacity of crane = 200 kN
Self weight of crane girder excluding trolley = 200 kN
Self weight of trolley, electric motor, hook, etc. = 40 kN
Minimum hook approach = 1.2 m
Distance between centres of wheels = 3.5 m
Centre to centre distance between gantry rails (i.e., span of crane) = 15 m
Self weight of rail section = 300 N/m
Yield stress of steel = 250 MPa
From the analysis of the data, the following information is obtained :
Total vertical design bending moment (including bending moment due to horizontal forces),
M_z = 685.53 kN-m
Horizontal design bending moment (due to surge load), M_y = 19.84 kN-m
Based on the analysis and other governing criteria, for the design of gantry girder, it was decided to use ISMB 600 @ 1230 N/m with a channel ISMC 300 @ 363 N/m at the top as shown in the figure :
[Figure : ISMC 300 channel at top, 300 mm wide, 7·8 mm, 90 mm; ISMB 600, 600 mm deep, web thickness 12 mm, flange width 210 mm, 20·8 mm; y-y and z-z axes marked]
(All dimensions are given in mm)
The properties of the sections are as follows :
ISMB 600 @ 1230 N/m : A = 15600 mm² ; t_f = 20·8 mm ; t_w = 12 mm ; Width of flange, B = 210 mm ; I_zz = 91800×10⁴ mm⁴ ; I_yy = 2650×10⁴ mm⁴ ; Radius at root, R = 20 mm
ISMC 300 @ 363 N/m : A = 4630 mm² ; t_f = 13·6 mm ; t_w = 7·8 mm ; B = 90 mm ; I_zz = 6420×10⁴ mm⁴ ; I_yy = 313×10⁴ mm⁴ ; Centre of gravity, C_yy = 23·5 mm
Check the adequacy of the chosen section for the moment capacity.
Assume any other data suitably. (20 marks)
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(a) 200 N, 800 N और 400 N भार वाले तीन पिंड घर्षणरहित पुली के ऊपर से गुजरती हुईं अवितान्य डोरी से जुड़े हुए हैं, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। आभासी कार्यविधि (वर्चुअल वर्क मेथड) का उपयोग करते हुए बाईं ओर आसन्न गति करने के लिए आवश्यक बल F का निर्धारण कीजिए। घर्षणरहित पुली को छोड़कर, समस्त सम्पर्क सतहों के लिए घर्षण गुणांक 0·30 लीजिए : (10 अंक)
(b) (i) एक शुद्धालंबित धरन ISMB 400 @ 61·6 kg/m की प्रभावी विस्तृति 5 m है। धरन की अभिकल्पन बंकन सामर्थ्य और यूं डी एल० की तीव्रता की गणना कीजिए, जिसे धरन कार्यकारी (सर्विस) अवस्था में वहन करने में सक्षम हो। मान लीजिए कि धरन पार्श्व रूप से आलंबित है। स्टील का ग्रेड E250 है। धरन काट प्लास्टिक श्रेणी का है। ISMB 400 के लिए I_zz = 20458 cm^4, Z_ez = 1023 cm^3, Z_pz = 1176 cm^3 हैं। γ_m0 = 1·1 मान लीजिए। अभिकल्पन के लिए सीमांत अवस्था विधि का उपयोग कीजिए। (10 अंक)
(ii) धरन अवयव AB के लिए चित्र में दर्शाए गए निर्देशांक ① और ② के संदर्भ में स्टिफ़नेस मैट्रिक्स विकसित कीजिए। धरन काट का प्रत्यास्थता मापांक एवं जड़त्व-आघूर्ण क्रमशः E एवं I लीजिए : (10 अंक)
(c) एक औद्योगिक भवन के लिए निम्नलिखित आँकड़ों हेतु एक उपरिगामी क्रेन को वहन करने के लिए एक गैन्ट्री गार्डर (इसकी विस्तृति के साथ, बिना पार्श्व आलंबों के) का अभिकल्पन किया गया है :
स्तंभों के बीच केंद्र से केंद्र की दूरी (अर्थात् गैन्ट्री गार्डर की विस्तृति) = 7.5 m
क्रेन की क्षमता = 200 kN
ट्रॉली के बिना क्रेन गार्डर का स्वयं का भार = 200 kN
ट्रॉली, विद्युत मोटर, हुक आदि का स्वयं का भार = 40 kN
न्यूनतम हुक अप्रोच = 1.2 m
पहियों के केंद्रों के बीच की दूरी = 3.5 m
गैन्ट्री रेलों के बीच केंद्र से केंद्र की दूरी (अर्थात् क्रेन की विस्तृति) = 15 m
रेल खण्ड का स्वयं का भार = 300 N/m
इस्पात का पराभव प्रतिबल = 250 MPa
आँकड़ों के विश्लेषण से निम्नलिखित सूचना प्राप्त हुई :
कुल ऊर्ध्वाधर अभिकल्पन बंकन आघूर्ण (क्षैतिज बंकन आघूर्ण सहित),
M_z = 685.53 kN-m
क्षैतिज अभिकल्पन बंकन आघूर्ण (सर्ज लोड के कारण), M_y = 19.84 kN-m
विश्लेषण और अन्य शासी मानदंडों के आधार पर, गैन्ट्री गर्डर के अभिकल्पन के लिए ISMB 600 @ 1230 N/m और इसके शीर्ष पर एक ISMC 300 @ 363 N/m चैनल के उपयोग का निर्णय लिया गया, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है :
(सभी आयाम mm में दिए गए हैं)
परिच्छेदों के गुणधर्म निम्न प्रकार हैं :
ISMB 600 @ 1230 N/m : A = 15600 mm²; t_f = 20·8 mm; t_w = 12 mm; फ्लैंज की चौड़ाई, B = 210 mm; I_zz = 91800 × 10⁴ mm⁴; I_yy = 2650 × 10⁴ mm⁴; रूट त्रिज्या, R = 20 mm
ISMC 300 @ 363 N/m : A = 4630 mm²; t_f = 13·6 mm; t_w = 7·8 mm; B = 90 mm; I_zz = 6420 × 10⁴ mm⁴; I_yy = 313 × 10⁴ mm⁴; गुरुत्व केन्द्र, C_yy = 23·5 mm
आधुर्ण क्षमता के लिए चुने गए परिच्छेद की पर्याप्तता की जाँच कीजिए।
अन्य आँकड़ों को उपयुक्त रूप से मान लीजिए। (20 अंक)
Answer approach & key points
(a) Using the principle of virtual work, find the force F that makes motion of the three connected bodies impending to the left, taking mu = 0.30 on all contact surfaces and frictionless pulleys. (b(i)) For a laterally supported, plastic-section ISMB 400 simply supported over 5 m, compute the design bending strength by IS 800 limit state method and hence the intensity of uniformly distributed load the beam can carry in service. (b(ii)) Develop the 2 x 2 stiffness matrix of the cantilever beam element AB (fixed at A, free at B, l = 2 m) for the two coordinates shown at B - coordinate 1 the transverse (downward) displacement and coordinate 2 the rotation - by generating the stiffness coefficients k_ij from unit displacement states or by inverting the flexibility matrix. (c) Check the moment capacity of the chosen gantry girder section (ISMB 600 with an ISMC 300 channel laid over the top flange) against the given design moments M_z = 685.53 kN-m and M_y = 19.84 kN-m: work out the built-up section properties, classify the section, obtain the bending strengths about both axes (the girder has no lateral restraint along its span) and apply the biaxial interaction check.
- Equal virtual displacement x for all three blocks (inextensible cord); the 800 N block rises x sin 45°
- Limiting frictions: 0.30 × 200 = 60 N, 0.30 × 800 cos 45° = 169.7 N, 0.30 × 400 = 120 N
- Virtual work equation with the incline weight component 800 sin 45° = 565.7 N resisting
- F = 60 + 169.7 + 565.7 + 120 = 915.4 N
- M_d = β_b Z_p f_y/γ_m0 with β_b = 1, Z_p = 1176 × 10³ mm³, f_y = 250, γ_m0 = 1.10, so M_d = 267.3 kN·m
- Check against 1.2 Z_e f_y/γ_m0 ≈ 279 kN·m, which does not govern
- Factored UDL w_u = 8M_d/L² = 85.5 kN/m
- Service UDL = 85.5/1.5 = 57.0 kN/m including self-weight (about 56.4 kN/m superimposed)
- Flexibility coefficients f₁₁ = l³/3EI, f₁₂ = f₂₁ = l²/2EI, f₂₂ = l/EI (or the equivalent unit-displacement states)
- K = F⁻¹ with k₁₁ = 12EI/l³, k₁₂ = k₂₁ = −6EI/l², k₂₂ = 4EI/l
- Numerical substitution for l = 2 m
- K = EI [[1.5, −1.5], [−1.5, 2.0]], symmetric
- A = 20230 mm², ȳ = 365.1 mm, I_zz ≈ 1.21 × 10⁹ mm⁴, Z_p ≈ 4.32 × 10⁶ mm³ (equal-area axis 490.7 mm from the base)
- Plastic classification (flange 5.05 ≤ 9.4, web 43.2 ≤ 84, channel leg 6.0), so β_b = 1
- Lateral-torsional buckling: M_cr ≈ 1092 kN·m, λ_LT = 0.995, χ_LT = 0.669, f_bd = 152.1 MPa, M_dz = 657.1 kN·m
- M_dy = Z_ey,top f_y/γ_m0 = 121.6 kN·m
- Interaction 685.53/657.1 + 19.84/121.6 = 1.21 > 1, so the section is not adequate as chosen